2024屆北京市海淀首經(jīng)貿(mào)數(shù)學(xué)高二下期末考試試題含解析

2024屆北京市海淀首經(jīng)貿(mào)數(shù)學(xué)高二下期末考試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知是離散型隨機(jī)變量，，則（）A． B． C． D．2．已知雙曲線mx2-yA．y=±24x B．y=±23．設(shè)圓x2+y2+2x-2=0截x軸和y軸所得的弦分別為AB和CDA．22 B．23 C．24．現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戌5名同學(xué)參加上海世博會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，每人從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作之一，每項(xiàng)工作至少有一人參加．甲、乙不會(huì)開(kāi)車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙丁戌都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是A．152 B．126 C．90 D．545．函數(shù)是（）A．偶函數(shù)且最小正周期為2 B．奇函數(shù)且最小正周期為2C．偶函數(shù)且最小正周期為 D．奇函數(shù)且最小正周期為6．閱讀程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的的值為（）A．72 B．90 C．101 D．1107．下列有關(guān)命題的說(shuō)法正確的是()A．命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題為“若x2＝1，則x≠1”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分條件C．命題“若x＝y(tǒng)，則sinx＝siny”的逆否命題為真命題D．命題“?x0∈R使得”的否定是“?x∈R，均有x2＋x＋1<0”8．“a＞0”是“|a|＞0”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．已知數(shù)列滿足,則()A． B． C． D．10．，，三個(gè)人站成一排照相，則不站在兩頭的概率為（）A． B． C． D．11．函數(shù)的部分圖象大致是（）A． B．C． D．12．已知數(shù)列{an}滿足，則數(shù)列{an}的最小項(xiàng)為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．(N*)展開(kāi)式中不含的項(xiàng)的系數(shù)和為_(kāi)_______.14．對(duì)于自然數(shù)方冪和，，，求和方法如下：，，…，將上面各式左右兩邊分別相加，就會(huì)有，解得，類比以上過(guò)程可以求得，且與無(wú)關(guān)，則的值為_(kāi)_________．15．觀察以下各等式：，，，分析上述各式的共同特點(diǎn)，則能反映一般規(guī)律的等式為_(kāi)_________．16．由曲線與直線所圍成的封閉圖形的面積為_(kāi)_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，動(dòng)點(diǎn)滿足，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）若直線與交于兩點(diǎn)，且，求的值.18．（12分）如圖，棱長(zhǎng)為的正方形中，點(diǎn)分別是邊上的點(diǎn)，且將沿折起，使得兩點(diǎn)重合于，設(shè)與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．19．（12分）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)，（1））處的切線與軸垂直．（1）求的值；（2）若存在，使得，求的取值范圍．20．（12分）設(shè)函數(shù)的最大值為.（1）求的值；（2）若正實(shí)數(shù)，滿足，求的最小值.21．（12分）已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的最大值；（2）證明：對(duì)任意的.22．（10分）已知函數(shù).（1）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據(jù)題意，由隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)可得則只有兩個(gè)變量，進(jìn)而可得，解得，又由方差公式可得的值，又由方差的性質(zhì)計(jì)算可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意，，則則只有兩個(gè)變量，則，得，即，則，則.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)、數(shù)學(xué)期望以及方差與方差性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】x21m-y2=1,c=1m+1=33、C【解題分析】

先求出|AB|,|CD|,再求四邊形ABCD的面積.【題目詳解】x2+y令y=0得x=±3-1,則令x=0得y=±2，所以|CD|=2四邊形ACBD的面積S=故答案為：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】試題分析：根據(jù)題意，按甲乙的分工情況不同分兩種情況討論，①甲乙一起參加除了開(kāi)車的三項(xiàng)工作之一，②甲乙不同時(shí)參加一項(xiàng)工作；分別由排列、組合公式計(jì)算其情況數(shù)目，進(jìn)而由分類計(jì)數(shù)的加法公式，計(jì)算可得答案．解：根據(jù)題意，分情況討論，①甲乙一起參加除了開(kāi)車的三項(xiàng)工作之一：C31×A33=18種；②甲乙不同時(shí)參加一項(xiàng)工作，進(jìn)而又分為2種小情況；1°丙、丁、戌三人中有兩人承擔(dān)同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36種；2°甲或乙與丙、丁、戌三人中的一人承擔(dān)同一份工作：A32×C31×C21×A22=72種；由分類計(jì)數(shù)原理，可得共有18+36+72=126種，故選B．考點(diǎn)：排列、組合的實(shí)際應(yīng)用．5、C【解題分析】

