隨機(jī)變量及分布

2．2．3獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)與二項(xiàng)分布教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解答一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。過程與方法：能進(jìn)行一些與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布有關(guān)的概率的計(jì)算。情感、態(tài)度與價(jià)值觀：承前啟后，感悟數(shù)學(xué)與生活的和諧之美,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化功能與人文價(jià)值。教學(xué)重點(diǎn)：理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解答一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題教學(xué)難點(diǎn)：能進(jìn)行一些與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布有關(guān)的概率的計(jì)算教學(xué)過程：一、 復(fù)習(xí)引入：13?相互獨(dú)立事件：事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件若A與B是相互獨(dú)立事件，則A與B,A與B,A與B也相互獨(dú)立.14?相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：P(A?B)=P(A)?P(B)一般地，如果事件A,A, ,A相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)1 2n事件發(fā)生的概率的積，P(A?A，: ?A)=P(A)?P(A)? ?P(A「1 2 n 1 2 n二、 講解新課：1+獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的定義：指在同樣條件下進(jìn)行的，各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn)+2．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式：一般地，如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率P(k)=CkPk(1—P)n-k?nn它是［(1—P)+Pb展開式的第k+1項(xiàng)-3.離散型隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布:在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件發(fā)生的次數(shù)￡是一個(gè)隨機(jī)變量?如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是P憶=k)=Ckpkqn-k,(k=0,1,2,…，n,q=1—p).nn于是得到隨機(jī)變量￡的概率分布如下：￡01???k???nPC0p0qnnC1p1qn—1n???Ckpkqn—kn???Cnpnq0n

由于Ckpkqn-k恰好是二項(xiàng)展開式n(q+p)n=C0p0qn+C1p1qn-1H FCkpkqn-kH FCnpnq0n n n n中的各項(xiàng)的值，所以稱這樣的隨機(jī)變量§服從二項(xiàng)分布(binomialdistribution)，記作§?B(n,p),其中n,p為參數(shù)，并記Ckpkqn一k=b(k；n,p).n三、講解范例：例1.某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0.8.求這名射手在10次射擊中,恰有8次擊中目標(biāo)的概率；至少有8次擊中目標(biāo)的概率.(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字.)解：設(shè)X為擊中目標(biāo)的次數(shù)，則X?B(10,0.8).在10次射擊中,恰有8次擊中目標(biāo)的概率為P(X=8)=C8x0.8sx(1-O.8)io-8沁0.30.10在10次射擊中,至少有8次擊中目標(biāo)的概率為P(X28)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)C8x0.88x(1-0.8)10-8FC9x0.89x(1-0.8)10-9FC10x0.810x(1-0.8)10-10101010u0.68.例2.(2000年高考題)某廠生產(chǎn)電子元件,其產(chǎn)品的次品率為5%.現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意地連續(xù)取出2件,寫出其中次品數(shù)§的概率分布.解：依題意,隨機(jī)變量§?B(2,5%).所以,P(§=0)=C0(95%)2=0.9025,P(§=1)=C1(5%)(95%)=0.095,22P(2=2)=C2(5%)2=0.0025.2因此，次品數(shù)§的概率分布是§012P0.90250.0950.0025例3.