專題11等差數列性質及應用歸類（原卷版）

專題11等差數列性質及應用歸類一、鞏固提升練【題型一】等差數列定義【題型二】等差數列“高斯計巧”【題型三】雙數列等差中項比值型【題型四】奇數項與偶數項和型【題型五】等差數列單調性與最值【題型六】等差數列正負型不等式判斷【題型七】等差數列恒成立求參【題型八】跳項型等差數列【題型九】整數型比值【題型十】范圍型【題型十一】絕對值型求和【題型十二】等差數列與三角函數綜合二、能力培優(yōu)練熱點好題歸納【題型一】等差數列定義知識點與技巧：等差數列常用結論若{an}為等差數列，公差為d，前n項和為Sn，則有：(1)下標意識：若p＋q＝m＋n，則ap＋aq＝am＋an，特別地，若p＋q＝2k，則ap＋aq＝2ak；(2)隔項等差：數列ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數列；(3)分段等差：數列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是公差為nd的等差數列；(4)數列{eq\f(Sn,n)}是公差為eq\f(d,2)的等差數列，其通項公式eq\f(Sn,n)＝eq\f(d,2)n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))；1.（2023·河北唐山·模擬）設甲：為等比數列；乙：為等比數列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件2.（2022上·陜西咸陽·高二統(tǒng)考期中）若數列為等差數列，則下列說法中錯誤的是（

）A．數列，，，…，…為等差數列B．數列，，，…，，…為等差數列C．數列為等差數列D．數列為等差數列3.（2019·高二課時練習）現有下列命題：①若，則數列是等差數列；②若，則數列是等差數列；③若（b、c是常量），則數列是等差數列．其中真命題有（

）．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個4.（2022·高二課時練習）若等差數列的公差為d，（c為常數且），則（

）A．數列是公差為d的等差數列B．數列是公差為cd的等差數列C．數列是首項為c的等差數列D．數列不是等差數列5.（2022高二課時練習）下列說法中正確的是（

）A．若a，b，c成等差數列，則成等差數列B．若a，b，c成等差數列，則成等差數列C．若a，b，c成等差數列，則a+2，b+2，c+2成等差數列，D．若a，b，c成等差數列，則成等差數列【題型二】等差數列“高斯技巧”知識點與技巧：等差數列下標公式性質，稱為“高斯技巧”。若p＋q＝m＋n，則ap＋aq＝am＋an，特別地，若p＋q＝2k，則ap＋aq＝2ak；1.（2023春·新疆喀什·高二?？计谥校┮阎炔顢盗械那皀項和，若，則（

）A．150 B．160 C．170 D．1802.（2023春·河南新鄉(xiāng)·高二?？茧A段練習）數列為等差數列，若，則（

）A．8 B．9 C．10 D．123.（2023春·河南南陽·高二校考階段練習）等差數列的前項和為，若，則（

）A．18 B．12 C．9 D．64.（2023春·廣東深圳·高二校聯考期中）若前項和為的等差數列滿足，則.5.（2022秋·上海奉賢·高二校考期中）已知平面內有四點，且任意三點不共線，點為平面外一點，數列為等差數列，其前項和為，若，則.【題型三】雙數列等差中項比值型知識點與技巧：雙等差數列等差中項比值型性質：、均為等差數列且其前項和為、則1.（2023春·高二課時練習）等差數列和的前項和分別記為與，若，則（）A． B． C． D．2.（2022秋·寧夏銀川·高二?？计谥校┮阎謩e是等差數列與的前項和，且，則（

）A． B． C． D．3.（2022春·遼寧大連·高二大連八中?？茧A段練習）兩個等差數列和的前項和分別為、，且，則等于（

）A． B． C． D．4.（2022·高二課時練習）已知兩等差數列，，前n項和分別是，，且滿足，則（

）A． B． C． D．5.（2021秋·河南駐馬店·高二校聯考期中）已知兩個等差數列和的前n項和分別為和，且，則（）A． B． C． D．15【題型四】奇數項與偶數項和型知識點與技巧：含項的等差數列，其奇數項的和與偶數項的和之比為1.（2023春·高二課時練習）已知等差數列共有99項，其中奇數項之和為300，則偶數項之和為（