首先化簡(jiǎn)為，再求函數(shù)的性質(zhì).【題目詳解】，是偶函數(shù)，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題型.6、B【解題分析】輸入?yún)?shù)第一次循環(huán)，，滿足，繼續(xù)循環(huán)第二次循環(huán)，，滿足，繼續(xù)循環(huán)第三次循環(huán)，，滿足，繼續(xù)循環(huán)第四次循環(huán)，，滿足，繼續(xù)循環(huán)第五次循環(huán)，，滿足，繼續(xù)循環(huán)第六次循環(huán)，，滿足，繼續(xù)循環(huán)第七次循環(huán)，，滿足，繼續(xù)循環(huán)第八次循環(huán)，，滿足，繼續(xù)循環(huán)第九次循環(huán)，，不滿足，跳出循環(huán)，輸出故選B點(diǎn)睛：此類問(wèn)題的一般解法是嚴(yán)格按照程序框圖設(shè)計(jì)的計(jì)算步驟逐步計(jì)算，逐次判斷是否滿足判斷框內(nèi)的條件，決定循環(huán)是否結(jié)束．要注意初始值的變化，分清計(jì)數(shù)變量與累加(乘)變量，掌握循環(huán)體等關(guān)鍵環(huán)節(jié)．7、C【解題分析】命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題為“若x2≠1，則x≠1”，A不正確；由x2－5x－6＝0，解得x＝－1或6，因此“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要條件，B不正確；命題“若x＝y(tǒng)，則sinx＝siny”為真命題，其逆否命題為真命題，C正確；命題“?x0∈R使得＋x0＋1<0”的否定是“?x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，D不正確．綜上可得只有C正確．8、A【解題分析】試題分析：本題主要是命題關(guān)系的理解，結(jié)合|a|＞0就是{a|a≠0}，利用充要條件的概念與集合的關(guān)系即可判斷．解：∵a＞0?|a|＞0，|a|＞0?a＞0或a＜0即|a|＞0不能推出a＞0，∴a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要條件故選A考點(diǎn)：必要條件．9、B【解題分析】分析：首先根據(jù)題中所給的遞推公式，推出，利用累求和與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出結(jié)果詳解：由，可得，即，累加得，又，所以，所以有，故選B.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)利用累加法求通項(xiàng)的問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，需要利用題中所給的遞推公式，可以轉(zhuǎn)化為相鄰兩項(xiàng)差的式子，而對(duì)于此類式子，就用累加法求通項(xiàng)，之后再將100代入求解.10、B【解題分析】分析：，，三個(gè)人站成一排照相，總的基本事件為種，不站在兩頭，即站中間，則有種情況，從而即可得到答案.詳解：，，三個(gè)人站成一排照相，總的基本事件為種，不站在兩頭，即站中間，則有種情況，則不站在兩頭的概率為.故選：B.點(diǎn)睛：本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.11、B【解題分析】

先判斷函數(shù)奇偶性，再根據(jù)對(duì)應(yīng)區(qū)間函數(shù)值的正負(fù)確定選項(xiàng).【題目詳解】為偶函數(shù)，舍去A;當(dāng)時(shí),舍去C；當(dāng)時(shí),舍去D；故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)奇偶性以及識(shí)別函數(shù)圖象，考查基本分析求解判斷能力，屬基礎(chǔ)題.12、B【解題分析】

先利用，構(gòu)造新數(shù)列，求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，結(jié)合通項(xiàng)公式的特點(diǎn)求解最小值.【題目詳解】因?yàn)?，所以；因?yàn)樗?；，以上各式相乘可得，所以，由于有最小值，所以的最小值?故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，利用累乘法求出通項(xiàng)公式是求解本題的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和問(wèn)題，再利用賦值法求出各項(xiàng)系數(shù)和．【題目詳解】要求(n∈N?)展開(kāi)式中不含y的項(xiàng)，只需令y=0，(N*)展開(kāi)式中不含的項(xiàng)的系數(shù)和即為展開(kāi)式的系數(shù)和，令x=1得展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為；故答案為：1.【題目點(diǎn)撥】因?yàn)槎?xiàng)式定理中的字母可取任意數(shù)或式，所以在解題時(shí)根據(jù)題意，給字母賦值，是求解二項(xiàng)展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和的一種重要方法．14、.【解題分析】分析：利用類比法先求出，再求，從而得到答案.詳解：利用類比法：，，，…，將上面各式左右兩邊分別相加，就會(huì)有，解得；繼續(xù)使用類比法：，，，…，將上面各式左右兩邊分別相加，就會(huì)有，解得，.故答案為：.點(diǎn)睛：類比推理應(yīng)用的類型及相應(yīng)方法類比推理的應(yīng)用一般為類比定義、類比性質(zhì)和類比方法．(1)類比定義：在求解由某種熟悉的定義產(chǎn)生的類比推理型試題時(shí)，可以借助原定義來(lái)求解；(2)類比性質(zhì)：從一個(gè)特殊式子的性質(zhì)、一個(gè)特殊圖形的性質(zhì)入手，提出類比推理型問(wèn)題，求解時(shí)要認(rèn)真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過(guò)程是求解的關(guān)鍵；(3)類比方法：有一些處理問(wèn)題的方法具有類比性，可以把這種方法類比應(yīng)用到其他問(wèn)題的求解中，注意知識(shí)的遷移．15、【解題分析】由題意得，，與相差了，另外根據(jù)所給三個(gè)式子的特點(diǎn)可得一般規(guī)律為．答案：16、【解題分析】

