小學數學5年級培優(yōu)奧數講義 第20講 最小公倍數含解析

第20講最小公倍數

0學習目標

京掌握倍數和最小公倍數的概念，最小公倍數的求法；

小會利用最小公倍數解決實際問題。

舉知

一、約數和倍數的定義

整數A能被整數B整除，A叫做B的唐數，B就叫做A的約粼在自然數的范圍內）。

如：2和6是12的約數，12是2的倍數，12也是6的倍數；

18的約數有1、18、2、9、3、6o

注意：①一個數的約數個數是有限的，一個數的倍數有無數個。

②任何數都有最小的約數1,最大的約數本身，最小的倍數也是本身。

③一個數的倍數的個數是無限的，其中最小的倍數是它本身。3的倍數有：3、6、9、12……

其中最小的倍數是3,沒有最大的倍數。

④因數和約數的區(qū)別：約數必須在整除的前提下才存在，而是從乘積的角度來提出的。如果

數a與數b相乘的積是數c,a與b都是c的。

二、2、3和5倍數的特征

2的倍數的數特征是個位是0、2、4、6、8,是2的倍數的數叫偶數，不是2的倍數的數

叫奇數

5的倍數的數特征是個位是0或5

3的倍數的數特征是一個數各位上的數字的和是3的倍數，這個數就是3的倍數

三、質數與合數

（1）只有1和本身兩個因數的數叫做質數（或素數）

（2）除了1和本身外還有其它因數的數叫做合數

(3)1既不是質數，也不是合數

(4)100以內的質數有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、

59、61、67、71、73、79、83、89、970

(5)幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數,其中最小的一個，叫做這幾個數的最小

公倍數,如2的倍數有2、4、6、8、10、12、14、16、18.....

3的倍數有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍數，6是它們的

最小公倍數。記作⑵3]=6。

如果較大數是較小數的倍數，那么較大數就是這兩個數的最小公倍數。

如果兩個數是互質數，那么這兩個數的積就是它們的最小公倍數。

幾個數的公約數的個數是有限的，而幾個數的公倍數的個數是無限的。

注意：最大公約數x最小公倍數=兩數的乘積，

即(a,b)x[a,b]=axb。

〉典例分析

考點一：最小公倍數的求法

例1、列舉法：求6和10的最小公倍數。

例2、短除法：求56和24的最小公倍數。

例3、分解質因數法：求120和100的最小公倍數

例4、多個數求最小公倍數：求45、60和75的最小公倍數

考點二：應用最小公倍數巧算

例1、一次數學競賽均是填空題，小明答錯的恰是題目總數的上，小亮答錯5道題，兩人都答錯的題目占題

4

目總數的已知小明、小亮答對的題目數超過了試題總數的一半，則他們都答對的題有多少道.

