小學數(shù)學6年級培優(yōu)奧數(shù)講義 第18講 加法、乘法原理（含解析）

第18講加法、乘法原理

覆學習目標赧

?理解加法、乘法原理的類型；

?會用加法、乘法原理解應用題。

》知識梳理

生活中常有這樣的情況，就是在做一件事時，有幾類不同的方法，在具體做的時候，只要

采用一類中的一種方法就可以完成，并且?guī)最惙椒ㄊ腔ゲ挥绊懙?。在每一類方法中，又有幾種

可能的做法，那么考慮完成這件事所有可能的做法，就要用到加法原理來解決。

還有這樣的一種情況就是在做一件事時，要分幾步才能完成，而在完成每一步時，又有幾

種不同的方法，要知道完成這件事情共有多少種方法，就要用到乘法原理來解決。

加法原理：如果完成一件任務有n類方法，在第一類方法中有叫種不同方法，在第二類

方法中有瑕種不同方法……，在第n類方法中有外種不同方法，那么完成這件任務共有

N=叫+嗎+…+%種不同方法。

乘法原理：如果完成一件任務需要分成n個步驟進行，做第1步有班種方法，做第2步

有丐種方法……，做第n步有〃2〃種方法，那么按照這樣的步驟完成這件任務共有

N=叫X根2X…X/%種不同方法。

,典例分析||

例￡一個盒子內(nèi)裝有5個小球，出個盒子內(nèi)裝有9個小球，所有這些小球顏色各不相同。

問：①從兩個盒子內(nèi)任取一個小球，有多少種不同的取法？

②從兩個盒子內(nèi)各取一個小球，有多少種不同的取法？

例2、從1到399的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字3的自然數(shù)有多少個?

例3、用5種顏色給圖1的五個區(qū)域染色，相鄰的區(qū)域染不同的顏色，每個區(qū)域染一種顏色。問：共有多少

種不同的染色方法?

例4、學校羽毛球隊有12名男隊員，10名女隊員。

(I)要挑選一名男隊員和一名女隊員組成一對男、女混合雙打選手，有多少種不同的搭配方法?

(2)該羽毛球隊在比賽中獲團體總分第一名，學校選一名運動員去領獎，有多少種選法？

例5、找出圖2中從A點出發(fā)，經(jīng)過C點和D點到B點的最短路線，共有多少條？

圖2

例6、現(xiàn)有壹元的人民幣4張，貳元的人民幣2張，伍元的人民幣5張，如果從中至少取一張，至多取11

張，那么共可以配成多少種不同的錢數(shù)？

例7、由數(shù)字1、2、3、4、5、6、7、8、9可組成多少個①三位數(shù)？②三位偶數(shù)？③沒有重復數(shù)字的三位偶

數(shù)？④百位為9的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？⑤百位為9的沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)？

例8、有A、B、C、D、E五人排成一隊，A不許站排頭，B不許站排尾，共有多少種不同排法?

12345

嗔實戰(zhàn)演練

A一課堂狙擊

1、書架上有6本不同的畫報、10本不同科技書，請你每次從書架上任取一本畫報、一本科技書，共有種不

同的取法？

2、用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十個數(shù)字，能夠組成個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？

3、書架上有不同的數(shù)學書20本，不同的語文書10本，現(xiàn)從書架上取書，試問:

