多元函數微積分復習概要

5/18第六章多元函數微積分復習要點一、基本概念及相關定理1.多元函數的極限定義：函數在區(qū)域D內有定義，當點P(,)沿任意路徑無限趨于點()時,無限趨于一個確定的常數A,則稱常數A是函數當P(,)趨于時的極限.記作,或,或,,或,或,.其中，.2.二元函數連續(xù)的定義：函數在點的某一鄰域內有定義，如果對任意，都有（或），則稱函數在點處連續(xù).3.偏導數的定義：函數在點的某一鄰域內有定義.（1）函數在點處對的偏導數定義為，記作，或，或，或，即=.（2）函數在點處對的偏導數定義為，記作，或，或，或，即=.而稱，或，或，或及[，或，或，或]為（關于或關于）偏導函數.高階偏導數：或，或，或，或.同理可得，三階、四階、…，以及n階偏導數.4.全微分定義：設函數在點的某一鄰域內有定義，若函數在點的全增量可表示為，其中A、B不依賴于、，僅于、有關，，則稱函數在點處可微分，稱為函數在點的全微分，記為，即.可微的必要條件：若函數在點處可微分，則8.二重積分的定義及性質在有界閉區(qū)域D上的有界函數，通過“分割、代替、求和、取極限”的過程，而得到的具有特定結構的和的極限，被稱為函數在D上的二重積分；它的幾何意義是曲頂柱體的體積.在直角坐標系下，用平行于坐標軸的直線網劃分區(qū)域D，則.性質：下面均假定函數有界閉區(qū)域D上可積，則1.（為常數）；2..3.若在閉區(qū)域D上，則區(qū)域D的面積.4.若，且，則.5.在區(qū)域D上，，則，.6.設M、m是函數在閉區(qū)域D上的最大值和最小值,A是D的面積，則.7.設函數在閉區(qū)域D上連續(xù)，A是D的面積，則在D上至少存在一點,使得.二、計算方法1.求二重極限的方法（1）若把點代入二元函數中，函數值存在，則函數值就是極限值；（2）若把點代入二元函數中，函數值無意義，則一元函數求極限的所有方法，全部可以應用到求二重極限中去(如重要極限，等價無窮小替換等).2.求偏導數及高階偏導數的方法（1）求多元函數關于其中一個自變量的偏導數，只需要將另外的所有自變量看作常量，再用一元函數的求導方法求導，就可以得到所選定的自變量的偏導數了；（2）求高階偏導數方法或，或，或，或.3.求全微分的方法求多元函數（或）的全微分，先求出關于自變量的所有偏導數，（或，，），則全微分（或）.4.多元復合函數求導的方法根據題設條件，分清哪些是中間變量，那些是自變量，畫出關系圖，根據“同路相乘，異路相加”的原則，求出所需要的導數.z如1，，，關系圖為：則z，.z如2，，，，關系圖：則z，.5.隱函數求導及求偏導的方法（1）一元隱函數求導法則設方程確定了是的函數，則方法1：方程兩邊對求導，見對求導，見對求導，對求導時再乘以；方法2：.（2）二元隱函數①設方程確定了是、的函數，則，.②把方程中的看作隱函數，方程兩邊求出全微分，則，.（有時可能簡單些）注意：首先，一定要分清所給函數是較簡單函數或具體復合函數或抽象復合函數或隱函數，然后按照它們的各自特性，使用各自不同求導公式，進行求偏導數，全微分或高階偏導數。6.求多元函數極值及最值的方法設函數在區(qū)域D內具有連續(xù)的二階偏導數，求其極值及在區(qū)域D內最值的步驟如下：第一步解方程組，求得一切實數解，即求出函數在D內的所有駐點；第二步對每一個駐點，求出，，的值.第三步定出的符號.Ⅰ.若，則（1）當時,函數在點處取得極小值;（2）當時，函數在點處取得極大值.Ⅱ.若，則穩(wěn)定點不是函數的極值點.Ⅲ.若，則穩(wěn)定點可能是極值點，也可能不是極值點，需另行判斷.第四步求出所有駐點處的函數值及函數在區(qū)域的邊界上的最值，并比較這些值的大小，其中最大者為函數的最大值，最小者為函數的最小值.7.求二重積分的方法O原則：二重積分要化為二次積分（即兩個定積分）來求。O直角坐標系下：X—型區(qū)域，OOY—型區(qū)域，O極坐標系下，O==適用于積分區(qū)域是圓形區(qū)域、扇形區(qū)域、環(huán)形區(qū)域或被積函數是關于的關系式。重積化累積，關鍵上下限，畫出積分域，入出口找見三、舉例1.求下列二重極限（1）（2）解：（1）=（利用）=.法2：=.【當時，有】（2）=.2.求下列函數的偏導數及全微分（1），，求.解：關系圖：，所以=；==.（2）驗證函數滿足證明：∵==；同理，可得.∴;.∴.（3）設，而，，求.解：關系圖：=.=.（4）設，可微，求.解：令，，則.關系圖：=.=.（5）求由方程所確定的函數的偏導數.解：令，則，，.∴,.（6），而，，求.解：關系圖：=；=.（7）設，證明：.證明：令，則，，.∴,.∴=.（8）求函數的全微分解：∵,由對稱性，，.∴全微分==.（9）用兩中不同的方法求由方程所確定的二元函數關于和的偏導數.解：令，則，，.∴,.法2：方程兩邊對求全微分，可得，即，∴.∴,.3.求下列二重積分（1）計算二重積分，其中D是由拋物線及直線所圍成的閉區(qū)域.41O241O221-1交點，.視為Y—型域，.∴==.法2：視為X—型域，，.則1O51=1O51（2）計算二重積分，其中D是由直線，，所圍成的閉區(qū)域.解：如圖，X—型區(qū)域D：，.則==1O1=.1O1(3)計算二重積分，其中D是由拋物線和所圍成的閉區(qū)域.解：如圖，X—型區(qū)域，D：，.∴=O22==.O22（4）計算二重積分，其中D是由圓周及軸所圍成的右半閉區(qū)域.解：如圖，Y—型區(qū)域，D：，.∴==(∵在上，函數是偶函數)=.（5）交換二次積分的積分順序.解：由；，（這顯然是X—型域）可得41O41O22-1-21與可得拋物線；是直線，于是可畫出積分域.（如圖）要交換積分次序，必須是Y—型域,.所以，有=.（6）計算1O1解