）A．300 B．298 C．296 D．2942.（2021春·上海黃浦·高一上海市大同中學階段練習）已知某數列前項之和為，且前個偶數列的和為，則前個奇數項的和為（

）A． B． C． D．3.（2022·陜西·高二練習）等差數列共有項，其中，所有奇數項之和為310，所有偶數項之和為300.則的值為.A．30 B．31 C．60 D．614.（2023·全國·高二專題練習）等差數列共有項，其中奇數項之和為，偶數項之和為，則的值是（

）A． B． C． D．5.（2022·高二課時練習）等差數列共有項，其中奇數項之和為，偶數項之和為，則的值是A． B． C． D．【題型五】等差數列單調性與最值知識點與技巧：在處理等差數列的前項和的最值，從以下幾方面思考：①利用等差數列的單調性，求出其正負轉折項；②利用性質求出其正負轉折項，便可求得和的最值；③將等差數列的前n項和(A、B為常數)看作關于項數n的二次函數，根據二次函數的性質求最值．1.（2023·全國·高二專題練習）設等差數列的前n項和為，若，，，則當滿足成立時，n的最小值為.2.（2023秋·高二課時練習）已知等差數列的前項和能取到最大值，且滿足：，對于以下幾個結論：①數列是遞減數列；②數列是遞減數列；③數列的最大項是；④數列的最小的正數是．其中正確的序號是．3.（2022·全國·高二專題練習）等差數列滿足：，則其公差的取值范圍為.4.（2020·寧夏銀川·銀川唐徠回民中學?？家荒＃┮阎铝兴膫€命題：（1）等差數列一定是單調數列（2）等差數列的前項和構成的數列一定不是單調數列（3）已知等比數列的公比為，若,則數列是單調遞增數列（4）記等差數列的前項和為，若，則數列的最大值一定在處取到.其中錯誤的有（填寫所有錯誤的命題的序號）5.（2023·全國·高二專題練習）設公差為的等差數列的前項和為，若，，則當取最大值時，的值為.【題型六】等差數列正負型不等式判斷知識點與技巧：在處理等差數列的前項和的最值時，往往轉化為判定的符號變化：①若，當時，則當且僅當最大；②若，當時，則當且僅當最?。虎廴糇畲螅瑒t.1.（2023秋·新疆喀什·高二統(tǒng)考期末）已知等差數列的前項和為，若，則下列結論正確的是（

）A． B．C．數列是遞增數列 D．2.（2022·高二課時練習）已知等差數列的前項和為，若，，下列為真命題的序號為（

）①；②；③；④．A．①② B．②③ C．②④ D．③④3.（2023·高二課時練習）等差數列的前項和為，若，，，則下列結論錯誤的是（

）A． B．C．數列是遞減數列 D．4.（2023·全國·高二專題練習）已知數列為等差數列，公差為d，為其前n項和，若滿足，給出下列說法：①；②；③；④當且僅當時，取得最大值．其中正確說法的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．45.（2023·全國·高二專題練習）設等差數列的前項和，且，，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【題型七】等差數列恒成立求參1.已知數列的前項和，若不等式，對恒成立，則整數的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．52.設等差數列的前n項和為，首項，公差，若對任意的，總存在，使．則的最小值為（

）A． B． C． D．3.首項為正數的遞減等差數列的前項和為，且對任意項序數，總存在正整數，滿足，則的最小值為______．4.已知正項數列滿足，且，其中為數列的前項和，若實數使得不等式恒成立，則實數的最大值是________.5.已知是首項不為零的等差數列，若是與無關的常數，則______.【題型八】跳項型等差數列1..知數列滿足,,記,則數列的前n項和為（