(1)取出一本書，有種不同的取法。

(2)取出數(shù)學書和語文書各一本，有種不同的取法。

4、從1~9這9個數(shù)字中每次取出2個不同的自然數(shù)相加，和大于10的選法共有多少種？

5、現(xiàn)有長度為1、2、3、4、5、6、7、8、9單位長度的鐵絲各一條，從中選出若干條來組成正方形，問有

多少種不同的選法？

6、將1、2、3、4這4個數(shù)字從小到大排成一行，在4個數(shù)中間任意插入乘號，可以得到個不同的

乘積(要求最少有一個乘號)。

7、用紅、綠、黃、藍四種顏色分別去涂圖中的A、B、C、D四個區(qū)域，要求相鄰區(qū)域不可同色，共有

種不同涂法。

＞課后反擊

1、書店里有12種不同的外語書，8種不同的數(shù)學書，從中任選外語書和數(shù)學書各一本，有多少種不同的選

法？

2、某人出差要從甲地途經(jīng)丙地、丁地到乙地，現(xiàn)在知道從甲地到丙地有3條路可以走，從丙地到丁地有5

條路可以走，從丁地到乙地有4條路可以走。問，此人共有多少種從甲地到乙地的方法。

3、由數(shù)字0、I、2、3、4、5、6、7共可組成多少個沒有重復數(shù)字的四位奇數(shù)？

4、如圖4有A、B、C、D、E五個區(qū)域，分別用五種顏色中的某一種染色，要使相鄰的區(qū)域染不同的顏色,

共有多少種不同的染色方法？

圖4

5、如圖5,從甲地到乙地有兩條路，從乙地到丙地有三條路；從甲地到丁地有四條路，從丁地到丙地有四

條路，問從甲地到丙地共有多少種走法？

卬丁

II皿

乙OTO丙

圖5

6、一把鑰匙可以開一個門，現(xiàn)在有20把鑰匙和20個門，可是不知道哪把鑰匙開哪把鎖，問最多試開多少

次，可以把所有的門都打開？

7、有男生5人，女生2人，排成一行照相，女生不站兩頭，而且2個女生要站在一起，那么有多少種不同

的站法?

8、“MATHS”是英文單詞數(shù)學的意思，把這5個字母寫成5種不同的顏色?，F(xiàn)在有8種不同顏色的筆，按上

述要求能寫出多少種不同顏色搭配的“MATHS”？

直擊賽場

1、有30個貳分硬幣和8個伍分硬幣，用這些硬幣不能構成1分到1元之間的幣值有多少種？

\名師點撥,

加法原理：如果完成一件任務有n類方法，在第一類方法中有叫種不同方法，在第二類方法中有機2種

不同方法……，在第n類方法中有町，種不同方法，那么完成這件任務共有

N=g+團2---種不同方法。

乘法原理:如果完成一件任務需要分成n個步驟進行，做第1步有町種方法，做第2步有機2種方法....

做第n步有7%種方法，那么按照這樣的步驟完成這件任務共有

N=叫X,巧x…x也種不同方法。

海學霸經(jīng)驗

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1st

＞本節(jié)課我學到了

＞我需要努力的地方是

第18講加法、乘法原理

教學目標

?理解加法、乘法原理的類型;

?會用加法、乘法原理解應用題。

VV知識梳理a

生活中常有這樣的情況，就是在做一件事時，有幾類不同的方法，在具體做的時候，只要采用一類中

的一種方法就可以完成，并且?guī)最惙椒ㄊ腔ゲ挥绊懙摹Ｔ诿恳活惙椒ㄖ?，又有幾種可能的做法，那么考慮

完成這件事所有可能的做法，就要用到加法原理來解決。

還有這樣的一種情況就是在做一件事時，要分幾步才能完成，而在完成每一步時，又有幾種不同的方

法，要知道完成這件事情共有多少種方法，就要用到乘法原理來解決。

加法原理：如果完成一件任務有n類方法，在第一類方法中有町種不同方法，在第二類方法中有加2種

不同方法……，在第n類方法中有犯，種不同方法，那么完成這件任務共有

s

N-my-rm2-\—+”種不同方法。

乘法原理:如果完成一件任務需要分成n個步驟進行，做第1步有肛種方法，做第2步有m2種方法

做第n步有加“種方法，那么按照這樣的步驟完成這件任務共有

N=叫*啊X…X種不同方法。

舉典例分析籥

例1、一個盒子內(nèi)裝有5個小球，另一個盒子內(nèi)裝有9個小球，所有這些小球顏色各不相同。

問：①從兩個盒子內(nèi)任取一個小球，有多少種不同的取法？

②從兩個盒子內(nèi)各取一個小球，有多少種不同的取法？

【解析】①“從兩個盒子內(nèi)任取一個小球”，則這個小球要么從第一個盒子中取，要么從第二個盒子中取，共

有兩類方法，所以應用加法原理。

②“從兩個盒子內(nèi)各取一個小球“，可看成先從第一個盒子中取一個，再從第二個盒子中取一個，分

兩步完成，所以應用乘法原理。

①從兩個盒子中任取一個小球共有:

