人教版八年級數(shù)學上冊 專題12.3 角平分線的性質(zhì)講練（原卷版）

專題12.3角平分線的性質(zhì)典例體系一、知識點1.角的平分線的作法；2.角的平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等；3.證明一個幾何中的命題，一般步驟：=1\*GB3①明確命題中的已知和求證；=2\*GB3②根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學符號表示已知和求證；=3\*GB3③經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程；4.性質(zhì)定理的逆定理：角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點在角的平分線上；二、考點點撥與訓練考點1：角平分線性質(zhì)定理及其應用典例：（2020·河北省初二期末）如圖，在△ABC中，D是BC邊上的點（不與點B，C重合），連結(jié)AD（1）如圖1,當點D是BC邊上的中點時，則S△ABD:S△ACD=_________（直接寫出答案）（2）如圖2，當AD是∠BAC的平分線時，若AB=m，AC=n，S△ABD:S△ACD=_________(用含m,n的代數(shù)式表示)．（3）如圖3，AD平分∠BAC，延長AD到E，使得AD=DE,連結(jié)BE，如果AC=2,AB=4,S△BDE=6,求△ABC的面積．方法或規(guī)律點撥本題考查了角平分線性質(zhì)和三角形的面積公式，能根據(jù)（1）（2）得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．鞏固練習1．（2022·廣東省深圳外國語學校初一期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AD平分∠CAB交BC于D點，E，F(xiàn)分別是AD，AC上的動點，則CE+EF的最小值為（）A． B． C．3 D．2．（2020·山東省濟南外國語學校初二期中）如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為用A、B．下列結(jié)論中不一定成立的是（）A．PA＝PE B．PO平分∠APB C．AB垂直平分OP D．OA＝OB3．（2020·遼寧省初三其他）如圖，在中，，以頂點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點，，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交邊于點，若，，則的面積是（）A．15 B．30 C．45 D．604．（2020·南通市八一中學初一月考）如圖，a、b、c三條公路的位置相交成三角形，現(xiàn)決定在三條公路之間建一購物超市，使超市到三條公路的距離相等，則超市應建在（）A．三角形兩邊高線的交點處 B．三角形兩邊中線的交點處C．∠α的平分線上 D．∠α和∠β的平分線的交點處5．（2020·河南省初三二模）如圖，在中，，以點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交于點，再分別以點為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交邊于點，則的面積是（）A． B． C． D．6．（2020·黑龍江省初二期末）如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于點D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm7．（2022·內(nèi)蒙古自治區(qū)初二期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△AED的面積分別為50和39，則△EDF的面積為（）A．11 B．5.5C．7 D．3.58．（2022·陜西省交大附中分校初一期末）如圖，在△ABC中，E為AC的中點，AD平分∠BAC，BA：CA=2：3，AD與BE相交于點O，若△OAE的面積比△BOD的面積大1，則△ABC的面積是（）A．8 B．9 C．10 D．119．（2020·湖北省武漢市江漢區(qū)教育局初二月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，AC=6.點I為△ABC三條角平分線的交點，則點I到邊AB的距離為__________10．（2022·湖北省初二期中）如圖，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，CB=8，則點M到BC的距離_______．11．（2020·上饒市廣信區(qū)第七中學初二月考）如圖，的三邊的長分別為，其三條角平分線交于點，則=______．12．（2022·眉山東辰國際學校初一期末）如圖，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8.若S△ABC＝21，則DE＝________．13．（2022·深圳市明德外語實驗學校初二期中）如圖：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF.（1）求證：CF=EB．（2）若AF=2,EB=1,求AB的長.14．（2020·凌海市石山鎮(zhèn)初級中學初一月考）已知是的平分線，點是射線上一點，點C、D分別在射線、上，連接PC、PD．（1）發(fā)現(xiàn)問題如圖①，當，時，則PC與PD的數(shù)量關(guān)系是________．（2）探究問題如圖②，點C、D在射線OA、OB上滑動，且∠AOB=90°，∠OCP＋∠ODP=180°，當時，PC與PD在（1）中的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說明理由．