重復(fù)拋擲一枚篩子5次得到點(diǎn)數(shù)為6的次數(shù)記為§,求P(§>3)(1)解：依題意，隨機(jī)變量§?B5,：.I6丿???p(§???p(§=4)=C45_256=7776，p(§=5)=C55??.p(§〉3)=p(§=4)+p(§=5)=3888-例4．某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%，計(jì)算(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字)：(1)5次預(yù)報(bào)中恰有4次準(zhǔn)確的概率；(2)5次預(yù)報(bào)中至少有4次準(zhǔn)確的概率+解：(1)記“預(yù)報(bào)1次，結(jié)果準(zhǔn)確”為事件A.預(yù)報(bào)5次相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式，5次預(yù)報(bào)中恰有4次準(zhǔn)確的概率P(4)=C4X0.84X(］一0.8)5-4二0.84沁0.4155答：5次預(yù)報(bào)中恰有4次準(zhǔn)確的概率約為0.41.(2)5次預(yù)報(bào)中至少有4次準(zhǔn)確的概率，就是5次預(yù)報(bào)中恰有4次準(zhǔn)確的概率與5次預(yù)報(bào)都準(zhǔn)確的概率的和，即P二P(4)+ P(5)二P(4)二C4 X0.84 X(1-0.8)5-4+ C5X0.85X(1-0.8)5-55 5 5 5 5=0.84+0.85沁0.410+0.328沁0.74答：5次預(yù)報(bào)中至少有4次準(zhǔn)確的概率約為0.74．例5.某車間的5臺(tái)機(jī)床在1小時(shí)內(nèi)需要工人照管的概率都是4，求1小時(shí)內(nèi)5臺(tái)機(jī)床中至少2臺(tái)需要工人照管的概率是多少？(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字)解：記事件A=“1小時(shí)內(nèi)，1臺(tái)機(jī)器需要人照管”，1小時(shí)內(nèi)5臺(tái)機(jī)器需要照管相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).1小時(shí)內(nèi)5臺(tái)機(jī)床中沒有1臺(tái)需要工人照管的概率仆°)=(1一4)5=1小時(shí)內(nèi)5臺(tái)機(jī)床中恰有1臺(tái)需要工人照管的概率仆D=C51X卜(1一所以1小時(shí)內(nèi)5臺(tái)機(jī)床中至少2臺(tái)需要工人照管的概率為P=1-Ip(0)+P(1血0.37.5 5答：1小時(shí)內(nèi)5臺(tái)機(jī)床中至少2臺(tái)需要工人照管的概率約為0.37點(diǎn)評(píng)：“至多”，“至少”問題往往考慮逆向思維法四、課堂練習(xí)：每次試驗(yàn)的成功率為P(0<P<1)，重復(fù)進(jìn)行10次試驗(yàn)，其中前7次都未成功后3次都成功的概率為()(A)C3p3(1-p)710(B)C3p3(1-p)3 (C)p3(1-p)7(D)p7(1-p)3102.10張獎(jiǎng)券中含有3張中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券，每人購(gòu)買1張，則前3個(gè)購(gòu)買者中，恰有一人中獎(jiǎng)的概率為()(A)C3(A)C3x0.72x0.310(B)C1x0.72x0.333(C)10(D)3A2?Ai7 3A3i05．一射手命中10環(huán)的概率為0.7，命中9環(huán)的概率為0.3，則該射手打3發(fā)得到不少于29環(huán)的概率為 .(設(shè)每次命中的環(huán)數(shù)都是自然數(shù))—名籃球運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為60%，在一次決賽中投10個(gè)球，則投中的球數(shù)不少于9個(gè)的概率為.—射手對(duì)同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行4次射擊，已知至少命中一次的概率為獸，則此射手的8i命中率為 .9.種植某種樹苗，成活率為90%，現(xiàn)在種植這種樹苗5棵，試求：⑴全部成活的概率；⑵全部死亡的概率；⑶恰好成活3棵的概率； ⑷至少成活4棵的概率?五、小結(jié)：1.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)要從三方面考慮?第一：每次試驗(yàn)是在同樣條件下進(jìn)行+第二：各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的“第三，每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生?如果1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率為P(k)二CkPk(1-P)"七對(duì)于此式可以這么理解：由于1次試驗(yàn)中事件A要么nn發(fā)生，要么不發(fā)生，所以在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A恰好發(fā)生k次，則在另外的n-k次中A沒有發(fā)生，即A發(fā)生，由P(A)=P，P(A)二1-P?所以上面的公式恰為[(1-P)+P]n展開式中的第k+1項(xiàng)，可見排列組合、二項(xiàng)式定理及概率間存在著密切的聯(lián)系*2．3離散型隨機(jī)變量的均值與方差2．3．