圓錐曲線綜合測試題含詳細答案打印

PAGE/PAGE7圓錐曲線測試卷一、1.解析：拋物線的標準方程為x2＝－4y，準線方程為y＝1.答案：C2．解析：雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝－1的焦點坐標為(0，±4)，頂點坐標為(0，±2eq\r(3))，故所求橢圓的焦點在y軸上，a＝4，c＝2eq\r(3)，∴b2＝4，所求方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1，故選D.3．解析：由橢圓的定義知，|PF1|＋|PF2|＝26，又∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝26－4＝22.答案：A4．解析：將雙曲線方程化為標準方程為x2－eq\f(y2,\f(1,2))＝1，∴a2＝1，b2＝eq\f(1,2)，∴c2＝a2＋b2＝eq\f(3,2)，∴c＝eq\f(\r(6),2)，故右焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，0)).答案：C5．解析：橢圓eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1的下焦點為(0，－1)，∴eq\f(p,2)＝－1，即p＝－2.答案：D6．解析：方程eq\f(x2,k－3)－eq\f(y2,k＋3)＝1表示雙曲線的條件是(k－3)(k＋3)>0，即k>3或k<－3.故k>3是方程eq\f(x2,k－3)－eq\f(y2,k＋3)＝1表示雙曲線的充分不必要條件．故選A.7．解析：由eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0可知點M在以線段F1F2為直徑的圓上，要使點M總在橢圓內(nèi)部，只需c<b，即c2<b2，c2<a2－c2,2c2<a2故離心率e＝eq\f(c,a)<eq\f(\r(2),2).因為0<e<1，所以0<e<eq\f(\r(2),2).即橢圓離心率的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))).故選C.8．解析方法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－4，,y2＝4x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4.))令B(1，－2)，A(4,4)，又F(1,0)，∴由兩點間距離公式得|BF|＝2，|AF|＝5，|AB|＝3eq\r(5).∴cos∠AFB＝eq\f(|BF|2＋|AF|2－|AB|2,2|BF|·|AF|)＝eq\f(4＋25－45,2×2×5)＝－eq\f(4,5).方法二：由方法一得A(4,4)，B(1，－2)，F(xiàn)(1,0)，∴eq\o(FA,\s\up6(→))＝(3,4)，eq\o(FB,\s\up6(→))＝(0，－2)，∴|eq\o(FA,\s\up6(→))|＝eq\r(32＋42)＝5，|eq\o(FB,\s\up6(→))|＝2.∴cos∠AFB＝eq\f(\o(FA,\s\up6(→))·\o(FB,\s\up6(→)),|F\o(A,\s\up6(→))|·|F\o(B,\s\up6(→))|)＝eq\f(3×0＋4×－2,5×2)＝－eq\f(4,5).答案：D9．解析：|F1F2|＝2eq\r(2)，|AF1|＋|AF2|＝6，|AF2|＝6－|AF1|.|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F＝|AF1|2－4|AF1|＋8(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8，∴|AF1|＝eq\f(7,2).S＝eq\f(1,2)×eq\f(7,2)×2eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(7,2).答案：B10．解析：設圓與直線PM、PN分別相切于E、F，則|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NB|＝|NF|.∴|PM|－|PN|＝|PE|＋|ME|－(|PF|＋|NF|)＝|MB|－|NB|＝4－2＝2<|MN|.所以點P的軌跡是以M(－3,0)，N(3,0)為焦點的雙曲線的一支，且a＝1，∴c＝3，b2＝8，∴所以雙曲線方程是x2－eq\f(y2,8)＝1(x>1)．答案：A11.解:過點B作于M,并設右準線與x軸的交點為N，易知FN=1.由題意,故.又由橢圓的第二定義,得.故選A12【解析】:雙曲線的一條漸近線為,由方程組,消去y,得有唯一解,所以△=,所以,,故選D.答案:D.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把正確答案填在題中橫線上)11．若雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(1,3)x，它的一個焦點是(eq\r(10)，0)，則雙曲線的標準方程是________．解析：由雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(1,3)x，知eq\f(b,a)＝eq\f(1,3)，它的一個焦點是(eq\r(10)，0)，知a2＋b2＝10，因此a＝3，b＝1，故雙曲線的方程是eq\f(x2,9)－y2＝1.答案：eq\f(x2,9)－y2＝112．若過橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1內(nèi)一點(2,1)的弦被該點平分，則該弦所在直線的方程是________．解析：設直線方程為y－1＝k(x－2)，與雙曲線方程聯(lián)立得(1＋4k2)x2＋(－16k2＋8k)x＋16k2－16k－12＝0，設交點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(16k2－8k,1＋4k2)＝4，解得k＝－eq\f(1,2)，所以直線方程為x＋2y－4＝0.答案：x＋2y－4＝013.如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦點，點P在橢圓上，△POF2是面積為eq\r(3)的正三角形，則b2的值是________．