專題05函數(shù)的基本性質(zhì)（12大考點(diǎn)知識(shí)串講熱考題型專題訓(xùn)練）

專題05函數(shù)的基本性質(zhì)知識(shí)聚焦考點(diǎn)聚焦知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性1、單調(diào)函數(shù)的定義與圖象設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮.如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)遞增函數(shù)。當(dāng)時(shí)，都有，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)遞減函數(shù)。上升趨勢(shì)下降趨勢(shì)2、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．3、單調(diào)性定義的等價(jià)形式:（1）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)任取，且，都有；任取，且，；任取，且，；任取，且，.（2）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)任取，且，都有；任取，且，；任取，且，；任取，且，.4、定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟①取值：設(shè)，為該區(qū)間內(nèi)任意的兩個(gè)值，且②作差變形：做差，并通過通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷差值符號(hào)的方向變形③定號(hào)：確定差值的符號(hào)，當(dāng)符號(hào)不確定時(shí)，可以分類討論④判斷：根據(jù)定義做出結(jié)論。5、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)若函數(shù)與在區(qū)間D上具有單調(diào)性，則在區(qū)間D上具有以下性質(zhì)：（1）與（C為常數(shù)）具有相同的單調(diào)性.（2）與的單調(diào)性相反.（3）當(dāng)時(shí)，與單調(diào)性相同；當(dāng)時(shí)，與單調(diào)性相反.（4）若≥0，則與具有相同的單調(diào)性.（5）若恒為正值或恒為負(fù)值，則當(dāng)時(shí)，與具有相反的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，與具有相同的單調(diào)性.（6）與的和與差的單調(diào)性（相同區(qū)間上）:簡記為：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.（7）對(duì)于符合函數(shù)，設(shè)在上單調(diào)，且在或上也單調(diào)，那么在的單調(diào)性簡記為“同增異減”.知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的奇偶性1、函數(shù)奇偶性的定義（1）奇函數(shù)：如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（2）偶函數(shù)：如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱。偶函數(shù)的性質(zhì)：，可避免討論．2、判斷函數(shù)奇偶性的常用方法（1）定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，再判斷與之一是否相等.【注意】判斷與的關(guān)系時(shí)，也可以使用如下結(jié)論：=1\*GB3①如果或，則函數(shù)為偶函數(shù)；=2\*GB3②如果或，則函數(shù)為奇函數(shù)．（2）圖象法：奇（偶）函數(shù)等價(jià)于它的圖象關(guān)于原點(diǎn)（軸）對(duì)稱.（3）性質(zhì)法：設(shè)，的定義域分別是，，在它們的公共定義域上，一般具有下列結(jié)論：偶偶偶偶偶偶奇不確定奇偶奇偶不確定奇偶奇奇奇偶奇【注意】在中，的值域是定義域的子集（4）分段函數(shù)奇偶性的判斷判斷分段函數(shù)的奇偶性時(shí)，通常利用定義法判斷.分段函數(shù)不是幾個(gè)函數(shù)，而是一個(gè)函數(shù).因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后判斷與的關(guān)系。首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達(dá)式中，與對(duì)應(yīng)不同的表達(dá)式，而它們的結(jié)果按奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行比較.3、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用函數(shù)奇偶性的定義既是判斷函數(shù)奇偶性的一種方法，又是在已知函數(shù)奇偶性時(shí)可以運(yùn)用的一個(gè)性質(zhì)，要注意函數(shù)奇偶性定義的正用和逆用。（1）由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)：若函數(shù)解析式中含參數(shù)，則根據(jù)或，利用待定系數(shù)法求參數(shù)；若定義域含參數(shù)，則根據(jù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，利用區(qū)間的端點(diǎn)值之和為0求參數(shù)。（2）由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值：由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值時(shí)，若所給的函數(shù)具有奇偶性，則直接利用或求解；若所給函數(shù)不具有奇偶性，一般續(xù)利用所給的函數(shù)構(gòu)造一個(gè)奇函數(shù)或偶函數(shù)，然后利用其奇偶性求值。（3）由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式的一般步驟第一步：在哪個(gè)區(qū)間上求解析是，就設(shè)在哪個(gè)區(qū)間上；第二步：把對(duì)稱轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，代入已知區(qū)間的解析式得第三步：利用函數(shù)的奇偶性把改寫成，從而求出.知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)的周期性1、周期函數(shù)的定義：對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．最小正周期：如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做的最小正周期．