1離散型隨機(jī)變量的均值教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：了解離散型隨機(jī)變量的均值或期望的意義，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值或期望．過程與方法：理解公式“E(ag+b)=aEg+b”,以及“若g丨.B(n,p),則Eg=np”.能熟練地應(yīng)用它們求相應(yīng)的離散型隨機(jī)變量的均值或期望。教學(xué)重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的均值或期望的概念*教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值或期望”教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：離散型隨機(jī)變量的幾何分布：在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，某事件第一次發(fā)生時(shí)，所作試驗(yàn)的次數(shù)§也是一個(gè)正整數(shù)的離散型隨機(jī)變量.“ k”表示在第k次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)事件第一次發(fā)生.如果把k次試驗(yàn)時(shí)事件A發(fā)生記為A、事件A不發(fā)生記為A，kkP(A)=p,P(A)=q(q=l-p)，那么kkTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"P憶=k)=P(AAA廠A)=P(A)P(A)P(A)P(廠)P(A)=qk-1p (k=123 k-1k 1 2 3 k-1 k0,1,2,…，q=1-p?)?.?于是得到隨機(jī)變量§的概率分布如下:§123 ?…kPppqq2p …qk-1p稱這樣的隨機(jī)變量§服從幾何分布?TOC\o"1-5"\h\z記作g(k,p)=qk-1p，其中k=0,1,2,…，q=1-p?二、講解新課：根據(jù)已知隨機(jī)變量的分布列，我們可以方便的得出隨機(jī)變量的某些制定的概率，但分布列的用途遠(yuǎn)不止于此，例如：已知某射手射擊所得環(huán)數(shù)e的分布列如下456789 10P0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22在n次射擊之前，可以根據(jù)這個(gè)分布列估計(jì)n次射擊的平均環(huán)數(shù)?這就是我們今天要學(xué)習(xí)的離散型隨機(jī)變量的均值或期望-根據(jù)射手射擊所得環(huán)數(shù)e的分布列，我們可以估計(jì)，在n次射擊中，預(yù)計(jì)大約有P化=4)xn=0.02n 次得4環(huán)；P(E=5)xn=0.04n 次得5環(huán)；P點(diǎn)=10)xn=0.22n次得10環(huán).故在n次射擊的總環(huán)數(shù)大約為4x0.02xn+5x0.04xnH b10x0.22xn=(4x0.02+5x0.04H b10x0.22)xn，從而，預(yù)計(jì)n次射擊的平均環(huán)數(shù)約為4x0.02+5x0.04+???+10x0.22=8.32.這是一個(gè)由射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列得到的，只與射擊環(huán)數(shù)的可能取值及其相應(yīng)的概率有關(guān)的常數(shù)，它反映了射手射擊的平均水平．對(duì)于任一射手，若已知其射擊所得環(huán)數(shù)E的分布列，即已知各個(gè)P(E=i)(i=0,1,2,…,10),我們可以同樣預(yù)計(jì)他任意n次射擊的平均環(huán)數(shù)：0xP憶=0)+1xP(g=1)+…+10xP(g=10).1.均值或數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量d的概率分布為dx1x2???xn???pp1p2???pn???則稱Eg=xp+xp+…+xp+…為d的均值或數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望.11 22 nn均值或數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平+平均數(shù)、均值:一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量d的概率分布中，令p1=p2=…11—p，則有p=p=…=p= ，Eg=(x+x+…+x)x，所以d的數(shù)學(xué)期望又n 1 2 nn 1 2 nn稱為平均數(shù)、均值+均值或期望的一個(gè)性質(zhì):若耳=ag+b(a、b是常數(shù))，d是隨機(jī)變量，則n也是隨機(jī)變量，它們的分布列為dx1x2???xn???nax+b1ax+b2???ax+bn???pp1p2???pn???于是Eq=(ax+b)p+(ax+b)p+ +(ax+b)p+—1 1 2 2 nn=a(xp+xp+…+xp+…)+b(p+p+…+p+…)11 22 nn 1 2 n=aEg+b，由此，我們得到了期望的一個(gè)性質(zhì)：E(ag+b)=aEg+b5.若gL_B(n,p),則Eg=np證明如下：?/ P(g=k)=Ckpk(l-p)n-k=Ckpkqn-k，nn