5+9=14（種）

②從兩個盒子中各取一個小球共有：

5x9=45（種）

例2、從1到399的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字3的自然數(shù)有多少個？

【解析】從1到399的所有自然數(shù)可分成三類。一位數(shù)中不含3的有8個，1、2、4、5、6、7、8、9。兩

位數(shù)中，不含3的可以這樣考慮：十位上不含3的有I、2、4、5、6、7,8、9共八種情況；個位上，不含

3的有0、1、2、4、5、6、7、8、9這九種情況，要確定一個兩位數(shù)，可以先取十位數(shù)字，再取個位數(shù)字，

應用乘法原理，這時共有8x9=72個數(shù)字不含3。三位數(shù)中，小于400并且不含數(shù)字3的可以這樣考慮：百

位上不含3的有1、2這兩種情況，十位上和個位上不含3的有0、1、2、4、5、6、7、8、9這九種情況。

在從1到399中，不含3的一位數(shù)有8個；

不含3的兩位數(shù)有8x9=72個；

不含3的三位數(shù)有2x9x9=162個。

由加法原理，在從1到399中，共有：

8+72+162=242（個）不含3的自然數(shù)。

例3、用5種顏色給圖1的五個區(qū)域染色，相鄰的區(qū)域染不同的顏色，每個區(qū)域染一

種顏色。問：共有多少種不同的染色方法？

【解析】由圖1可知A與D、B與E不相鄰，它們之間有同色和不同色兩類變化。

考慮當A、D染同色時，根據(jù)乘法原理。

當A、D染同色時，有：

5x4x3+5x4x3x2=60+120=180（種）

當A、D染色不同時，有：

5x4x3x2+5x4x3x2x1=120+120=240（種）

根據(jù)加法原理：

180+240=420（種）

答：共有420種不同的染色方法。

例4、學校羽毛球隊有12名男隊員，10名女隊員。

⑴要挑選一名男隊員和一名女隊員組成一對男、女混合雙打選手，有多少種不同的搭配方法?

(2)該羽毛球隊在比賽中獲團體總分第一名，學校選一名運動員去領獎，有多少種選法?

【解析】⑴組成男、女混合雙打選手，先挑選男隊員有12種方法，再挑選女隊員有10種方法，根據(jù)乘法

原理可求有多少種不同的搭配方法。

(2)選一名運動員去領獎，從男隊員中選有12種選法，從女隊員中選有10種方法，根據(jù)加法原理

可求有多少種選法。

(1)根據(jù)乘法原理，組成男、女混合雙打選手有：

12x10=120(種)

(2)根據(jù)加法原理，選一名運動員去領獎有：

12+10=22(種)

例5、找出圖2中從A點出發(fā)，經(jīng)過C點和D點到B點的最短路線，共有多少條？

【解析】要找出從A到B共有多少條不同的最短路線，只要根據(jù)加法原理找出A點到圖上每個交點的最短

路線，便可得到。

如圖3所示，從A到、走最短路線只有1種方法，而從A到有、兩種路線。根據(jù)同樣的道理可

例6、現(xiàn)有壹元的人民幣4張，貳元的人民幣2張，伍元的人民幣5張，如果從中至少取一張，至多取11

張，那么共可以配成多少種不同的錢數(shù)？

【解析】33(種)

例7、由數(shù)字1、2、3、4、5、6、7、8、9可組成多少個①三位數(shù)？②三位偶數(shù)？③沒有重復數(shù)字的三位偶

數(shù)？④百位為9的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？⑤百位為9的沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)？