2、函數(shù)周期性的常用結(jié)論（是不為0的常數(shù)）（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則；（5）若，則；（6）若，則（）；知識(shí)點(diǎn)4函數(shù)的對(duì)稱性1、函數(shù)對(duì)稱性的常用結(jié)論（1）若，則函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱；（2）若，則函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱；（3）若，則函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱；（4）若，則函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱；2、函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的對(duì)稱性的關(guān)系（1）若函數(shù)滿足，則其函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)可以得出，函數(shù)為偶函數(shù)，即偶函數(shù)為特殊的線對(duì)稱函數(shù)；（2）若函數(shù)滿足，則其函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)，時(shí)可以得出，函數(shù)為奇函數(shù)，即奇函數(shù)為特殊的點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)；3、函數(shù)對(duì)稱性與周期性的關(guān)系（1）若函數(shù)關(guān)于直線與直線對(duì)稱，那么函數(shù)的周期是；（2）若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，那么函數(shù)的周期是；（3）若函數(shù)關(guān)于直線，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，那么函數(shù)的周期是.4、函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性的關(guān)系（1）=1\*GB3①函數(shù)是偶函數(shù)；=2\*GB3②函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱；=3\*GB3③函數(shù)的周期為.（2）=1\*GB3①函數(shù)是奇函數(shù)；=2\*GB3②函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；=3\*GB3③函數(shù)的周期為.（3）=1\*GB3①函數(shù)是奇函數(shù)；=2\*GB3②函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱；=3\*GB3③函數(shù)的周期為.（4）=1\*GB3①函數(shù)是偶函數(shù)；=2\*GB3②函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；=3\*GB3③函數(shù)的周期為.其中，上面每組三個(gè)結(jié)論中的任意兩個(gè)能夠推出第三個(gè)?？键c(diǎn)剖析考點(diǎn)1函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明【例1】（2022秋·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)在上為增函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是A．在上為減函數(shù)B．在上為增函數(shù)C．在上為增函數(shù)D．在上為減函數(shù)【答案】D【解析】根據(jù)題意，在上為增函數(shù)，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于，若，則，在上不是減函數(shù)，錯(cuò)誤；對(duì)于，若，則，在上不是增函數(shù)，錯(cuò)誤；對(duì)于，若，則，在上不是增函數(shù)，錯(cuò)誤；對(duì)于，函數(shù)在上為增函數(shù)，則對(duì)于任意的、，設(shè)，必有，對(duì)于，則有，則在上為減函數(shù)，正確；故選：D.【變式11】（2020秋·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，都是上的單調(diào)函數(shù)，有如下四個(gè)命題，正確的是（）①若單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，則單調(diào)遞增；②若單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，則單調(diào)遞增；③若單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，則單調(diào)遞減；④若單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，則單調(diào)遞減.A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】C【解析】對(duì)于命題①，令，均為增函數(shù)，而為減函數(shù)，①錯(cuò)誤；對(duì)于命題②，設(shè)，則，，∴，∴，故單調(diào)遞增，命題②正確；對(duì)于命題③，設(shè)，則，，∴，∴，故單調(diào)遞減，命題③正確.對(duì)于命題④，令，均為減函數(shù)，而為增函數(shù)，故④錯(cuò)誤.故選：C【變式12】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知定義在（0，）上的函數(shù)滿足：對(duì)任意正數(shù)a?b，都有，且當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（）A．是增函數(shù)，且B．是增函數(shù)，且C．是減函數(shù)，且D．是減函數(shù)，且【答案】D【解析】法一：取，滿足題干條件，則是減函數(shù)，且；法二：當(dāng)時(shí)，.設(shè)，則，由已知，.所以，即，所以是減函數(shù)，故選：D.【變式13】（2023秋·黑龍江雙鴨山·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的圖像過點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)m的值；（2）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；【答案】（1）；（2）單調(diào)遞增，證明見解析；【解析】（1）將點(diǎn)代入函數(shù)中，可得，解得.（2）單調(diào)遞增，證明如下.由（1）可得，任取，則，因?yàn)?，則，，，即，所以，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.【變式14】（2022秋·廣東東莞·高一校聯(lián)考期中）設(shè)是定義在上的函數(shù)，對(duì)任意的，恒有，且當(dāng)時(shí)，．（1）求．（2）證明：時(shí)，恒有．（3）求證：在上是減函數(shù)．【答案】（1）1；（2）證明見解析；（3）證明見解析【解析】（1）由題意，在中，∴解得：或當(dāng)時(shí)，令，則恒成立，故舍去，∴（2）由題意及（1）得，在中，令，若，則即，而當(dāng)時(shí)，，矛盾，∴∴∴時(shí)，恒有（3）由題意及（1）（2）得,在中，當(dāng)時(shí)，設(shè)任意的且∵，∴即∴∴在上是減函數(shù)考點(diǎn)2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的單增區(qū)間為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】.