Eg=0XC0p0qn+1xCipiqn-1+2XC2p2qn-2-| \-kxCkpkqn-k-| \-nXn n n nCnpnq0．nn!nn!n?(n-1)!又, kCn=k?k!(n-k)!=(k-1)![(n-1)-(k-1)]!="C：；'Eg=np(C0p0nq-1-C1p1qn-2-…-Ck-1pk-1q(n-1)-(k-1)-…-n-1 n-1 n-1Cn-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=np.n-1故若F?B(n,p),則Eg=np.三、講解范例：例1.籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分,罰不中得0分,已知他命中的概率為0.7,求他罰球一次得分g的期望.解：因?yàn)镻(g=1)=0.7,p(g=0)=0.3，所以Eg=1x0.7+0x0.3=0.7+例4.隨機(jī)拋擲一枚骰子，求所得骰子點(diǎn)數(shù)g的期望-解：TP(g=i)=1/6,i=1,2,…心,Eg=1x1/6+2x1/6H F6x1/6=3.5-d123456P1d123456P111111666666所以Eg11=1X+2X—-3X1+4X11+5X-1+6X—6666661=(1+2+3+4+5+6)X =3.5.6拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)d的數(shù)學(xué)期望，就是d的所有可能取值的平均值.四、課堂練習(xí)：口袋中有5只球，編號(hào)為1,2,3,4,5,從中任取3球，以g表示取出球的最大號(hào)碼，則Eg=( )A.4； B.5； C.4.5； D.4.75+答案：C-籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中的1分,罰不中得0分.已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7,求⑴他罰球1次的得分§的數(shù)學(xué)期望；⑵他罰球2次的得分n的數(shù)學(xué)期望；⑶他罰球3次的得分§的數(shù)學(xué)期望.解：⑴因?yàn)镻(g=1)=0.7,P(g=0)=0.3，所以Eg=1XP(g=1)+0XP(g=0)=0.7⑵。的概率分布為n0 1 2P 0.32 C1X0.7X0.3 0.722所以 Eg=ox0.09+1X0.42+2X0.98=1.4.(3)§的概率分布為§0123P0.33C1x0.7x0.323C2x0.72x0.330.73所以Eg=ox0.027+1X0.189+2X0.98=2.1.五、 小結(jié)：(1)離散型隨機(jī)變量的期望，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平；(2)求離散型隨機(jī)變量d的期望的基本步驟：①理解d的意義，寫出d可能取的全部值；②求d取各個(gè)值的概率，寫出分布列；③根據(jù)分布列，由期望的定義求出 E^公式E(ag+b)=aEg+b,以及服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的期望Eg=np+六、 課后作業(yè)：P64-65練習(xí)1,2,3,4P69A組1,2,3一袋子里裝有大小相同的3個(gè)紅球和兩個(gè)黃球，從中同時(shí)取出2個(gè)，則其中含紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望 (用數(shù)字作答)解：令取取黃球個(gè)數(shù)g(=0、1、2)則g的要布列為g012331p10510331于疋E(g)=0X+1X+2X=0.810 5 10故知紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為1.2一個(gè)袋子里裝有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中同時(shí)取出2個(gè)，含紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望是1.2 ?解：從5個(gè)球中同時(shí)取出2個(gè)球，出現(xiàn)紅球的分布列為g012PC2—=0.1C25C1-C1~2=0.6C25C2—=0.3C25:、Eg=0x0.1+1x0.6+2x0.3=1.22．3．2離散型隨機(jī)變量的方差教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：了解離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出方差或標(biāo)準(zhǔn)差。過程與方法：了解方差公式“D(a§+b)=aD§”，以及“若§?B(n,p),則D§=np(1—p)”,并會(huì)應(yīng)用上述公式計(jì)算有關(guān)隨機(jī)變量的方差。教學(xué)重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差.教學(xué)難點(diǎn)：比較兩個(gè)隨機(jī)變量的期望與方差的大小，從而解決實(shí)際問題教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：9.數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量d的概率分布為dx1x2???xn???pp1p2???pn???則稱Eg=xp+xp+…+xp+…為d的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望.1122nn10.