解析：∵△POF2是面積為eq\r(3)的正三角形，∴eq\f(1,2)c2sin60°＝eq\r(3)，∴c2＝4，∴P(1，eq\r(3))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(3,b2)＝1，,a2＝b2＋4，))解之得b2＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)14．已知拋物線y2＝4x，過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)的最小值是________．解析：顯然x1，x2≥0，又yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)＝4(x1＋x2)≥8eq\r(x1x2)，當且僅當x1＝x2＝4時取等號，所以最小值為32.三、解答題17．解析：(1)因為橢圓的焦點在x軸上，所以可設它的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∵橢圓經(jīng)過點(2,0)和(0,1)∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(22,a2)＋\f(0,b2)＝1,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4,b2＝1))，故所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)∵橢圓的焦點在y軸上，所以可設它的標準方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，∵P(0，－10)在橢圓上，∴a＝10.又∵P到它較近的一個焦點的距離等于2，∴－c－(－10)＝2，故c＝8，∴b2＝a2－c2＝36.∴所求橢圓的標準方程是eq\f(y2,100)＋eq\f(x2,36)＝1.18．解析：由橢圓方程可得橢圓的焦點為F(0，±4)，離心率e＝eq\f(4,5)，所以雙曲線的焦點為F(0，±4)，離心率為2，從而c＝4，a＝2，b＝2eq\r(3).所以雙曲線方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,12)＝1.19．解析：設橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，M(x，y)為橢圓上的點，由eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)得a＝2b.|PM|2＝x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2)))2＋4b2＋3(－b≤y≤b)，若b<eq\f(1,2)，則當y＝－b時，|PM|2最大，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(3,2)))2＝7，則b＝eq\r(7)－eq\f(3,2)>eq\f(1,2)，故舍去．若b≥eq\f(1,2)時，則當y＝－eq\f(1,2)時，|PM|2最大，即4b2＋3＝7，解得b2＝1.∴所求方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.20．解析：(1)∵F1到直線x＝－eq\f(a2,\r(3))的距離為eq\f(\r(3),3)，∴－eq\r(3)＋eq\f(a2,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).∴a2＝4.而c＝eq\r(3)，∴b2＝a2－c2＝1.∵橢圓的焦點在x軸上，∴所求橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)設A(x1，y1)、B(x2，y2)．∵|F2B|＝3|F2A∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(3)＝\f(x2＋3x1,1＋3)，,0＝\f(y2＋3y1,1＋3)，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝4\r(3)－3x1，,y2＝－3y1.))∵A、B在橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),4)＋y\o\al(2,1)＝1，,\f(4\r(3)－3x12,4)＋－3y12＝1.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(10,3\r(3))，,y1＝\f(\r(2),3\r(3))取正值.))∴l(xiāng)的斜率為eq\f(\f(\r(2),3\r(3))－0,\f(10,3\r(3))－\r(3))＝eq\r(2).∴l(xiāng)的方程為y＝eq\r(2)(x－eq\r(3))，即eq\r(2)x－y－eq\r(6)＝0.21．解析：由y2＝4x，得p＝2，其準線方程為x＝－1，焦點F(1,0)．設A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由拋物線的定義可知．|AF|＝x1＋eq\f(p,2)，從而x1＝4－1＝3.代入y2＝4x，解得y1＝±2eq\r(3).∴點A的坐標為(3,2eq\r(3))或(3，－2eq\r(3))．(2)當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝k(x－1)．與拋物線方程聯(lián)立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1,y2＝4x))，消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，因為直線與拋物線相交于A、B兩點，則k≠0，并設其兩根為x1，x2，則x1＋x2＝2＋eq\f(4,k2).由拋物線的定義可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋eq\f(4,k2)>4，當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝1，與拋物線交于A(1,2)，B(1，－2)，此時|AB|＝4.所以|AB|≥4，即線段AB的長的最小值為4.22．解析：由題意知e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，從而a＝2b.又2eq\r(b)＝a，所以a＝2，b＝1.故C1，C2的方程分別為eq\f(x2,4)＋y2＝1，y＝x2－1.(2)證明：由題意知，直線l的斜率存在，設為k，則直線l