因?yàn)?，，所以的增區(qū)間是．故選：D【變式21】（2022·高一單元測(cè)試）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】的圖象是由的圖象沿軸向右平移個(gè)單位，然后沿軸向下平移個(gè)單位得到，如下圖的單調(diào)增區(qū)間是．故選：C.【變式22】（2023秋·重慶·高一校考階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【答案】【解析】令，解得，故函數(shù)定義域?yàn)?，其中，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，其中在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，的單調(diào)遞減區(qū)間為.【變式23】（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）若定義在上的函數(shù)滿足，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．和B．和C．和D．和【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，則，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，，在上單調(diào)遞增；綜上所述：的單調(diào)遞增區(qū)間為和.故選：B.考點(diǎn)3已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【例3】（2023秋·浙江寧波·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，設(shè)，則為減函數(shù)，且在區(qū)間上大于零恒成立.所以，故選：A【變式31】（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）是函數(shù)在單調(diào)遞減的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要【答案】A【解析】，顯然函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減；若函數(shù)在單調(diào)遞減，則，所以是函數(shù)在單調(diào)遞減的充分不必要條件.故選：A.【變式32】（2023秋·云南曲靖·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，所以的取值范圍為.【變式33】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是R上的單調(diào)減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．[0，＋∞)B．C．D．(－∞，0)∪【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)，即有，解得；當(dāng)時(shí)，函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)，分界點(diǎn)處的值應(yīng)滿足，解得，∴．故選：B.【變式34】（2023秋·貴州貴陽·高一?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)對(duì)，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】由可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.考點(diǎn)4利用函數(shù)單調(diào)性求值域【例4】（2023秋·江蘇無錫·高一?？茧A段練習(xí)）求下列函數(shù)的值域（1）（2）【答案】（1）；（2）【解析】（1），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在上函數(shù)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，所以；（2）易知函數(shù)的定義域?yàn)?，令，所以，由二次函?shù)的性質(zhì)可知時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，函數(shù)無最小值，故.【變式41】（2023秋·四川眉山·高一仁壽一中校考階段練習(xí)）求下列函數(shù)的值域.（1）（2）【答案】（1）；（2）【解析】（1）,函數(shù)的定義域?yàn)?，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，,又因?yàn)椋?所以函數(shù)的值域?yàn)椋?）,當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào),函數(shù)的值域?yàn)?【變式42】（2023秋·浙江嘉興·高一?？茧A段練習(xí)）記表示中三個(gè)數(shù)的最小值，若，則的最大值為.【答案】1【解析】由題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；從而，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖可知時(shí)，函數(shù)有最大值1.【變式43】（2023秋·黑龍江雙鴨山·高一?？茧A段練習(xí)）若a，R，記，則函數(shù)(R)的最大值為（）A．0B．C．1D．3【答案】C【解析】比較函數(shù)與函數(shù)值的大小，取較小值，得到如圖所示的圖像：當(dāng)時(shí)，令，則解得，；當(dāng)時(shí)，令，則，解得，所以函數(shù)與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，由圖可知時(shí)，函數(shù)有最大值1.故選：C.【變式44】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知二次函數(shù)，且，且的解集為．（1）求的解析式．（2）求在區(qū)間的最大值記為，并求的最大值．【答案】（1）；（2），最大值為8【解析】（1）∵，∴函數(shù)的對(duì)稱軸為，∵二次函數(shù)，∴①，又的解集為，，∴的兩個(gè)根是，；并且．即②，③，聯(lián)立①②③，解得，，．∴函數(shù)的解析式為：．（2）由（1）知開口向下，且對(duì)稱軸為，在區(qū)間的最大值記為，當(dāng)，即時(shí)，在上是增函數(shù)，函數(shù)的最大值為．當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，函數(shù)的最大值為．當(dāng)，即時(shí)，在上函數(shù)的最大值為．綜上：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)的最大值為8．