同濟(jì)大學(xué)第五版高等數(shù)學(xué)課件D9習(xí)題

同濟(jì)大學(xué)第五版高等數(shù)學(xué)(下)課件D9習(xí)題函數(shù)與極限導(dǎo)數(shù)與微分微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用不定積分定積分及其應(yīng)用contents目錄01函數(shù)與極限理解函數(shù)的基本定義和性質(zhì)總結(jié)詞函數(shù)是數(shù)學(xué)中描述兩個(gè)數(shù)集之間關(guān)系的一種工具。它定義了從一個(gè)數(shù)集到另一個(gè)數(shù)集的映射關(guān)系。函數(shù)的基本定義包括自變量、因變量和對應(yīng)法則。此外，還需要理解函數(shù)的定義域和值域，以及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性等性質(zhì)。詳細(xì)描述函數(shù)的概念函數(shù)的極限掌握函數(shù)極限的定義和性質(zhì)總結(jié)詞函數(shù)的極限描述了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的性質(zhì)。具體來說，如果當(dāng)自變量趨近于某個(gè)值時(shí)，函數(shù)的值趨近于一個(gè)確定的數(shù)，則稱函數(shù)在該點(diǎn)有極限。極限有幾種不同的類型，包括數(shù)列的極限、函數(shù)的極限、無窮小量和無窮大量等。此外，還需要理解極限的基本性質(zhì)，如極限的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的極限等。詳細(xì)描述總結(jié)詞理解無窮小量和無窮大量的概念和性質(zhì)要點(diǎn)一要點(diǎn)二詳細(xì)描述無窮小量和無窮大量是數(shù)學(xué)中描述變量在一定條件下無限接近于零或無窮大的概念。它們在微積分中有著重要的應(yīng)用，如求極限、求導(dǎo)數(shù)和積分等。無窮小量是指在一定條件下趨于零的變量，而無窮大量則是指在一定條件下趨于無窮大的變量。此外，還需要理解無窮小量和無窮大量的性質(zhì)，如等價(jià)無窮小替換和比較法則等。無窮小量與無窮大量02導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)描述了函數(shù)在某一點(diǎn)的切線斜率，是函數(shù)局部變化率的重要概念。總結(jié)詞導(dǎo)數(shù)定義為函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小范圍內(nèi)變化率與自變量變化率的比值，當(dāng)自變量變化量趨于0時(shí)，這個(gè)比值就等于該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。導(dǎo)數(shù)描述了函數(shù)在某一點(diǎn)的切線斜率，反映了函數(shù)在該點(diǎn)的變化趨勢。詳細(xì)描述導(dǎo)數(shù)的概念總結(jié)詞導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法包括求導(dǎo)公式、鏈?zhǔn)椒▌t、乘積法則、商的導(dǎo)數(shù)法則等。詳細(xì)描述求導(dǎo)公式包括基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。鏈?zhǔn)椒▌t用于計(jì)算復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，乘積法則用于計(jì)算兩個(gè)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)，商的導(dǎo)數(shù)法則用于計(jì)算商的導(dǎo)數(shù)。這些法則可以組合使用，以便于計(jì)算復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的計(jì)算VS微分是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小范圍內(nèi)變化量的近似值，是導(dǎo)數(shù)的幾何意義。詳細(xì)描述微分定義為函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小范圍內(nèi)變化量與自變量變化量的比值，當(dāng)自變量變化量趨于0時(shí)，這個(gè)比值就等于該點(diǎn)的微分值。微分是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小范圍內(nèi)變化量的近似值，反映了函數(shù)在該點(diǎn)附近的變化趨勢。微分值越大，表示函數(shù)在該點(diǎn)附近的變化越劇烈?？偨Y(jié)詞微分的概念03微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用羅爾定理如果函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$上可導(dǎo)，且$f(a)=f(b)$，則存在$ξ∈(a,b)$，使得$f'(ξ)=0$。如果函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$上可導(dǎo)，則存在$ξ∈(a,b)$，使得$f'(ξ)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。如果函數(shù)$f(x)$和$g(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$上可導(dǎo)，且$g'(x)neq0$，則存在$ξ∈(a,b)$，使得$frac{f'(ξ)}{g'(ξ)}=frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$。拉格朗日中值定理柯西中值定理微分中值定理利用導(dǎo)數(shù)求切線方程對于函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處的導(dǎo)數(shù)$f'(x_0)$，切線斜率為$f'(x_0)$，切點(diǎn)為$(x_0,f(x_0))$，切線方程為$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$。利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性如果$f'(x)>0$，則函數(shù)$f(x)$在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果$f'(x)<0$，則函數(shù)$f(x)$在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值如果函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處的導(dǎo)數(shù)$f'(x_0)=0$，且在點(diǎn)$x_0$的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)變號，則函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處取得極值。010203導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)判斷曲線的凹凸性如果函數(shù)$f(x)$在某區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)大于0，則函數(shù)曲線在該區(qū)間內(nèi)為凹；如果函數(shù)$f(x)$在某區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)小于0，則函數(shù)曲線在該區(qū)間內(nèi)為凸。利用導(dǎo)數(shù)求曲線的拐點(diǎn)如果函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處的導(dǎo)數(shù)等于0，且在點(diǎn)$x_0$的左右兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)變號，則函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處取得拐點(diǎn)。曲線的凹凸性與拐點(diǎn)04不定積分不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念不定積分是微積分中的一個(gè)重要概念，它是求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)或反導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算。不定積分的性質(zhì)不定積分具有線性性質(zhì)、積分常數(shù)性質(zhì)和積分區(qū)間可加性等基本性質(zhì)。直接積分法通過簡單的代數(shù)運(yùn)算和基本初等函數(shù)的積分公式，直接求出不定積分。換元積分法通過引入新的變量替換原函數(shù)中的部分變量，將復(fù)雜函數(shù)的不定積分轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)的不定積分。分部積分法通過將一個(gè)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)相乘，將不定積分轉(zhuǎn)化為更容易求解的形式。不定積分的計(jì)算方法簡化計(jì)算過程對于一些復(fù)雜函數(shù)的不定積分，可以通過查詢積分表找到相應(yīng)的公式，簡化計(jì)算過程。驗(yàn)證不定積分的正確性對于一些不易計(jì)算的不定積分，可以通過查詢積分表驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的正確性。查詢基本初等函數(shù)的積分公式積分表包含了各種基本初等函數(shù)的積分公式，方便查詢和記憶。積分表的使用05定積分及其應(yīng)用定積分的定義定積分是積分和的極限，表示函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的整體效果。定積分的幾何意義定積分在幾何上表示曲線與x軸所夾的面積。定積分的性質(zhì)包括線性性質(zhì)、區(qū)間可加性、常數(shù)性質(zhì)、比較性質(zhì)等。定積分的概念與性質(zhì)ABCD定積分的計(jì)算方法微積分基本定理微積分基本定理是定積分計(jì)算的核心，它將定積分轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)值的差。換元積分法通過適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，將復(fù)雜的積分轉(zhuǎn)化為容易計(jì)算的積分。分項(xiàng)積分法當(dāng)被積函數(shù)在積分區(qū)間上具有不同的單調(diào)性時(shí)，可以采用分項(xiàng)積分法。分部積分法分部積分法是將兩個(gè)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與另一個(gè)函數(shù)的積的方法。計(jì)算面積定積分