6

例2、某加油站有二位員工，從今年1月1日起規(guī)定：員工甲每工作3天后休息1天，員工乙每工作5天后

休息2天，當遇到二人都休息時，必須另聘一位臨時工，則今年共有多少天要聘1個時工人？

例3、一個植樹小組原計劃在96米長的一段土地上每隔4米栽一棵樹，并且己經挖好坑。后來改為每隔6

米栽一棵樹。求重新挖樹坑時可以少挖幾個？（希望杯考題）

考點三：最小公倍數綜合

例1、有一些畫片，如果平均分給3個同學，還余1張；如果平均分給5個同學，還余3張；如果平均分給

4個同學，則少2張.這些畫片至少有多少張？

例2、有一位天文觀察家，他觀察一顆行星靠近地球的情況是有規(guī)律的，只要是年份數除以10余數是5,

且被3、5、7、9除時，沒有余數，從公元00年到公元2000年時，星球飛近多少次？

承實戰(zhàn)演練4

》一-課堂狙擊

一、填空題

1、30以內3的倍數有（）,4的倍數有（）,3和4的公倍

數有（）,最小公倍數是（）。

2、在12、15、36、64、450、950六個數中，是3的倍數有（）,是5的倍數的有（），

是2的倍數的有（）；是2和5的公倍數的有（）,是2和3的公倍數的

有（），是3和5的公倍數的有（）；同時是2、3和5的公倍數的數是（）。

3、用0、3、5、7四個數組成一個同時是2和5的倍數的四位數，最大是（），最小是（）。

4、要使601口既是2的倍數，又是3的倍數，那么□里可以填（）。

二、解答題

5、寫出每組數的最小公倍數

8和1051和35和4

57和1991和79和1

6、一個汽車站內有兩路公共汽車.甲路汽車每隔4分鐘發(fā)出一輛，乙路汽車每隔6分鐘發(fā)出一輛，至少每

隔多少分鐘，兩路汽車會同時發(fā)車？

7、一排路燈，原來每兩盞之間的距離是30米，現在改用50米，如果起點的一盞路燈不動，至少再隔多少

米又有一盞不必移動？

8、有一批水果，總數在1000個以內。如果每24個裝一箱，最后一箱差2個；如果每28個裝一箱，最后

一箱還差2個；如果每32個裝一箱，最后一箱只有30個。這批水果共有多少個？

＞課后反擊

一、判斷題

1、一個數最小的倍數與它最大的因數相等。（）

2、兩個質數的最小公倍數是它們的乘積。（）

二、選擇題

3、a是一個質數，則a的倍數有0個

A、1個B、2個C、無數個

4、如果b是一個整數，那么2b一定是0

A、合數B、偶數C、素數

三、解答題

5、甲、乙、丙三人是朋友，他們每隔不同天數到圖書館去一次。甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去

一次。有一天，他們三人恰好在圖書館相會，問至少再過多少天他們三人又在圖書館相會？

6、兩個數的最大公約數是9,最小公倍數是90,求這兩個數分別是多少？

7、一塊磚長20厘米，寬12厘米，厚6厘米。要堆成正方體至少需要這樣的磚頭多少塊?

8、甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的環(huán)形跑道從同一地點同時同方向跑步,

經過多少時間三人又同時從出發(fā)點出發(fā)？

重點回顧

1、倍數和最小公倍數的概念，最小公倍數的求法；

2、利用最小公倍數解決實際問題。

電名師點撥

1、解答與公因數或公倍的應用題，關鍵是先求出最大公因數或最小公倍數，然后按題意解答要求的問題。

最小公倍數的應用題，解題方法比較獨特。當有些題中所求的數不正好是已知數的最小公倍數時，我們可

以通過“增加一部分”或“減少一部分”的方法，使問題轉換成已知數的最小公倍數，從而求出結果。

2、幾個數公有的倍數叫做這幾個數的公倍數，其中最小的一個公倍數，叫做這幾個數的最小公倍數。

自然數a、b的最小公倍數可以記作［a、bj＞當（a、b）=l時，［a、b］=axb。

兩個數的最大公約數和最小公倍數有著下列關系：

最大公約數x最小公倍數=兩數的乘積

即（a、b）x[a,b]=axb

要解答求最小公倍數的問題，關鍵要根據題目中的已知條件，對問題作全面的分析，若要求的數對己

知條件來說，是處于被除數的地位，通過就是求最小公倍數，解題時要避免和最大公約數問題混淆。

學霸經驗

＞本節(jié)課我學到

＞我需要努力的地方是

第20講最小公倍數

箏？教學目標...

>教學目標掌握倍數和最小公倍數的概念，最小公倍數的求法；

也會利用最小公倍數解決實際問題。

覆知識描里...

一、約數和倍數的定義

整數A能被整數B整除，A叫做B的詹教，B就叫做A的約數(在自然數的范圍內)。

如：2和6是12的約數，12是2的倍數，12也是6的倍數；

18的約數有1、18、2、9、3、6。

注意：①一個數的約數個數是有限的，一個數的倍數有無數個。

②任何數都有最小的約數1,最大的約數本身，最小的倍數也是本身。

③一個數的倍數的個數是無限的，其中最小的倍數是它本身。3的倍數有：3、6、9、12……其中最小

的倍數是3,沒有最大的倍數。

④因數和約數的區(qū)別：約數必須在整除的前提下才存在，而是從乘積的角度來提出的。如果數a與數b相

乘的積是數c,a與b都是c的。

二、2、3和5倍數的特征

2的倍數的數特征是個位是0、2、4、6、8,是2的倍數的數叫偶數，不是2的倍數的數叫奇數

5的倍數的數特征是個位是0或5

3的倍數的數特征是一個數各位上的數字的和是3的倍數，這個數就是3的倍數

三、質數與合數

(1)只有1和本身兩個因數的數叫做質數(或素數)

(2)除了1和本身外還有其它因數的數叫做合數

(3)1既不是質數，也不是合數

(4)100以內的質數有：2,3,5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53>59、61、67>

71、73、79、83、89、97。

(5)幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數,其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數,如2

的倍數有2、4、6、8、10、12、14、16、18.......