考點(diǎn)5根據(jù)函數(shù)的值域求參數(shù)【例5】（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上有最小值1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【答案】【解析】，要想取到最小值1，則，所以.【變式51】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】由題意，在中，∵函數(shù)有最小值，∴函數(shù)應(yīng)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增或常函數(shù)，∴，解得：，∴有最小值時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【變式52】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，記函數(shù)，其中實(shí)數(shù)，若的值域?yàn)椋瑒t的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，由雙勾函數(shù)的性質(zhì)知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，，所以的取值范圍是?故選：B.【變式53】（2023秋·福建漳州·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)，對(duì)使成立，則的取值范圍是.【答案】【解析】由函數(shù)，則其單調(diào)性為單調(diào)遞增，所以其在上的值域?yàn)?；由函?shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，其在上的值域?yàn)?；根?jù)題意，，可得不等式組，解得，所以可得.【變式54】（2022秋·貴州遵義·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，y，都有成立，且當(dāng)時(shí)，．（1）求．（2）求的解析式．（3）若函數(shù)，試問是否存在實(shí)數(shù)a，使得的最小值為？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，【解析】（1）令，則，解得或（舍去），所以．（2）令，則，．所以的解析式為．（3）由，即．令，記函數(shù)，對(duì)稱軸為．①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，解得，不符合題意，舍去；②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得，不符合題意，舍去；③當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，解得，符合題意．綜上，存在，使得的最小值為．考點(diǎn)6函數(shù)奇偶性的判斷與證明【例6】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）偶函數(shù)；（2）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；（3）非奇非偶函數(shù)【解析】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，所以函?shù)為偶函數(shù).（2）因?yàn)?，所以，則有，解得，則函數(shù)定義域?yàn)?，且，所以和同時(shí)成立，故既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).（3），其定義域?yàn)?，其定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是非奇非偶函數(shù)．【變式61】（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，該函數(shù)是由（該函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即為奇函數(shù)）向右平移2個(gè)單位，然后再沿軸向下平移1個(gè)單位得到的，故將的圖像向左平移2個(gè)單位，然后再沿軸向上平移1個(gè)單位得到關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的奇函數(shù)的圖像，可知．故選：D．【變式62】（2023秋·福建福州·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的圖象（）A．關(guān)于軸對(duì)稱B．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．關(guān)于軸對(duì)稱D．關(guān)于直線對(duì)稱【答案】B【解析】的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.故選項(xiàng)B正確.故選：B.【變式63】（2023秋·新疆·高一校聯(lián)考期中）（多選）已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，則（）A．是奇函數(shù)B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù)D．是奇函數(shù)【答案】CD【解析】是奇函數(shù)，；是偶函數(shù)，；對(duì)于A，，不是奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，不是奇函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，是奇函數(shù)，C正確；對(duì)于D，，是奇函數(shù)，D正確.故選：CD.【變式64】（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，并且滿足，且，當(dāng)時(shí)，．（1）求的值；（2）判斷函數(shù)的奇偶性；【答案】（1）；（2）奇函數(shù)【解析】（1）由，令，得，所以；（2）奇函數(shù)，理由如下：由，令，則，又的定義域?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù).考點(diǎn)7根據(jù)函數(shù)奇偶性求參求值【例7】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則．【答案】/【解析】由題意可知，即.又是奇函數(shù)，故，即，∴對(duì)任意都成立，則，∴.所以.【變式71】（2023秋·重慶·高一校考階段練習(xí)）已知且，則=.【答案】【解析】由題意，設(shè)，又，所以函數(shù)是奇函數(shù)，可得，即，又，則.【變式72】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，且，則的值為.【答案】【解析】，令，函數(shù)定義域?yàn)镽，，為奇函數(shù)，，則，.【變式73】（2023秋·浙江寧波·高一校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則．【答案】2【解析】，設(shè)，則，函數(shù)為奇函數(shù)，，，.【變式74】（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.若，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由是奇函數(shù)，得，即，由是偶函數(shù)，得，令，得：，，而，于是，解得，令，得，即，則，解得，因此，又，于是，所以.