選修1-2數(shù)學(xué)第2章-推理與證明單元測試卷一含答案

選修1-2數(shù)學(xué)第2章推理與證明單元測試卷(1)含答案

學(xué)校：班級(jí)：姓名：考號(hào)：

一、選擇題(本題共計(jì)12小題，每題5分，共計(jì)60分，)

1."干支紀(jì)年法"是中國歷法上自古以來使用的紀(jì)年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、

庚、辛、壬、癸被稱為"十天干"，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、

亥叫做"十二地支天干"以"甲〃字開始，"地支"以"子"字開始，兩者按干支順序相配,

組成了干支紀(jì)年法，其相配順序?yàn)椋杭鬃?、乙丑、丙?..癸酉，甲戌、乙亥、丙子...癸

未，甲申、乙酉、丙戌...癸巳，…，共得到60個(gè)組合，稱六十甲子，周而復(fù)始，無窮無

盡.2019年是“干支紀(jì)年法”中的己亥年，那么2026年是“干支紀(jì)年法”中的()

A.甲辰年B.乙巳年C.丙午年D.丁未年

2.國際上通常用年齡中位數(shù)指標(biāo)作為劃分國家或地區(qū)人口年齡構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)：年齡中位

數(shù)在20歲以下為"年輕型"人口；年齡中位數(shù)在20?30歲為"成年型"人口；年齡中位數(shù)

在30歲以上為"老齡型”人口.

如圖反映了我國全面放開二孩政策對我國人口年齡中位數(shù)的影響.據(jù)此，對我國人口

年齡構(gòu)成的類型做出如下判斷：①建國以來直至2000年為“成年型"人口；

②從2010年至2020年為"老齡型"人口；

③放開二孩政策之后我國仍為"老齡型"人口.

其中正確的是()

全面放開二孩政策對我國大□年齡中位數(shù)的影響

A.②③B.①③C.②D.①②

3.如圖是一系列有機(jī)物的結(jié)構(gòu)簡圖，圖中的"小黑點(diǎn)”表示原子，兩黑點(diǎn)間的"短線"表

示化學(xué)鍵，按圖中結(jié)構(gòu)，圖(n)中的化學(xué)鍵有()

03?…

(1)(2)(3)

A.6n個(gè)B.(4?i+2)個(gè)C.(5n-1)個(gè)D.(5n+1)個(gè)

4.如圖，有一個(gè)六邊形的點(diǎn)陣，它的中心是1個(gè)點(diǎn)(算第1層)，第2層每邊有2個(gè)點(diǎn)第3層

每邊有3個(gè)點(diǎn)……依此類推如果一個(gè)六邊點(diǎn)形點(diǎn)陣共有169個(gè)點(diǎn)那么它的層數(shù)為()

C.7D.6

5.1750年，歐拉在給哥德巴赫的一封信中列舉了多面體的一些性質(zhì)，其中一條是：如

果用V,E和F表示閉的凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)，則有如下關(guān)系：V-E+F=

2.已知正十二面體有20個(gè)頂點(diǎn)，則正十二面體有多少條棱（）

A.30B.14C.20D.26

6.蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對數(shù)表，這一發(fā)明為當(dāng)時(shí)的天文學(xué)家處理“大數(shù)運(yùn)算"做

出了巨大貢獻(xiàn).法國著名數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家拉普拉斯曾說過："對數(shù)倍增了天文學(xué)家的壽

命"，比如在下面的部分對數(shù)表中，8和1024對應(yīng)的基指數(shù)分別為3和10,幕指數(shù)和為

13,而13對應(yīng)的事8192,因此，8x1024=8192.根據(jù)此表，推算33554432X

262144的值對應(yīng)的幕指數(shù)為（）

Xt?.23456、78910

y=2，2481632641282565121024

X11121314151617181920

y=2，204840968192163843276865536131072262144524288?1048576

X2122232425

y—2,2097152419430483886081677721633554432

A.41B.42C.43D.44

7.用反證法證明“若△ABC的三邊長a,b,c的倒數(shù)成等差數(shù)列，則8<鏟時(shí)，"假設(shè)"

應(yīng)為（）

K.B<-Q.B>-C.B<-D.B>-

2222

8.用反證法證明命題〃設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c滿足Q+b+c=l,則Q,b,c中至少有一個(gè)數(shù)不