數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平*11平均數(shù)、均值:在有限取值離散型隨機(jī)變量d的概率分布中，令p=p=…=p，12n11則有p=p=…=p= ，Eg=(x+x+…+x)x，所以d的數(shù)學(xué)期望又稱為平12nn12nn均數(shù)、均值+期望的一個(gè)性質(zhì)：E(ag+b)=aEg+b若g丨B(n,p),則Eg=np*二、講解新課：方差：對(duì)于離散型隨機(jī)變量f，如果它所有可能取的值是x,x，…，x，…，12n且取這些值的概率分別是p，p，…，p，…，那么,12nDg=(x-Eg)2-p+(x-Eg)2-p-| \-(x-Eg)2-p-|—1122nn稱為隨機(jī)變量f的均方差，簡(jiǎn)稱為方差，式中的Eg是隨機(jī)變量f的期望.標(biāo)準(zhǔn)差：Dg的算術(shù)平方根fDg叫做隨機(jī)變量f的標(biāo)準(zhǔn)差，記作Qg.方差的性質(zhì)：(1)D(ag+b)二a2Dg；(2)Dg=Eg2-(Eg)2；(3)若f?B(n，p)，則Dg=np(1-p)?其它：(1)隨機(jī)變量f的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；⑵隨機(jī)變量f的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量f的特征數(shù)，它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度；⑶標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實(shí)際問題中應(yīng)用更廣泛三、講解范例：例1.隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,求向上一面的點(diǎn)數(shù)的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差.解：拋擲散子所得點(diǎn)數(shù)X的分布列為g123456P111111666666從而111111EX=lx—+2x—+3x_+4x—+5x—+6x_=3.5；666666DX=(1-3.5)2x1+(2-3.5)2x1+(3-3.5)2x1+(4-3.5)2x16666+(5-3.5)2x1+(6-3.5)2x1沁2.9266bX=4DX沁1.71.例3.設(shè)隨機(jī)變量§的分布列為§12???nP11???1nnn求D§-解：(略)Eg=*，Dg=罟.例4.已知離散型隨機(jī)變量g］的概率分布為g112345671111111P7777777離散型隨機(jī)變量g2的概率分布為g23.73.83.944.14.24.3F)1111111P7777777求這兩個(gè)隨機(jī)變量期望、均方差與標(biāo)準(zhǔn)差.解：Eg=1x—+2x—h f7x—=4；TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"7 7 7Dg=(1-4)2x-+(2-4)2x-+???+(7-4)2x—=4；eg= =2.7 7 7i'iEg=3.7x—+3.8x—+???+4.3x—=4；\o"CurrentDocument"7 7 7Dg2=0.04,理=4D\=0.2.點(diǎn)評(píng)：本題中的g和g都以相等的概率取各個(gè)不同的值，但g的取值較為分散，g的i2 i 2取值較為集中.Eg=Eg=4，Dg=4，Dg=0.04，方差比較清楚地指出了g比gi2 i 2 2i取值更集中.bg=2，bg=0.02，可以看出這兩個(gè)隨機(jī)變量取值與其期望值的偏差’12例6．A、B兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時(shí)，出次品的概率如下表所示：A機(jī)床 B機(jī)床次品數(shù)g次品數(shù)g10123概率P0.70.20.060.04次品數(shù)g]0123概率P0.80.060.040.10問哪一臺(tái)機(jī)床加工質(zhì)量較好+解：Eg]=0X0.7+1X0.2+2X0.06+3X0.04=0.44,Eg=0X0.8+1X0.06+2X0.04+3X0.10=0.44.2它們的期望相同，再比較它們的方差+Dg=（0-0.44）2X0.7+（1-0.44）2X0.2+（2-0.44）2X0.06+（3-0.44）2X0.04=0.6064,Dg=（0-0.44）2X0.8+（1-0.44）2X0.06+（2-0.44）22X0.04+（3-0.44）2X0.10=0.9264..??Dg$Dg2故A機(jī)床加工較穩(wěn)定、質(zhì)量較好.四、課堂練習(xí)：1.已知E?B(n,p),E^=&D^=1.6，則n,p的值分別是( )A.100和0.08； b.20和0.4； c.10和0.2； d.10和0.8+答案：1.D ?一盒中裝有零件12個(gè)，其中有9個(gè)正品，3個(gè)次品，從中任取一個(gè)，如果每次取出次品就不再放回去，再取一個(gè)零件，直到取得正品為止.求在取得正品之前已取出次品數(shù)的期望.分析：涉及次品率；抽樣是否放回的問題.本例采用不放回抽樣，每次抽樣后次品率將會(huì)發(fā)生變化，即各次抽樣是不獨(dú)立的.如果抽樣采用放回抽樣，則各次抽樣的次品率不變，各次抽樣是否抽出次品是完全獨(dú)立的事件.