考點2：角平分線性質(zhì)定理的逆定理及其應用典例：（2020·四川省初二期中）如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線與BC的中垂線DE交于點E，過點E作AC邊的垂線，垂足為N，過點E作AB延長線的垂線，垂足為M.(1)求證：BM=CN；(2)若，AB=2，AC=8，求BM的長.方法或規(guī)律點撥本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)以及具體的應用．鞏固練習1．（2020·福州四十中金山分校初二月考）小明同學在學習了全等三角形的相關(guān)知識后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點P，小明說：“射線OP就是∠BOA的角平分線．”他這樣做的依據(jù)是()A．角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上B．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等C．三角形三條角平分線的交點到三條邊的距離相等D．以上均不正確2．（2020·湖北省中考真題）如圖，已知和都是等腰三角形，，交于點F，連接，下列結(jié)論：①；②；③平分；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2020·四川省正興中學初二二模）已知，如圖，中，，點為的三條角平分線的交點，垂直，，，點、、分別是垂足，且，，，則__________．4．（2020·甘肅省平川區(qū)四中初二期中）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，點D為斜邊BC上一點，且BD=BA，過點D作BC的垂線交AC于點E．求證：點E在∠ABC的角平分線上．5．（2020·甘州區(qū)南關(guān)學校初二月考）如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．（1）求證：△BCE≌△DCF；（2）求證：AB+AD=2AE.6．（2022·云龍縣第三中學初二期中）如圖，BE⊥AC、CF⊥AB于點E、F，BE與CF交于點D，DE=DF，連接AD．求證：（1）∠FAD=∠EAD；（2）BD=CD．7．（2021·江蘇省初二期中）已知：如圖中，，，垂足分別為F、E，交于點D，，求證：D點在的平分線上．考點3：與角平分線有關(guān)的尺規(guī)作圖典例：（2020·河北省中考真題）如圖1，已知，用尺規(guī)作它的角平分線．如圖2，步驟如下，第一步：以為圓心，以為半徑畫弧，分別交射線，于點，；第二步：分別以，為圓心，以為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)部交于點；第三步：畫射線．射線即為所求．下列正確的是（）A．，均無限制 B．，的長C．有最小限制，無限制 D．，的長方法或規(guī)律點撥本題主要考查了基本作圖，解決問題的關(guān)鍵是掌握作角平分線的方法．鞏固練習1．（2020·廣西壯族自治區(qū)初三其他）如圖尺規(guī)作業(yè)，為的平分線，這樣的作法依據(jù)是()A． B． C． D．2．（2020·河南省初二月考）如圖，△ABC中，點E，F(xiàn)，G分別在BC，AC，AB上，AE與BF交于點O，且點O在CG上，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，判斷下列說法不正確的是（）A．AE，BF是△ABC的角平分線 B．點O到△ABC三邊的距離相等C．CG也是△ABC的一條角平分線 D．AO＝BO＝CO3．（2020·新疆維吾爾自治區(qū)初三其他）如圖，在中，尺規(guī)作圖如下：在射線、上，分別截取、，使；分別以點和點為圓心、大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點；作射線，連結(jié)、.下列結(jié)論不一定成立的是()A． B． C． D．4．（2020·廣東省仙田外國語學校初一期中）如圖所示，已知∠AOB=40°，現(xiàn)按照以下步驟作圖：①在OA，OB上分別截取線段OD，OE，使OD=OE；②分別以D，E為圓心，以大于DE的長為半徑畫弧，在∠AOB內(nèi)兩弧交于點C；③作射線OC．則∠AOC的大小為_________．5．（2020·內(nèi)蒙古自治區(qū)初二期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AC、AB于點M、N，再分別以M、N為圓心，任意長為半徑畫弧，兩弧交于點O，作射線AO交BC于點D，若CD＝3，P為AB上一動點，則PD的最小值為_____．6．（2020·湖南省中考真題）人教版初中數(shù)學教科書八年級上冊第48頁告訴我們一種作已知角的平分線的方法：已知：求作：的平分線做法：（1）以O(shè)為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N，（2）分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點C（3）畫射線OC，射線OC即為所求．請你根據(jù)提供的材料完成下面問題：（1）這種作已知角平分線的方法的依據(jù)是__________________(填序號)．①②③④（2）請你證明OC為的平分線．7．（2020·云南省初三二模）如圖所示，在△ABC中，按以下步驟作圖：①以點B為圓心，任意長為半徑作弧，分別交BA、BC于點M、N；再以點N為圓心，MN長為半徑作弧交前面的弧于點F，作射線BF交AC的延長線于點E．②以點B為圓心，BA長為半徑作弧交BE于點D，連接CD．請你觀察圖形，解答下列問題：（1）求證：△ABC≌△DBC；（2）若∠A=100°，∠E=