小于記時(shí)假設(shè)的內(nèi)容是（）

A.a,b,c都不小于1B.a,b,c都小于1

C.a,b,c至多有一個(gè)小于1D.a,b,c至多有兩個(gè)小于1

試卷第2頁，總15頁

9.下面是一段演繹推理：如果直線平行于平面，則這條直線平行于平面內(nèi)的所有直線;

已知直線b〃平面a,直線au平面a；所以直線b〃直線a,在這個(gè)推理中（）

A.大前提正確，結(jié)論錯(cuò)誤

B.小前提與結(jié)論都是錯(cuò)誤的

C.大、小前提正確，只有結(jié)論錯(cuò)誤

D.大前提錯(cuò)誤，結(jié)論錯(cuò)誤

10.在初中的平面幾何證明中有這樣一段證明："因?yàn)樗?1=42"（如圖）,

這段證明的大前提是（）

B：21=42”

C."兩直線平行，同位角相等"D."同位角相等，兩直線平行"

11.命題”對于任意角8,cos40—sin）=cos20"的證明："cos"—sin40=（cos20—

sin20）（cos20+sii?。）=cos20-sin20=cos20”過程應(yīng)用了（）

A.分析法B.綜合法C.間接證明法D.反證法

12.觀察下列各式：31=3,32=9,33=27,…，貝歸?。?】的末位數(shù)字為（）

A.lB.3C.7D.9

二、填空題（本題共計(jì)4小題，每題5分，共計(jì)20分，）

13.中國古代十進(jìn)位制的算籌記數(shù)法在世界數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)造.據(jù)史料推測,

算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn)國初年.算籌記數(shù)的方法是：個(gè)位、百位、萬位的數(shù)按

縱式的數(shù)碼擺出；十位、千位、十萬位.…的數(shù)按橫式的數(shù)碼擺出.如7738可用算籌表

示為j=n三川.1-9這9個(gè)數(shù)字的縱式與橫式的表示數(shù)碼如圖所示，則31。勿64的運(yùn)

算結(jié)果可用算籌表示為.

縱式：?IlinmimuTnmM

橫式：一=三三三,上,生

i3456789

14.觀察下列各式：

=40；

+瑪=41；

+廢+廢=42；

照此規(guī)律，當(dāng)neN*時(shí)，?n_i+己讓1+C￡-i+…+C疚3=.

15.用反證法證明命題："VLV3,遙不可能是等比數(shù)列"時(shí)，則證明的第一步假設(shè)應(yīng)

為.

16.已知正三角形內(nèi)切圓的半徑r與它的高九的關(guān)系是：r=jh,把這個(gè)結(jié)論推廣到空

間正四面體，則正四面體內(nèi)切球的半徑r與正四面體高八的關(guān)系是.

三、解答題(本題共計(jì)6小題，共計(jì)70分，)

17.(11分)觀察下列各等式：

tanl0°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tanl0°=l

tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan200=l

tan33°tan44°+tan44°tanl3°+tan33°tanl30=l

(1)嘗試再寫出一個(gè)相同規(guī)律的式子；

(2)寫出能反映以上式子一般規(guī)律的恒等式；

(3)并對你寫出的(2)恒等式進(jìn)行證明.

18.(11分)證明下列不等式.

(1)求證：當(dāng)a、b、c為正數(shù)時(shí)，(a+b+c)*+￡+》29.

(2)已知試用分析法證明：Vn+2-Vn+1<Vn+1-y/n.

19.(12分)設(shè)a,b為互不相等的正實(shí)數(shù)，求證：4(a3+b3)>(a+b)3.

20.(12分)在數(shù)列｛斯｝中，已知的=2,an+1=GN+).

(1)求a2，a3，a4，并由此猜想數(shù)列｛1｝的通項(xiàng)公式；

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.

試卷第4頁，總15頁

21.(12分)1682年，英國的天文學(xué)家哈雷發(fā)現(xiàn)一顆大彗星描繪的曲線和1531年，

1607年的彗星驚人地相似，便大膽斷定，這是同一天體的三次出現(xiàn)，并預(yù)言它將于76

年后再度回歸.這就是著名的哈雷彗星，它的回歸周期大約是76年.請你查找資料，

列出哈雷彗星的回歸時(shí)間表，并預(yù)測它在本世紀(jì)回歸的時(shí)間.