解：設(shè)取得正品之前已取出的次品數(shù)為g，顯然g所有可能取的值為0,1,2,3當(dāng)g=0時(shí)，即第一次取得正品，試驗(yàn)停止，則P（g=0）P（g=0）9312當(dāng)g=1時(shí)，即第一次取出次品，第二次取得正品，試驗(yàn)停止，則P（gP（g=1）399=x=——12/19當(dāng)E=2時(shí)，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，試驗(yàn)停止，則299TOC\o"1-5"\h\zP(§=2)=—xx= —s121110220當(dāng)E=3時(shí)，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，試驗(yàn)停止，則P(E=3)32 191=xxx—= —1211109220所以，Eg0x所以，Eg0x3+1x—+2x4 449220122010型+5x—+25x丄+100x—=0.2400 50 500 2000五、小結(jié)：⑴求離散型隨機(jī)變量§的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的步驟：①理解§的意義，寫出§可能取的全部值；②求§取各個(gè)值的概率，寫出分布列；③根據(jù)分布列，由期望的定義求出E§；④根據(jù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義求出 Dg、bg?若§?B(n，p)，則不必寫出分布列，直接用公式計(jì)算即可．⑵對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量g和g，在Eg和Eg相等或很接近時(shí)，比較Dg和12121Dg，可以確定哪個(gè)隨機(jī)變量的性質(zhì)更適合生產(chǎn)生活實(shí)際，適合人們的需要22．4正態(tài)分布教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：掌握正態(tài)分布在實(shí)際生活中的意義和作用。過程與方法：結(jié)合正態(tài)曲線，加深對(duì)正態(tài)密度函數(shù)的理理。情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過正態(tài)分布的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)：正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線N(0,1)。教學(xué)難點(diǎn)：通過正態(tài)分布的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì)。復(fù)習(xí)引入：總體密度曲線:樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接近于總體在相應(yīng)各組取值的概率．設(shè)想樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會(huì)無限接近于一條光滑曲線,這條曲線叫做總體密度曲線．

總體密度曲線它反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的概率.根據(jù)這條曲線，可求出總體在區(qū)間(a,b)內(nèi)取值的概率等于總體密度曲線，直線x=a，x=b及x軸所圍圖形的面積.觀察總體密度曲線的形狀，它具有“兩頭低，中間高，左右對(duì)稱”的特征，具有這種特征的總體密度曲線一般可用下面函數(shù)的圖象來表示或近似表示：1 _（x一從）2p（x）= e_202,xe（一8,+8）卩Q 2兀G式中的實(shí)數(shù)卩、oQ>0)是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差， p(X)的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線．講解新課：

P(a<X<B)=ib申(x)dxaHQ '則稱X的分布為正態(tài)分布(normaldistribution).正態(tài)分布完全由參數(shù)卩和◎確定,因此正態(tài)分布常記作N(PQ2).如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則記為X?N(PQ2).經(jīng)驗(yàn)表明，一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布.例如，高爾頓板試驗(yàn)中，小球在下落過程中要與眾多小木塊發(fā)生碰撞，每次碰撞的結(jié)果使得小球隨機(jī)地向左或向右下落，因此小球第1次與高爾頓板底部接觸時(shí)的坐標(biāo)X是眾多隨機(jī)碰撞的結(jié)果，所以它近似服從正態(tài)分布.在現(xiàn)實(shí)生活中，很多隨機(jī)變量都服從或近似地服從正態(tài)分布.例如長(zhǎng)度測(cè)量誤差；某一地區(qū)同年齡人群的身高、體重、肺活量等；一定條件下生長(zhǎng)的小麥的株高、穗長(zhǎng)、單位面積產(chǎn)量等；正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)(如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容量、電子管的使用壽命等)；某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度、降雨量等；一般都服從正態(tài)分布.