計(jì)算交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，再利用定積分計(jì)算得到答案.【題目詳解】解方程，消去解得，，故面積為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了定積分計(jì)算面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】分析：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則結(jié)合題意可得的方程為.（2）由（1）知為圓心是，半徑是的圓，利用點(diǎn)到直線距離公式結(jié)合圓的弦長(zhǎng)公式可得，解得.詳解：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所以，即，所以的方程為.（2）由（1）知為圓心是，半徑是的圓，設(shè)到直線的距離為，則，因?yàn)椋?，由點(diǎn)到直線的距離公式得，解得.點(diǎn)睛：處理直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達(dá)，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達(dá)較繁瑣，則用代數(shù)法．18、（1）見(jiàn)證明（2）【解題分析】

（1）由平面可得，結(jié)合可得平面，故，又得出平面；（2）建立空間坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算平面的法向量，則為直線與平面所成角的正弦值．【題目詳解】（1）證明：在正方形中，，，∴，在的垂直平分線上，∴，∵，，，∴平面∴，又，，∴平面，∴，又，，∴底面．（2）解：如圖過(guò)點(diǎn)作與平行直線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，∴，，，設(shè)平面的法向量，則，即，取，記直線與平面所成角為，則，故直線與平面PDF所成角的正弦值為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了線面垂直的判定與證明，以及空間角的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)嚴(yán)密推理，同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法，通過(guò)求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.19、（1）；（2）【解題分析】

（1）求得的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，解方程可得；（2）依據(jù)的導(dǎo)數(shù)，討論的范圍，結(jié)合單調(diào)性可得最小值，解不等式即可得到所求范圍．【題目詳解】（1），由題設(shè)知，解得.（2）解：的定義域?yàn)?，由?）知，，（i）若，則故當(dāng)，使得的充要條件為，即，解得（ii）若，則，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，存在，使得的充要條件為，所以不合題意（iii）若，則時(shí)，在上單調(diào)遞減，但是，∴綜上所述，的取值范圍是【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，研究單調(diào)性和極值，意在考查學(xué)生分類討論思想、方程思想的運(yùn)用能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。20、(1)m＝1(2)【解題分析】

試題分析：（1）零點(diǎn)分區(qū)間去掉絕對(duì)值，得到分段函數(shù)的表達(dá)式，根據(jù)圖像即可得到函數(shù)最值；（2）將要求的式子兩邊乘以(b＋1)＋(a＋1)，再利用均值不等式求解即可.解析：（1）f(x)＝|x＋1|－|x|＝由f(x)的單調(diào)性可知，當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)有最大值1．所以m＝1．（2）由（Ⅰ）可知，a＋b＝1，＋＝(＋)[(b＋1)＋(a＋1)]＝[a2＋b2＋＋]≥(a2＋b2＋2)＝(a＋b)2＝．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)取等號(hào)．即＋的最小值為．21、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解題分析】分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，已知切線方程說(shuō)明，，代入后可得，然后確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得出最大值；（2）不等式為，可用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，證明這個(gè)最小值大于0，即證得原不等式成立．詳解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，因的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，所以解得，所以，故．令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．（2）證明：原不等式可變?yōu)閯t，可知函數(shù)單調(diào)遞增，而，所以方程在（0，+∞）上存在唯一實(shí)根x0，使得．當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；所以.即在（0，+∞）上恒成立，所以對(duì)任意x＞0，成立．點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以