3的倍數有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍數，6是它們的最小公倍數。

記作12,31=6。

如果較大數是較小數的倍數，那么較大數就是這兩個數的最小公倍數。

如果兩個數是互質數，那么這兩個數的積就是它們的最小公倍數。

幾個數的公約數的個數是有限的，而幾個數的公倍數的個數是無限的。

注意：最大公約數x最小公倍數=兩數的乘積，

即(a,b)x[a,b]=axb。

典例分析

考點一：最小公倍數的求法

例1、列舉法：求6和10的最小公倍數。

【解析】先分別寫出6和8各自的倍數，再從中找出公倍數和最小公倍數。

6的倍數：6,12,18,24,30,36,42,48...

10的倍數：10,20,30,40,50...

所以6和10的最小公倍數是30。

例2、短除法：求56和24的最小公倍數。

[解析]21PG-%----------

2[2812

2.146

73

56和24的最小公倍數是2X2X2X7X3=168

例3、分解質因數法：求120和100的最小公倍數

【解析】120=2x2x2x3x5

100=2x2x5x5

[120,1001=2x2x2x3x5x5=600

例4、多個數求最小公倍數：求45、60和75的最小公倍數

【解析】3456090

3152030

55?010

21L2

121

[45,60,90]=180（當除到任意兩數還有公因數時，則還要繼續(xù)除下去）

考點二：應用最小公倍數巧算

例1、一次數學競賽均是填空題，小明答錯的恰是題目總數的小亮答錯5道題，兩人都答錯的題目占題

4

目總數的已知小明、小亮答對的題目數超過了試題總數的一半，則他們都答對的題有多少道.

6

【解析】因小明答錯的恰是題目總數的,，兩人都答錯的題目占題目總數的工，所以題目的總數應是4和

46

6的倍數，然后根據小明、小亮答對的題目數超過了試題總數的一半，分情況進行解答。

解：已知題目個數一定是整數.設為X

X是4和6的倍數.

x

且一<5,X<30；

6

X

有一VX-5,X>10；

2

*>5時，即X>20時，

4

所以X=24；

答：都答對的題有24-5-6+4=17。

例2、某加油站有二位員工，從今年1月1日起規(guī)定：員工甲每工作3天后休息1天，員工乙每工作5天后

休息2天，當遇到二人都休息時，必須另聘一位臨時工，則今年共有多少天要聘1個時工人？

【解析】甲每到4的倍數就休息，而乙每到7的倍數和比7的倍數少一天都休息.因為

4和7的最小公倍數是28,因為今年是平年，所以在28的倍數休息的日子時；

365+28H5（天），而在比7的倍數少一天休息時，甲乙第一次重逢的日子是

第二十天，以后每隔28天就共同休息一天，365-20=345（天），345+28=12（天）

所以甲乙兩人共同休息的天數是15+12+1=28（天）

例3、一個植樹小組原計劃在96米長的一段土地上每隔4米栽一棵樹，并且已經挖好坑。后來改為每隔6

米栽一棵樹。求重新挖樹坑時可以少挖幾個？（希望杯考題）

【解析】這一段地全長96米，從一端每隔4米挖一個坑，一共要挖樹坑：

96+4+1=25（個）

后來，改為每隔6米栽一棵樹，原來挖的坑有的正好趕在6米一棵的坑位上，可不重新挖。由于4和6

的最小公倍數是12,所以從第一個坑開始，每隔12米的那個坑不必挖。

96米中有8個12米，有8個坑是已挖好的，再加上已挖好的第一個坑，一共有9個坑不必重新挖。

9672+1=9（個）答：。重新挖樹坑時可以少挖9個。

考點三：最小公倍數綜合

例1、有一些畫片，如果平均分給3個同學，還余1張；如果平均分給5個同學，還余3張；如果平均分給

4個同學，則少2張.這些畫片至少有多少張？

【解析】由于平均分給3個同學，還余1張則這個數減1是3的倍數；如果平均分給5個同學，還余3張

則這個數減3是5的倍數；如果平均分給4個同學，則少2張則這個數加2是4的倍數.因此，我們可

從3,4,5的最小公倍數入手來分析一下，3,4,5的最小公倍數為3x4x6x=60.由于是求最小，我們

可從減開始，如果平均分給4個同學，則少2張，60-2=58,58+3=19…1,58+5=11...3,所以這個數最

小為58.