）A． B． C． D．2.已知兩個等差數列5，8，11，…和3，7，11，…都有200項，則它們的公共項的個數有________．3.等差數列中，，，則其公差的值為（

）A． B． C． D．4.將數列與的公共項從小到大排列得數列，則______.5.已知數列對任意的有，若,則_______.【題型九】整數型比值1.已知兩個等差數列和的前n項和分別為Sn和Tn，且=，則使得為整數的正整數n的個數為（

）A．4 B．5 C．6 D．72.已知等差數列和的前n項和分別為和，若，則使得為整數的正整數n共有（

）個A．3 B．4 C．5 D．63.已知兩個等差數列，的前n項和分別為和，且，則使得為整數的正整數n的個數是（

）A．3 B．4 C．5 D．64.已知等差數列和的前n項和分別為和，且，則使得為整數的正整數n的個數是A．2 B．3 C．4 D．55.已知等差數列和的前項和分別為和，且，則使得為整數的正整數的個數是A．2 B．3 C．4 D．5【題型十】范圍型1.在等差數列中，，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2.如果a1，a2，，a8為各項都大于零的等差數列，公差d≠0，那么（

）A． B．C． D．3.已知等差數列滿足，若，則k的最大值是（

）A．8 B．9 C．10 D．114.已知等差數列滿足，，，若對任意正整數，恒有，則正整數的值是（

）A．6 B．5 C．4 D．75.若是等差數列，首項，則使成立的最大自然數n是.A．20 B．37 C．38 D．40【題型十一】絕對值型求和1.已知數列{an}滿足an＋1－an＝2，a1＝－5，則|a1|＋|a2|＋＋|a6|＝（

）A．9 B．15 C．18 D．302.設等差數列的通項公式為，且，則正整數m的最大值是A．4 B．5 C．6 D．73.已知數列的通項公式為，，則其前項的和為______.吉林省長春市東北師大附中、黑龍江省大慶實驗中學2022屆高二聯合考試數學試題4.已知等差數列滿足：，則正整數的最大值為________5.等差數列，滿足，則（）A．的最大值為50 B．的最小值為50C．的最大值為51 D．的最小值為51【題型十二】等差數列與三角函數綜合1..設等差數列滿足：，公差.若當且僅當時，數列的前項和取得最大值，則首項的取值范圍是（

）A． B．C． D．2.已知數列滿足，且，若函數，記，則數列的前項和為（）A．2017 B．﹣2017 C．0 D．13..數列滿足，則數列的前100項和為__________．4.等差數列的前項和為，且，，則________.5.設數列是首項為0的遞增數列，，滿足：對于任意的總有兩個不同的根，則數列的通項公式為_________.培優(yōu)練1.．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記為數列的前項和，設甲：為等差數列；乙：為等差數列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件2.（2016·山西·統(tǒng)考二模）等差數列的前項和為，且，，則.3.（2022·全國·高二假期作業(yè)）設是等差數列的前項和，若，則（

）A． B． C．2 D．34.（2011春·江西吉安·高一階段練習）等差數列共有項，其中所有奇數項之和為310，所有偶數項之和為300，則的值為（）A．30 B．31 C．60 D．615.（2021·高二課時練習）已知{an}是等差數列，d為其公差，Sn是其前n項和，若只有S4是{Sn}中的最小項，則可得出的結論中正確的是．①d>0

②a4<0

③a5>0

④S7<0

⑤S8>06.（2022·高二課時練習）已知等差數列的前n項和為，滿足，，若數列滿足，則m＝（

）A．9 B．10 C．19 D．207.（2023·四川自貢·統(tǒng)考）等差數列的前n項和為，公差為d，若，，則下列四個命題正確個數為（

）①為的最小值

②

③，

④為的最小值A．1 B．2