22.(12分)

(1)用綜合法證明：x2+y2+z2+3>2(x+y+z)；

(2)若實(shí)數(shù)?構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列，請用反證法證明：a,b,c不可能構(gòu)成等

差數(shù)列.

參考答案與試題解析

選修1-2數(shù)學(xué)第2章推理與證明單元測試卷(1)含答案

一、選擇題(本題共計(jì)12小題，每題5分，共計(jì)60分)

1.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

進(jìn)行簡單的合情推理

【解析】

由簡單的合情推理結(jié)合閱讀，理解"干支紀(jì)年法"，通過運(yùn)算可得解.

【解答】

因?yàn)楣晔切劣夏?，再過3年就是甲子年，而2026-3=2023,2023除以10余數(shù)

是3,2023除以12余數(shù)是7,所以是丙午年，

2.

【答案】

A

【考點(diǎn)】

進(jìn)行簡單的合情推理

【解析】

根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖即可判斷.

【解答】

：①建國以來直至2000年為“成年型"人口，錯(cuò)誤；

②從2010年至2020年為"老齡型"人口，正確，

③放開二孩政策之后我國仍為"老齡型"人口，正確，

3.

【答案】

D

【考點(diǎn)】

歸納推理

【解析】

根據(jù)圖可知第一張圖有6個(gè)化學(xué)鍵，從第二個(gè)起每一個(gè)比前一個(gè)多5個(gè)，可得通項(xiàng).

【解答】

第一張圖有6個(gè)化學(xué)鍵，從第二個(gè)起每一個(gè)比前一個(gè)多5個(gè)，

則第n個(gè)圖有5n+l個(gè)，

4.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

歸納推理

【解析】

分析可知規(guī)律，從第二層開始，每增加一層就增加六個(gè)點(diǎn)，即可得出結(jié)論.

【解答】

解：由題意知第1層的點(diǎn)數(shù)為1,第2層的點(diǎn)數(shù)為6,第3層的點(diǎn)數(shù)為2x6,第4層的點(diǎn)數(shù)

為3x6,第5層的點(diǎn)數(shù)為4x6,…，第n(n22,neN*)層的點(diǎn)數(shù)為6(n—1),設(shè)一個(gè)

點(diǎn)陣有n(a>2,neN*)層，則共有的點(diǎn)數(shù)為1+6+6x2+…+6(n-1)=1+

試卷第6頁，總15頁

x(n-1)

=3n2—3n+1,由題意得3層—3n+1=169,

即(n+7)-(n-8)=0,所以n=8,故共有8層.

故選B.

5.

【答案】

A

【考點(diǎn)】

歐拉公式的應(yīng)用

【解析】

【解答】

解：由題可知后=V+F-2=20+12-2=30.

故選4.

6.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

類比推理

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解:由表可知，33554432=225,262144=218,

33554432,262144的對應(yīng)基指數(shù)分別為25,18,

基指數(shù)和為43.

故選C.

7.

【答案】

D

【考點(diǎn)】

反證法

【解析】

考慮命題的反面，即可得出結(jié)論.

【解答】

解：,??小于的反面是大于等于，

???"假設(shè)"應(yīng)為B*.

故選D.

8.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

反證法

【解析】

:反證法證明命題時(shí)，要假設(shè)結(jié)論不成立.

【解答】

用反證法證明命題"設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=L則a,b,c中至少有一個(gè)數(shù)不小

于，'時(shí)的假設(shè)是"a，b,c都小于會(huì).

9.

【答案】

D

【考點(diǎn)】

演繹推理

【解析】

演繹推理的錯(cuò)誤有三種可能，一種是大前提錯(cuò)誤，第二種是小前提錯(cuò)誤，第三種是邏

輯結(jié)構(gòu)錯(cuò)誤，要判斷推理過程的錯(cuò)誤原因，可以對推理過程的大前提和小前提及推理

的整個(gè)過程，細(xì)心分析，不難得到正確的答案.

【解答】

解：直線平行于平面，則直線可與平面內(nèi)的直線平行、異面、異面垂直.

故大前提錯(cuò)誤，結(jié)論錯(cuò)誤.

故選D.

10.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

演繹推理

【解析】

利用"兩直線平行，同位角相等"，直接判定.

【解答】

l//m,得41=42",利用的"兩直線平行，同位角相等",.

11.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

分析法的思考過程、特點(diǎn)及應(yīng)用

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：在證明過程中使用了大量的公式和結(jié)論，有平方差公式，同角的關(guān)系式，

所以在證明過程中，使用了綜合法的證明方法.

