函數(shù)的極值與最值

第五節(jié)函數(shù)的極值和最大最小值內(nèi)容提要

1.掌握求函數(shù)的極大值和極小值方法；

2.掌握求函數(shù)的最大值和最小值方法。教學(xué)要求

掌握求函數(shù)的最大值和最小值方法并會(huì)熟練解較簡(jiǎn)單的最大值和最小值的應(yīng)用問題。

一、函數(shù)極值的定義定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).二、函數(shù)極值的求法定理1(必要條件)注意：逆定理不成立.例如說明：對(duì)于連續(xù)函數(shù),導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是函數(shù)例如，函數(shù)在定義域中的駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為極值可疑點(diǎn).指出：連續(xù)函數(shù)僅在極值可疑點(diǎn)上可能取得極值.練習(xí)求下列函數(shù)的極值可疑點(diǎn)：的極值點(diǎn).

定理2(第一充分條件)(是極值點(diǎn)情形)(不是極值點(diǎn)情形)求極值的步驟:例1解列表討論極大值極小值解列表討論不存在定理3(第二充分條件)例3解注意:閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值。如果最大(最小)值在區(qū)間的內(nèi)部取到，則最大(最小)值必定是極大(極小)值。三、函數(shù)的最值及其求法閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值。極大(極小)值是函數(shù)的局部性質(zhì)，而最大(最小)值是函數(shù)的整體性質(zhì)。閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值。最大(最小)值可以在區(qū)間的端點(diǎn)取到，而極大(極小)值只能在區(qū)間的內(nèi)部取到。閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值。因此閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的最大值、最小值只可能在以下幾種點(diǎn)處取到：(1)駐點(diǎn)(2)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(3)區(qū)間端點(diǎn)

小結(jié)：求連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值,最小值，只需分別求出

1)駐點(diǎn)；

2)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；

3)區(qū)間端點(diǎn)這三處的函數(shù)值，并加以比較。其中較大者即為該函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，較小者即為該函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值。解令得駐點(diǎn)所以在區(qū)間上的最小值是沒有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，將可能最值點(diǎn)代入，得最大值是指出：就可以斷定目標(biāo)函數(shù)在某個(gè)開區(qū)間內(nèi)必有最即可判定在該點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)一定在很多實(shí)際問題中，根據(jù)問題的性質(zhì)，往往大值或最小值.若目標(biāo)函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，且在該區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，此時(shí)，取得最大值或最小值.2.實(shí)際問題的最值例5解表面積最小，小結(jié):極值是函數(shù)的局部性概念:駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為極值可疑點(diǎn).函數(shù)的極值必在極值可疑點(diǎn)取得.判別法第一充分條件;第二充分條件;極大值可能小于極小值.如圖所示:第一充分條件是行之有效的.(1)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值;注意最值與極值的區(qū)別.最值是整體概念而極值是局部概念.實(shí)際問題求最值的步驟.