解：根據題意可知，這個數減1是3的倍數，減3是5的倍數，加2是4的倍數.

3,4,5的最小公倍數為3x4x6x=60.

60-2=58,

58+3=19…1,

58+5=11…3,

所以這個數最小為58.

例2、有一位天文觀察家，他觀察一顆行星靠近地球的情況是有規(guī)律的，只要是年份數除以10余數是5,

且被3、5、7、9除時，沒有余數，從公元00年到公元2000年時，星球飛近多少次？

【解析】因為3、5、7、9的最小公倍數是：5x7x9=315,

所以2000以內，3、5、7、9的公倍數有：315、630、945、1260、1575、1890；

其中630、1260、1890是10的倍數，不符合題意；

所以公元315年、945年、1575年行星靠近地球，即共有3次.

答:從公元00年到公元2000年時，星球飛近3次.

實戰(zhàn)演練

>課堂狙擊

一、填空題

1、30以內3的倍數有（），4的倍數有（），3和4的公倍數有0,最小公倍數是0。

【解析】（3、6、9、12、15、18、21、24、27、30）,（4、8、12、16、20、24、28）,（12、24）,（12）

2、在12、15、36、64、450、950六個數中，是3的倍數有（），是5的倍數的有（），是2的倍數的有（）；

是2和5的公倍數的有（），是2和3的公倍數的有（），是3和5的公倍數的有（）；同時是2、3和5的公倍

數的數是0。

【解析】（12、15、36、450）,（15、450、950）,（12、36、64、450、950）,（450、950）,（12、36、450）,（15、

450）,（450）

3、用0、3、5、7四個數組成一個同時是2和5的倍數的四位數，最大是（），最小是（）。

【解析】（7530）,（3570）

4、要使601口既是2的倍數，又是3的倍數，那么口里可以填（）o

【解析】（2、5、8）

二、解答題

5、寫出每組數的最小公倍數

8和1051和35和4

57和1991和79和1

【解析】40,51,20,57,91,9

6、一個汽車站內有兩路公共汽車.甲路汽車每隔4分鐘發(fā)出一輛，乙路汽車每隔6分鐘發(fā)出一輛，至少每

隔多少分鐘，兩路汽車會同時發(fā)車？

【解析】4和6的最小公倍數為12,

如果每天兩車首發(fā)為同一時間的話，則兩車至少每隔12分鐘會同時發(fā)車。

7、一排路燈，原來每兩盞之間的距離是30米，現在改用50米，如果起點的一盞路燈不動，至少再隔多少

米又有一盞不必移動？

【解析】因為30和50的最小公倍數是150,

所以至少再隔150米又有一盞不必移動；

答：至少再隔150米又有一盞不必移動.

8、有一批水果，總數在1000個以內。如果每24個裝一箱，最后一箱差2個；如果每28個裝一箱，最后

一箱還差2個；如果每32個裝一箱，最后一箱只有30個。這批水果共有多少個？

【解析】根據題意可知，這批水果再增加2個后，每24個裝一箱，每28個裝一箱或每32個裝一箱都能裝

整箱數，也就是說，只要把這批水果增加2個，就正好是24、28和32的公倍數。我們可以先求出24、28

和32的最小公倍數672,再根據“總數在1000以內”確定水果總數。

[24,28,32]=672

672—2=670（個）

即：這批水果共有670個。

＞課后反擊

一、判斷題

1、一個數最小的倍數與它最大的因數相等。（）

2、兩個質數的最小公倍數是它們的乘積。（）

【解析】V,V

二、選擇題

3、a是一個質數，則a的倍數有0個

A、1個B、2個C、無數個

4、如果b是一個整數，那么2b一定是（）

A、合數B、偶數C、素數

【解析】C,B

三、解答題

5、甲、乙、丙三人是朋友，他們每隔不同天數到圖書館去一次。甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去

一次。有一天，他們三人恰好在圖書館相會，問至少再過多少天他們三人又在圖