故選B.

12.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

歸納推理

【解析】

觀察不難發(fā)現(xiàn)，每4個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)組，個(gè)位數(shù)字是3,9,7,1,依次進(jìn)行循環(huán)，用

2021除以4,余數(shù)是幾則與第幾個(gè)的個(gè)位數(shù)相同.

試卷第8頁，總15頁

【解答】

解：因?yàn)?1=3,32=9,32=27,34=81,35=243,36=729,

可以發(fā)現(xiàn)，得數(shù)的個(gè)位數(shù)字是以3,9,7,1依次進(jìn)行循環(huán)的.

因?yàn)?021+4=505……1,

所以3202】的個(gè)位數(shù)字與3】的個(gè)位數(shù)字相同，是3.

故選B.

二、填空題（本題共計(jì)4小題，每題5分，共計(jì)20分）

13.

【答案】

n=f

【考點(diǎn)】

進(jìn)行簡單的合情推理

合情推理的作用

【解析】

根據(jù)題意，由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得3i%64=729,結(jié)合算籌記數(shù)的方法分析可得答案.

【解答】

解：根據(jù)題意，31%64=36=729,

用算籌記數(shù)表示為n=/.

故答案為：TT=M.

14.

【答案】

【考點(diǎn)】

歸納推理

【解析】

根據(jù)所給的式子歸納出規(guī)律，按照此規(guī)律即可得到答案.

【解答】

解：根據(jù)所給的式子可得：等式的右邊都是以4為底數(shù)的幕的形式，

且指數(shù)是等式左邊最后一個(gè)組合數(shù)的上標(biāo)，

當(dāng)neN*時(shí),Ck+%+C“i+...+C^i=4f

故答案為：4f

15.

【答案】

"五,V3,時(shí)是等比數(shù)列"

【考點(diǎn)】

反證法

【解析】

寫出命題"魚，V3,有不可能是等比數(shù)列"的否定為，即為所求.

【解答】

解：根據(jù)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法和步驟，應(yīng)先假設(shè)命題的否定成立，

而命題"VLV3,而不可能是等比數(shù)列"的否定為：

"y[2,V3,而是等比數(shù)列

故答案為：企，V3,花是等比數(shù)列.

16.

【答案】

1

r=-h

4

【考點(diǎn)】

類比推理

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解:球心到正四面體一個(gè)面的距離即球的半徑r,

連接球心與正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)，

把正四面體分成四個(gè)高為r的三棱錐，

所以4x?Sxr=Nsx/i,

所以r=：九，

4

（其中S為正四面體一個(gè)面的面積，無為正四面體的高）.

故答案為：

4

三、解答題(本題共計(jì)6小題，共計(jì)70分)

17.

【答案】

tan30°tan450+tan450tanl5°+tan30°tanl5°

Fx6——

=O+lxtan(45°-30°)+0

返

=3+3=6+(2-VJT(2-V6)=i,

故tan30°tan45°+tan450tanl5°+tan30°tanl5°=l.

K

a+6+丫

若7,則tanatan。+tan￡tany+tan￡tany=l.

,兀、

sin(--Y)

K,兀、cosY1

COS(~T--T)

tan(2—y)=乙-sinT=tanT,又

試卷第10頁，總15頁

兀1

tan(a+P)=tan(-T)"

tana+tanB>

tan(a+0)xtany=1-tanatanB=3,

整理得tanatang+tan/?tany+tan/?tany=l.

【考點(diǎn)】

歸納推理

【解析】

(1)根據(jù)所給的三個(gè)等式,可猜想并證明tan30°tan45°+tan45°tanl5°+tan30°tanl5"

=1;

c兀

“a+8+Y=-r-

(2)若N,貝！Jtanatan/?+tan^tany+tan￡tany=l.

(3)利用誘導(dǎo)公式及兩角和的正切公式，即可證明(2)的猜想是正確的.

【解答】

tan300tan45°+tan45°tanl5°+tan30°tanl5°

k愿XX6Aa-

=O+lxtan(45°-30°)4-0

渣璉

返石逅宿返我

=丁+'/+3x1丁=工+(2-V?T(2-V6)=i,

fetan30°tan45°+tan45°tanl5°+tan30°tanl5°=l.