【解析】要組成三位數(shù)，需一位一位地確定各個數(shù)位上的數(shù)字，即分三步完成，如，組成三位數(shù)可先從百

位上考慮起，百位有9種選擇方法，依次十位和個位也各有9種選擇方法，根據(jù)乘法原理可求。若要排成

偶數(shù)，則要考慮到尾數(shù)的排法只有.4種，即只能排2、4、6、8。若要排成無重復數(shù)字的數(shù)，則須考慮到確

定一個數(shù)位的選法之后，下一個數(shù)位的選法會減少。

①組成三位數(shù)，百位、十位、個位各有9種選法，由乘法原理可知有：

9x9x9=729（種）。

②組成三位偶數(shù)，個位有4種選法，百位、十位各有9種選法，那么有：

4x9x9=324種）。

③無重復數(shù)字三位偶數(shù)，個位有4種選法，十位有（9-1）種選法，百位有（9-1-1）種選法，那么共有：

4x8x7=224（種）。

④百位為9的無重復數(shù)字的三位數(shù)，百位有1種選法，十位有8種選法，個位有7種選法，那么共有:

1x8x7=56種）。

⑤百位為9的無重復數(shù)字的三位偶數(shù)，百位有一種選法，個位有4種選法，十位有（9-2）種選法。那么

共有：Ix4x7=28（種）。

例8、有A、B、C、D、E五人排成一隊，A不許站排頭，B不許站排尾，共有多少種不同排法？

12345

【解析】我們從排頭到排尾依次編號為1、2、3、4、5。由于A不能站排頭，所以我們可考慮A的站位，

再由B不能站排尾，考慮B的站位，然后再考慮C、D、E的站位；同時，我們也可以換個角度：從所有可

能的站位情況，扣去A站排頭或B站排尾的情況，從而得到所有不同排法。

解法一：先討論A的站位：

（1）A站在5號位置上，則A只有一種站法，B有4個不同位置可站，C有3個不同位置可站，D有兩

個不同位置可站，E只有I個位置可站，由乘法原理，在這種站位方式下有

1x4x3x2x1=24（種）不同的排隊方法。

（2）A站在2、3、4號3個位置之一。此時A有3個位置可站，B不能站在5號位，也只有3個位置可

站，C有3個位置可站，D有2個位置可站，E有1個位置可站，由乘法原理，在這種站位方式下有：

3x3x3x2xl=54（種）不同的排隊方法。

最后，由加法原理，共有24+54=78（種）不同的排隊方法。

解法二：五個人任意排隊，共有5x4x3x2x1=120（種）不同的方法。A站排頭有4x3x2xl=24（種）不同的排

法；B站排尾有4x3x2xl=24（種）不同的排法；但這兩種方法有重復，即A站排頭且B站排尾；有3x2xl=6（種）

不同的排法。因此，由容斥原理，A站排頭且B不站排尾的排隊方法總數(shù)是：

120-42=78（種）。

答：符合要求的排隊方法共有78種。

,實戰(zhàn)演練4

工

＞課堂狙擊

1、書架上有6本不同的畫報、10本不同科技書，請你每次從書架上任取一本畫報、一本科技書，共有種不

同的取法？

【解析】第一步：取一本畫報，有6種方法；

第二步：取一本科技書，有10種方法。

根據(jù)乘法原理：

一共有6x10=60（種）

2、用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十個數(shù)字，能夠組成個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？

【解析】第一步：排百位數(shù)字，有9種方法（0不能作首位）；

第二步：排十位數(shù)字，有9種方法；

第三步：排個位數(shù)字，有8種方法。

根據(jù)乘法原理：一共有9x9x8=648（個）沒有重復數(shù)字的三位數(shù)。

3、書架上有不同的數(shù)學書20本，不同的語文書10本，現(xiàn)從書架上取書，試問：

（1）取出一本書，有種不同的取法。

（2）取出數(shù)學書和語文書各一本，有種不同的取法。

【解析】（1）取出一本書，若是數(shù)學書有20種取法，若是語文書，有10種取法，總共有:

20+10=30（種）取法。

（2）取出數(shù)學書和語文書各一本，可以分兩步完成：

先取出數(shù)學書，有20種取法；

再取出語文書，又有10種取法。

由乘法原理，總共有20x10=200（種）取法。

4、從1~9這9個數(shù)字中每次取出2個不同的自然數(shù)相加，和大于10的選法共有多少種？

【解析】要使和大于10,加數(shù)不能取1。我們可以采取枚舉法。

一個加數(shù)為2時，2+9=11,

一個加數(shù)為3時，3+9=12,3+8=11

一個加數(shù)為4時，4+9=13,4+8=12,4+7=11

一個加數(shù)為5時，5+9=14,5+8=13,5+7=12,5+6=11

一個加數(shù)為6時，6+9=16,6+8=14,6+7=13

一個加數(shù)為7時，7+9=16,7+8=15

一個加數(shù)為8時，8+9=17

于是符合條件的選法共有1+2+3+4+3+2+1=16(種)。

5、現(xiàn)有長度為1、2、3、4、5、6、7、8、9單位長度的鐵絲各一條，從中選出若干條來組成正方形，問有

多少種不同的選法？

【解析】這些鐵絲總的長度為1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,所以所組成的正方形最長邊為11。

(1)邊長為11時，由于19+2=8+3=7+4=6+5

因此可取長度為2、3、4、5、6、7、8、9的鐵絲，按(9,2),(8,3),(7,4),(6,5)分組，

可得邊長為11的正方形一個，顯然，這只能有一種選擇。

(2)邊長為10時，由于10=9+1=8+2=7+3=6+4

取長度為1、2、3、4、6、7、8、9可得至I」1個邊長為10的正方形。

⑶邊長為9時，由于9=8+1=7+2=6+3=5+4

從而可以取下列四組數(shù)構成一正方形：9,(8,1),(7,2),(6,3)；9,(8,1),(7,2),(5,4)；

9,(8,1),(5,4),(6,3)；9,(8,1),(7,2),(6,3),(5,4)

共有5種不同選擇。

(4)邊長為8時，由于8=7+1=6+2=5+3

可得到一個正方形。

(5)邊長為7時，由于7=6+1=5+2=3+4

可是得到一個正方形。

當邊長小于7時，無法組成正方形。

從而滿足題意的有1+1+5+1+1=9(種)不同選法。

6、將1、2、3、4這4個數(shù)字從小到大排成一行，在4個數(shù)中間任意插入乘號，可以得到個不同的

乘積(要求最少有一個乘號)。

【解析】顯然，乘號只能放在1和2、2和3、3和4之間。在1和2之間，有放與不放兩種可能，在2和3

之間，有放與不放兩種可能，同樣在3和4之間也有放與不放兩種可能，

所以總共有：2x2x2=8(種)放法，

但必須排除其中三個位置均不放乘號的可能性，所以共有7種放法。

7、用紅、綠、黃、藍四種顏色分別去涂圖中的A、B、C、D四個區(qū)域，要求相鄰區(qū)域不可同色，共有

種不同涂法.

【解析】因為A、C、D相互隔開，而B與它們均相連，故選擇先涂B,有四種涂法，而A、C、D均各有

三種涂法，所以總共有:

4x3x3x3=108（種）不同涂法。

8、如圖所示，在10x10個邊長為1的小正方形拼成的棋盤中，求由若干個小方塊能拼成的所有正方形的數(shù)

