《如何求極限》課件

《如何求極限》ppt課件目錄contents極限的定義極限的求解方法極限的應(yīng)用特殊函數(shù)的極限極限的注意事項(xiàng)01極限的定義函數(shù)極限的描述性定義當(dāng)自變量趨近某一值時(shí)，函數(shù)值趨于某一確定值。函數(shù)極限的精確定義對(duì)于任意小的正數(shù)$varepsilon$，存在某個(gè)正數(shù)$delta$，當(dāng)$0<|x-x_0|<delta$時(shí)，有$|f(x)-L|<varepsilon$。函數(shù)極限的定義03極限的局部性函數(shù)在某點(diǎn)的極限只與該點(diǎn)附近的函數(shù)值有關(guān)，而與遠(yuǎn)離該點(diǎn)的函數(shù)值無(wú)關(guān)。01極限的唯一性若函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在，則該極限值是唯一的。02極限的保號(hào)性若函數(shù)在某點(diǎn)的極限大于0，則函數(shù)在該點(diǎn)的值也大于0；反之亦然。極限的性質(zhì)123函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在，則該點(diǎn)附近必須存在定義。函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在，則該點(diǎn)附近的變化趨勢(shì)必須確定。函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在，則該點(diǎn)附近的函數(shù)值必須收斂。極限存在的條件02極限的求解方法方法概述通過(guò)因式分解、約分、有理化等代數(shù)手段，化簡(jiǎn)函數(shù)，從而找到極限。適用范圍適用于能通過(guò)代數(shù)手段化簡(jiǎn)的極限問(wèn)題。實(shí)例求lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)，可通過(guò)因式分解化簡(jiǎn)為lim(x→2)(x+2)=4。代數(shù)法030201在一定條件下，對(duì)函數(shù)的分子分母分別求導(dǎo)，并取極限。方法概述適用范圍實(shí)例適用于0/0型或∞/∞型的極限問(wèn)題。求lim(x→0)sinx/x，使用洛必達(dá)法則得到lim(x→0)cosx=1。030201洛必達(dá)法則方法概述在一定條件下，將無(wú)窮小量替換為等價(jià)的無(wú)窮小量。適用范圍適用于與無(wú)窮小量有關(guān)的極限問(wèn)題。實(shí)例求lim(x→0)(1-cosx)/x^2，使用等價(jià)無(wú)窮小代換法得到lim(x→0)x^2/2=0。等價(jià)無(wú)窮小代換法01方法概述利用泰勒公式展開(kāi)函數(shù)，并取極限。02適用范圍適用于需要展開(kāi)到高階的極限問(wèn)題。03實(shí)例求lim(x→0)(1-x)^(1/x)，使用泰勒公式展開(kāi)得到lim(x→0)e^(-1)=1/e。泰勒公式法03極限的應(yīng)用在連續(xù)復(fù)利中的應(yīng)用連續(xù)復(fù)利公式通過(guò)極限的概念，推導(dǎo)出了連續(xù)復(fù)利公式，該公式描述了在連續(xù)復(fù)利情況下，本金在無(wú)限時(shí)間內(nèi)的增長(zhǎng)情況。連續(xù)復(fù)利的應(yīng)用連續(xù)復(fù)利公式在金融、投資等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，如計(jì)算投資回報(bào)、評(píng)估資產(chǎn)增長(zhǎng)等。瞬時(shí)速度是物體在無(wú)限短時(shí)間內(nèi)的平均速度，通過(guò)極限的概念，可以推導(dǎo)出瞬時(shí)速度的公式。瞬時(shí)速度在彈性碰撞中，兩個(gè)物體在碰撞后的速度與碰撞前的速度之比是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)可以通過(guò)極限的概念來(lái)推導(dǎo)。彈性碰撞在物理中的應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，無(wú)窮大和無(wú)窮小的概念被用來(lái)描述經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的極限情況，如無(wú)窮大收入和無(wú)窮小收入。邊際分析是經(jīng)濟(jì)學(xué)中一個(gè)重要的分析方法，它涉及到對(duì)經(jīng)濟(jì)變量變化趨勢(shì)的極限情況的考慮，如邊際成本和邊際收益。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用邊際分析無(wú)窮大和無(wú)窮小的概念04特殊函數(shù)的極限無(wú)窮大與無(wú)窮小是極限概念中的重要概念，它們描述了函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)或某個(gè)變化過(guò)程中的行為。無(wú)窮大是指函數(shù)在某點(diǎn)處的值趨向于正無(wú)窮或負(fù)無(wú)窮，而無(wú)窮小則是指函數(shù)在某點(diǎn)處的值趨向于0。無(wú)窮大與無(wú)窮小之間存在密切關(guān)系，例如在求極限時(shí)，有時(shí)需要利用它們的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化和化簡(jiǎn)。無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的極限指數(shù)函數(shù)是指數(shù)為其自變量的函數(shù)，常見(jiàn)的形式為a^x（a>0且a≠1）。02冪函數(shù)是指數(shù)為其自變量的函數(shù)的指數(shù)的函數(shù)，常見(jiàn)的形式為x^a。03在求指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的極限時(shí)，需要了解它們的性質(zhì)和變化規(guī)律，例如指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、冪函數(shù)的收斂性等。01對(duì)數(shù)函數(shù)的極限性質(zhì)與指數(shù)函數(shù)類似，例如對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、收斂性等。在求對(duì)數(shù)函數(shù)的極限時(shí)，需要了解對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和變化規(guī)律，以便進(jìn)行正確的計(jì)算和推理。對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，常見(jiàn)的形式為log_a(x)（a>0且a≠1）。對(duì)數(shù)函數(shù)的極限05極限的注意事項(xiàng)在求極限的過(guò)程中，需要注意初始值的選擇。不同的初始值可能導(dǎo)致極限值不同，因此需要選擇合適的初始值以獲得正確的極限結(jié)果。初始值問(wèn)題在選擇初始值時(shí)，應(yīng)遵循一些原則，如選擇易于計(jì)算或觀察的值，避免選擇會(huì)導(dǎo)致復(fù)雜計(jì)算或無(wú)法確定極限值的初始值。初始值選擇原則初始值問(wèn)題VS無(wú)窮小量是指在某個(gè)過(guò)程中逐漸趨近于零的量。在求極限的過(guò)程中，有時(shí)需要比較不同無(wú)窮小量的階數(shù)，以確定它們對(duì)極限值的影響。無(wú)窮小量階數(shù)的比較比較無(wú)窮小量的階數(shù)可以幫助我們更好地理解極限的行為。例如，當(dāng)兩個(gè)無(wú)窮小量是同階時(shí)，它們對(duì)極限值的影響是等效的；當(dāng)它們的階數(shù)不同時(shí)，高階無(wú)窮小量對(duì)極限值的影響更大。無(wú)窮小量的概念無(wú)窮小量的比較極限具有四則運(yùn)算性質(zhì)，即對(duì)于兩個(gè)函數(shù)的極限，它們的基本運(yùn)算性質(zhì)（加、減、乘、除）仍然適用。這使得我們?cè)谇髽O限時(shí)可以運(yùn)用這些性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算。在應(yīng)用極限的四