故選：C考點(diǎn)8利用函數(shù)奇偶性求解析式【例8】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）為上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，則．由于是上的奇函數(shù)，故，所以當(dāng)時(shí)，．因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，故．綜上，.【變式81】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求函數(shù)的解析式．【答案】【解析】設(shè)，則，所以，又是上的奇函數(shù)，則，又函數(shù)定義域?yàn)椋瑒t，綜上可知，函數(shù)的解析式為．【變式82】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知是R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求的解析式．【答案】【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以因?yàn)槭荝上的偶函數(shù)，所以，，所以.【變式83】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足為奇函數(shù)，則函數(shù)的解析式可能為（寫出一個(gè)即可）．【答案】(答案不唯一)【解析】取，則符合題意．【變式84】（2023秋·江蘇南通·高一?？茧A段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)分別是奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則．【答案】【解析】∵，∴.由是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，可有，，代入上式，，則有，；則.【變式85】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知奇函數(shù)則．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，，則．考點(diǎn)9利用單調(diào)性奇偶性解不等式【例9】（2023秋·湖南郴州·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)為偶函數(shù)，且對(duì)任意都有，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)槿我舛加兴院瘮?shù)在上單調(diào)增，又為偶函數(shù)，，所以，解得，解集為.故選：B.【變式91】（2023秋·福建福州·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由函數(shù)在上為增函數(shù)，且為奇函數(shù)，可得在上為增函數(shù)，又由，可得，因?yàn)椴坏仁?，即，?dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，解得；當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，解得，所以不等式的解集為.故選：D.【變式92】（2023秋·重慶·高一校考階段練習(xí)）若函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為.【答案】【解析】，，即為偶函數(shù)，設(shè)，函數(shù)為偶函數(shù)，并且在單調(diào)遞增，不等式，即，則，所以，兩邊平方后得，解得：，所以不等式的解集為.【變式93】（2023秋·寧夏銀川·高一?？计谥校┤舳x在上的偶函數(shù)滿足：對(duì)任意的，，有，且，則滿足的x的取值范圍為．【答案】【解析】因?yàn)閷?duì)任意的，，有，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)樵赗上為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，則的草圖如圖所示，所以或或，，又因?yàn)?，所以或，即或，解得或，所以x的取值范圍為.【變式94】（2023秋·江蘇南通·高一?？茧A段練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿足，則關(guān)于的不等式的解集為．【答案】【解析】令，因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿足，所以定義在上的函數(shù)滿足，所以在上單調(diào)遞減，由，得，所以，所以，解得，所以原不等式的解集為.考點(diǎn)10利用單調(diào)性奇偶性比大小【例10】（2022秋·河北邯鄲·高一?？计谥校ǘ噙x）已知為區(qū)間上的減函數(shù)，且，則()A．B．C．D．【答案】ACD【解析】因?yàn)?，則，又為區(qū)間上的減函數(shù)，故，故A正確；因?yàn)榕c0的大小關(guān)系不定，無法比較與的大小，故B錯(cuò)；因?yàn)椋?＋＞0，所以＋1＞a，又f(x)為(－∞,＋∞)上的減函數(shù)，所以，故C正確；因?yàn)?，，又f(x)為(－∞,＋∞)上的減函數(shù)，所以，故D正確．故選：ACD【變式101】（2022秋·廣東梅州·高一?？茧A段練習(xí)）定義在上的偶函數(shù)滿足：對(duì)任意有則當(dāng)時(shí)，有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依題意，對(duì)任意有，則對(duì)任意有所以在上遞減，由于是偶函數(shù)，所以在上遞增，則，因?yàn)?，所以，?故選：B.【變式102】（2023·全國·高一專題練習(xí)），，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，即,,即，故選:A.【變式103】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，則，，的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)，為上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得在上是減函數(shù)，若，則．故選：C．【變式104】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，在上單調(diào)遞減，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞減，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，對(duì)于A，，但無法判斷的正負(fù)，故A不正確；對(duì)于B，，但無法判斷的正負(fù)，故B不正確；對(duì)于C，，在上單調(diào)遞減，所以，故C不正確；對(duì)于D，，在上單調(diào)遞減，，故D正確.故選：D.考點(diǎn)11利用周期性求函數(shù)值【例11】（2023秋·湖北孝感·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，以替代得，所以，故，可知是周期為的周期函數(shù)，由得，所以關(guān)于對(duì)稱，所以，所以A選項(xiàng)正確，BCD選項(xiàng)無法判斷.