因此，正態(tài)分布廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實(shí)際之中.正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計(jì)中占有重要的地位.說明：1參數(shù)H是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本均值去佑計(jì);◎是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì).2.早在1733年，法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗就用n!的近似公式得到了正態(tài)分布.之后，德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在研究測(cè)量誤差時(shí)從另一個(gè)角度導(dǎo)出了它，并研究了它的性質(zhì)，因此，人們也稱正態(tài)分布為高斯分布.2.正態(tài)分布N(HQ2))是由均值|j和標(biāo)準(zhǔn)差O唯一決定的分布通過固定其中一個(gè)值，討論均值與標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)于正態(tài)曲線的影響+

3．通過對(duì)三組正態(tài)曲線分析，得出正態(tài)曲線具有的基本特征是兩頭底、中間高、左右對(duì)稱?正態(tài)曲線的作圖，書中沒有做要求，教師也不必補(bǔ)上?講課時(shí)教師可以應(yīng)用幾何畫板，形象、美觀地畫出三條正態(tài)曲線的圖形，結(jié)合前面均值與標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)圖形的影響，引導(dǎo)學(xué)生觀察總結(jié)正態(tài)曲線的性質(zhì)4．正態(tài)曲線的性質(zhì)：（1） 曲線在x軸的上方，與x軸不相交+（2） 曲線關(guān)于直線x=p對(duì)稱?（3） 當(dāng)x=p時(shí)，曲線位于最高點(diǎn)亠（4） 當(dāng)xVp時(shí)，曲線上升（增函數(shù)）；當(dāng)x>p時(shí)，曲線下降（減函數(shù)）?并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時(shí)，以x軸為漸近線，向它無限靠近?

p一定時(shí)，曲線的形狀由O確定-O越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；O越小?曲線越“瘦高”總體分布越集中：五條性質(zhì)中前三條學(xué)生較易掌握，后兩條較難理解，因此在講授時(shí)應(yīng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的原則，采用對(duì)比教學(xué)?5.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線:當(dāng)p=0、o=l時(shí)，正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，其相應(yīng)的函數(shù)表示1 X2.式是f(x)= e2，(-8<xv+b)2n其相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線?標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N(0,1)在正態(tài)總體的研究中占有重要的地位.任何正態(tài)分布的概率問題均可轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率問題?講解范例：例1.給出下列三個(gè)正態(tài)總體的函數(shù)表達(dá)式，請(qǐng)找出其均值p和標(biāo)準(zhǔn)差O?1 -XL(1)f(x)=e"2,xe(一8,+8)J2兀1 一(x-])2(2)f(x)= e一8,xe(-8,+8)f(x)=2J2兀f(x)=e-2(x+i)2,xe(-8,+8)\：2n答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5例2求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在(-1，2)內(nèi)取值的概率解：利用等式p"(9-①W)有p=O(2)-①(-1)=O(2)-{-①L(-1)]}=①(2)+①(1)-1=0.9772+0.8413—1=0.8151.1.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的概率問題:

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N(0,1),①(x)是總體取值小于x的概率，00即①(x)=P(x<x),00其中x>0,圖中陰影部分的面積表示為概率P(x<x)+只要有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表即可查表00解決?從圖中不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x<0時(shí)，①(x)二1—①(―x)；而當(dāng)x二0時(shí)，①(0)=0.500002.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N(0,1)在