。兀

a+8+y=-=-

若?,則tanatan￡+tan^tany+tanStany=l.

sin(-y--7)

兀―(2L_y}cosY1

tan(2-y)=c°s'2=sinT=tanY,又

九1

tan(a+6)=tanH-7)=~~~

4tanr,

_tanO_+tan_P_><

tan(a+￡)xtany=1-tanatanB=3,

整理得tanatan夕+tan/?tany+tan/?tany=l.

18.

【答案】

證明：(1)左邊=3+舄+今+/+今+《+?)

因?yàn)椋篴、b、c為正數(shù)

所以：左邊23+2府+2口+2陣=3+2+2+2=9

7bayjbc-Jca

'1?(a+b+c)(；+￡+》29

(2)要證V?i+2—Vn+1<Vn+1—近成立，

需證5+2+Vn<2Vn+1

需證(8+2+Vn)2<(2Vn+l)2

需證zi+1>y/n2+2n

需證(n+l)2>n2+2n

需證?I2+2n+1>n2+2n,

只需證1>0

因?yàn)閘>0顯然成立，所以原命題成立

【考點(diǎn)】

不等式的證明

綜合法與分析法

【解析】

(1)將不等式左邊展開，根據(jù)a、氏c為正數(shù)，利用基本不等式可證得(a+b+

￡1)(，+:+>>9成立：

(2)移項(xiàng)將不等式化為阮+低<2而不I,兩邊平方整理后，可得n+l>

Vn2+2n,比較(n+與M+2n的大小可得答案.

【解答】

證明：(1)左邊=3+《+JJ+《+》

因?yàn)椋篴、b、c為正數(shù)

所以：左邊23+2”+2”+2口=3+2+2+2=9

7baybcylca

(a+b+c)(i+^+^)>9

(2)要證+2-Vn+1<Vn+1-gi成立，

需證、九+2+Vn<2y/n+1

需證(Jn+2+Vn)2<(2<n+l)2

需證九+1>y/n2+2n

需證(n+l)2>n24-2n

需證M+2n+1>n2+2n,

只需證1>0

因?yàn)閘>0顯然成立，所以原命題成立

19.

【答案】

證明：因?yàn)镼>0,b>0,所以要證4(Q3+力3)>(Q+匕)3,

223

只要證4(Q+b)(a—ab+b)>(a+6),

即要證4(M-ab+b2)>(a4-b)2,

只需證3(a—b)2>0,

試卷第12頁，總15頁

而aHb,故3(a—b)2>0成立.

4(a3+d3)>(a+b)3.

【考點(diǎn)】

不等式的證明

分析法的思考過程、特點(diǎn)及應(yīng)用

【解析】

利用分析法，從結(jié)論入手，尋找結(jié)論成立的條件，即可得到證明.

【解答】

證明：因?yàn)閍>0,b>0,所以要證4(a3+川)>(a+b)3,

只要證4(a+b)(a2—ab+b2)>(a+b)3,

即要證4?2-ab+b2)>(a+b)2,

只需證3(a-b)2>0,

而a#b,故3(a-b)2>0成立.

4(a3+h3)>(a+b)3.

20.

【答案】

(1)解：根據(jù)遞推公式可求得:

猜想數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式為即=

(2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

證明：①當(dāng)n=1時(shí)，由題意知的=2,

顯然滿足的=*2；

②假設(shè)當(dāng)九=k時(shí)猜想成立,

則當(dāng)n=/c+l時(shí)，ak+1=

#1)7+3

2(k+l)-l'

知當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立，

綜合①②可知，對neN*猜想都成立,

即數(shù)列｛冊｝的通項(xiàng)公式為a”=

【考點(diǎn)】

數(shù)列遞推式

數(shù)學(xué)歸納法

歸納推理

【解析】

此題暫無解析

【解答】

(1)解：根據(jù)遞推公式可求得:

。2=和3=即4=后，

猜想數(shù)列Sn｝的通項(xiàng)公式為a”=后學(xué);

（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

證明：①當(dāng)n=l時(shí)，由題意知的=2,

顯然滿足%=后芋=2；

②假設(shè)當(dāng)n=/c時(shí)猜想成立,

則當(dāng)九=/c+l時(shí)，ak+1=

k

_l2+3_/2（"+I）T+!

y12kyj2（k+i）-1，

知當(dāng)71=k+1時(shí)猜想也成立，

綜合①②可知，對n€N*猜想都成立,

即數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為即=后半?

【答