目。

ABCDEFGHIJK

【解析】由小方塊所拼成的正方形邊長可以取I,2,…，10。這樣有十類不同的方式拼出正方形。下面再

計算出每類方式有多少種方法拼出正方形。邊長為1的正方形顯然有10x10個；邊長為2的正方形，橫邊

有9種選擇：AC,BD,CE,DF,…，IK。類似的，縱邊也有9種選擇，橫邊和縱邊都選定后正方形就確

定了。因此經(jīng)過兩個獨立步驟就可以完成拼正方形的任務，由乘法原理可知拼出邊長為2的小正方形有9x9

個。邊長為其他數(shù)時可以類似推出。

由乘法原理可得：

邊長為1的小正方形有10x10個；

邊長為2的小正方形有9x9個；

邊長為3的小正方形有8x8個；

邊長為9的小正方形有2x2個；

邊長為10的小正方形有1x1個。

由加法原理，共有

10x10+9x9+...2x2+1x1=100+81+64+49+36+25+16+9+4+1=385（個）

答：共有385個正方形。

＞課后反擊

1、書店里有12種不同的外語書，8種不同的數(shù)學書，從中任選外語書和數(shù)學書各一本，有多少種不同的選

法？

【解析】先取外語書有12種選法，再取一本數(shù)學書，則有8種選法。

用乘法原理得：

12x8=96（種）

答：總共有96種不同的選法。

2、某人出差要從甲地途經(jīng)丙地、丁地到乙地，現(xiàn)在知道從甲地到丙地有3條路可以走，從丙地到丁地有5

條路可以走，從丁地到乙地有4條路可以走。問，此人共有多少種從甲地到乙地的方法。

【解析】某人的出差路線：

甲地一丙地T丁地一乙地，甲地一丙地3條路線，丙地一丁地5條路線，丁地一乙地4條路線;

由乘法原理：

3x5x4=60(種)

答：此人從甲地到乙地共有60種走法。

3、由數(shù)字0、1、2、3、4、5、6、7共可組成多少個沒有重復數(shù)字的四位奇數(shù)？

【解析】組成四位數(shù)，則需一位一位地確定各個數(shù)位上的數(shù)字，分四步完成。

由于要求組成的數(shù)是奇數(shù)，故個位上只能取1,3,5,7中的一個，故有4種取法；

千位上不能放"0”,則首先考慮，有(8-2)種取法；

百位上有(8—2)種取法；十位上有5種取法。由乘法原理：

4x6x6x5=720(種)

答：共可組成720種沒有重復數(shù)字的四位奇數(shù)。

4、如圖4有A、B、C、D、E五個區(qū)域，分別用五種顏色中的某一種染色，要使相鄰的區(qū)域染不同的顏色,

共有多少種不同的染色方法？

【解析】由于有5個區(qū)域，則分為依次給A,B,C,D,E染色五步。先給A染色，因為有5種顏色，故

有5種不同的染色方法；再給B染色，因不能與A同色，還剩下4種顏色可選擇，故有4種染色方法；再

給C染色，因為不能與A、B同色，故有3種不同的染色方法；再給D染色，同樣不能與A、B、C同色,

故有2種不同的染色方法；最后給E染色，由于E只與A、D相鄰則只須與A、D不同色即可，那么它有

(5—2)種染色方法。

由乘法原理:

5x4x3x2x3=360（種）

答：共有360種不同的染色方法。

5、如圖5,從甲地到乙地有兩條路，從乙地到丙地有三條路；從甲地到丁地有四條路，從丁地到丙地有四

條路，問從甲地到丙地共有多少種走法？

甲丁

II皿

乙OT。丙

圖5

【解析】從甲地到丙地，可以有兩種走法，一種是經(jīng)丁地到丙地，一種是經(jīng)乙地到丙地。

甲t乙一*丙：甲一》乙有兩種選擇，乙一＞丙有三種選擇，根據(jù)乘法原理：2x3=6（種）

甲一丁一丙：甲一丁有四種選擇，丁一丙有四種選擇，根據(jù)乘法原理：4x4=16（種）

再由加法原理：6+16=22（種）

答：從甲地到丙地共有22種不同的走法。

6、一把鑰匙可以開一個門，現(xiàn)在有20把鑰匙和20個門，可是不知道哪把鑰匙開哪把鎖，間最多試開多少

次，可以把所有的門都打開？

【解析】假設每次都是試到最后一把鑰匙才打開一個門。那么打開第一個門需要試20次，然后剩下19個

門和19把鑰匙；再打開剩下門中的一個，至多需要試19次；……；打開最后一個門時，正如剩下一把鑰

匙，試五次即可，根據(jù)加法原理：

20+19+18+...+1=20x（20+1）4-2

=210（次）

答：要把所有的門都打開，至多需要試210次。

7、有男生5人，女生2人，排成一行照相，女生不站兩頭，而且2個女生要站在一起，那么