故選：A【變式111】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則的值為（）A．2B．1C．0D．1【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是上的偶函數(shù)，所以，因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，即，所以，所以，所以函數(shù)是上周期為4的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，，又，，所以，所以.故選：D.【變式112】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意都有，若，則（）A．B．0C．1D．【答案】D【解析】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以，又由可得，，所以有，則，所以，所以是周期函數(shù)，周期.又，所以，又，，所以.故選：D.【變式113】（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）（多選）已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】因?yàn)闉镽上的奇函數(shù)，所以；因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，故B正確；由可得，所以；因?yàn)?，其結(jié)果不一定為零，故A不正確；由得，所以，故C正確；由得，所以周期為4，所以，因?yàn)閺念}目無法得出，故D不正確；故選：BC.考點(diǎn)12函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用【例12】（2023秋·江蘇南通·高一校考階段練習(xí)）函數(shù)的對(duì)稱中心是．【答案】【解析】函數(shù)，顯然函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位而得，而函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為，所以函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為.【變式121】（2022秋·福建廈門·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，則函數(shù)具有下列性質(zhì)（）A．函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù)B．函數(shù)的值域?yàn)镃．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】BD【解析】由題意，，函數(shù)圖象由的圖象向左平移1個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位可得，如下圖由圖可知，函數(shù)在和上是減函數(shù)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；函數(shù)的值域?yàn)?，所以選項(xiàng)B正確；函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確.故選：BD.【變式122】（2023秋·河南鄭州·高一?？茧A段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)，正確的說法是（）A．與x軸有一個(gè)交點(diǎn)B．的定義域?yàn)镃．在單調(diào)遞增D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】ABD【解析】，作出函數(shù)圖象如圖：由圖象可知，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，定義域?yàn)?，在上單調(diào)遞減，圖象關(guān)于對(duì)稱，故C錯(cuò)誤，故選：ABD．【變式123】（2023秋·重慶·高一月考）已知函數(shù)，則．【答案】【解析】由題意可得：，令，則，可得，所以．【變式124】（2023秋·江蘇南京·高一校考階段練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿足，則.【答案】7【解析】因?yàn)槎x在R上的函數(shù)滿足，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，∴.過關(guān)檢測(cè)1．（2022秋·陜西渭南·高一?？茧A段練習(xí)）下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，且，故既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，A正確；定義域?yàn)?，，故是奇函?shù)，故B錯(cuò)誤；，定義域?yàn)镽，，故是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；定義域?yàn)?，又，故是偶函?shù)，故D錯(cuò)誤.故選：A2．（2023秋·寧夏石嘴山·高一校考期中）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意是定義在上的奇函數(shù)，則由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，解得，所以，從而.故選：C.3．（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）若偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，且，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，則，故，當(dāng)時(shí)，則，故，綜上：的解集為.故選：B4．（2022秋·貴州·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的最大值、最小值分別是（）A．，4B．無最大值，最小值為7C．4，0D．最大值為4，無最小值【答案】D【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，在處取得最大值4，而取不到，則最小值取不到.故選：D5．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）若函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意得，要使在上是減函數(shù)，需滿足：解得.故選：A.6．（2023秋·安徽淮南·高一?？茧A段練習(xí)）已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足，若，則（）A．2023B．C．3D．【答案】B【解析】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，，因?yàn)?，所以，可得，所以的周期?，因?yàn)?，，，所以，，所以，則.故選：B.7．（2022秋·四川·高一校考階段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)滿足，且，則（）A．B．C．的解析式可能為D．為奇函數(shù)【答案】ACD【解析】