2024屆山東省文登一中數學高二下期末統考試題含解析

2024屆山東省文登一中數學高二下期末統考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．對任意復數，為虛數單位，則下列結論中正確的是（）A． B． C． D．2．已知函數滿足，且，當時，，則=A．?1 B．0C．1 D．23．已知,則下列結論中錯誤的是（）A．B．．C．D．4．下列等式中，錯誤的是（）A． B．C． D．5．函數（，e是自然對數的底數，）存在唯一的零點，則實數a的取值范圍為()A． B． C． D．6．展開式中的系數為（）A．30 B．15 C．0 D．-157．l：與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為A．6 B．1 C． D．38．已知直線與拋物線交于、兩點，若四邊形為矩形，記直線的斜率為，則的最小值為（）．A．4 B． C．2 D．9．已知是定義在上的偶函數，且當時，都有成立，設，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．10．已知某生產廠家的年利潤（單位：萬元）與年產量（單位：萬件）的函數關系式為，則使該生產廠家獲得最大年利潤的年產量為A．13萬件 B．11萬件C．9萬件 D．7萬件11．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A． B． C． D．12．已知函數，，若在上有且只有一個零點，則的范圍是()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線和橢圓焦點相同，則該雙曲線的方程為__________．14．已知函數的零點，則整數的值為______.15．對于任意的實數，總存在，使得成立，則實數的取值范圍為_____.16．若曲線(為常數)不存在斜率為負數的切線，則實數的取值范圍是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）天水市第一次聯考后，某校對甲、乙兩個文科班的數學考試成績進行分析，規(guī)定：大于或等于120分為優(yōu)秀，120分以下為非優(yōu)秀．統計成績后，得到如下的列聯表，且已知在甲、乙兩個文科班全部110人中隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為.

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計

甲班10乙班30合計110（1）請完成上面的列聯表；（2）根據列聯表的數據，若按99.9%的可靠性要求，能否認為“成績與班級有關系”；（3）若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學生中抽取一人：把甲班優(yōu)秀的10名學生從2到11進行編號，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現的點數之和為被抽取人的序號．試求抽到9號或10號的概率．參考公式與臨界值表：．0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82818．（12分）已知函數，.（1）若函數與的圖像上存在關于原點對稱的點，求實數的取值范圍；（2）設，已知在上存在兩個極值點，且，求證：（其中為自然對數的底數）.19．（12分）如圖，在四邊形中，.（1）求的余弦值；（2）若，求的長.20．（12分）我們稱點到圖形上任意一點距離的最小值為點到圖形的距離，記作（1）求點到拋物線的距離；（2）設是長為2的線段，求點集所表示圖形的面積；（3）試探究：平面內，動點到定圓的距離與到定點的距離相等的點的軌跡．21．（12分）在中，內角，，的對邊分別為，，，且，，.（Ⅰ）求及邊的值；（Ⅱ）求的值.22．（10分）如圖，在正四棱錐中，為底面的中心，已知，點為棱上一點，以為基底，建立如圖所示的空間直角坐標系．（1）若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值；（2）設二面角的平面角為，且，試判斷點的位置．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：由題可知，然后根據復數的運算性質及基本概念逐一核對四個選項得到正確答案.詳解：已知則選項A，，錯誤.選項B，，正確.選項C，，錯誤.選項D，，不恒成立，錯誤.故選B.點睛：本題考查了復數的運算法則、共軛復數的定義、復數模的計算.2、C【解題分析】

通過函數關系找到函數周期，利用周期得到函數值.【題目詳解】由，得，所以．又，所以，所以函數是以4為周期的周期函數所以故選C【題目點撥】本題考查了函數的周期，利用函數關系找到函數周期是解題的關鍵.3、C【解題分析】試題分析：，當時，，單調遞減，同理當時，單調遞增，，顯然不等式有正數解（如，（當然可以證明時，）），即存在，使，因此C錯誤．考點：存在性量詞與全稱量詞，導數與函數的最值、函數的單調性．4、C【解題分析】分析：計算每一選項的左右兩邊，檢查它們是否相等.詳解：通過計算得到選項A,B,D的左右兩邊都是相等的.對于選項C,,所以選項C是錯誤的.故答案為C.點睛：本題主要考查排列組合數的計算，意在考查學生對這些基礎知識的掌握水平和基本計算能力.5、A【解題分析】

函數，是自然對數的底數，存在唯一的零點等價于函數與函數只有唯一一個交點，由，，可得函數與函數唯一交點為，的單調，根據單調性得到與的大致圖象，從圖形上可得要使函數與函數只有唯一一個交點，則，即可解得實數的取值范圍．【題目詳解】解：函數，是自然對數的底數，存在唯一的零點等價于：函數與函數只有唯一一個交點，，，函數與函數唯一交點為，又，且，，在上恒小于零，即在上為單調遞減函數，又是最小正周期為2，最大值為的正弦函數，可得函數與函數的大致圖象如圖：要使函數與函數只有唯一一個交點，則，，，，解得，又，實數的范圍為．故選：．【題目點撥】本題主要考查了零點問題，以及函數單調性，解題的關鍵是把唯一零點轉化為兩個函數的交點問題，通過圖象進行分析研究，屬于難題．6、C【解題分析】

根據的展開式的通項公式找出中函數含項的系數和項的系數做差即可．【題目詳解】的展開式的通項公式為，故中函數含項的系數是和項的系數是所以展開式中的系數為-=0【題目點撥】本題考查了二項式定理的應用，熟練掌握二項式定理是解本題的關鍵．7、D【解題分析】

先求出直線與坐標軸的交點，再求三角形的面積得解.【題目詳解】當x=0時，y=2,當y=0時，x=3,所以三角形的面積為.故選：D【題目點撥】本題主要考查直線與坐標軸的交點的坐標的求法，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.8、B【解題分析】

設直線方程并與拋物線方程聯立,根據,借助韋達定理化簡得.根據,相互平分,由中點坐標公式可得,即可求得,根據基本不等式即可求得最小值.【題目詳解】設,,設直線:將直線與聯立方程組,消掉:得:由韋達定理可得:┄①,┄②，故,可得:┄③，，是上的點,,可得:┄④由③④可得:,結合②可得:和相互平分,由中點坐標公式可得，結合①②可得:,，故，根據對勾函數(對號函數)可知時,.(當且僅當)時,.(當且僅當)所以.故選:B.【題目點撥】本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關系的應用問題,通過聯立直線方程與拋物線方程的方程組,應用一元二次方程根與系數的關系,得到“目標函數”的解析式,確定函數的性質進行求解.9、B【解題分析】

通過可判斷函數在上為增函數，再利用增函數的性質即可得到，，的大小關系.【題目詳解】由于當時，都有成立，故在上為增函數，,,而，所以，故答案為B.【題目點撥】本題主要考查函數的性質，利用函數性質判斷函數值大小，意在考查學生的轉化能力，分析能力和計算能力，難度中等.10、C【解題分析】解：令導數y′=-x2+81＞0，解得0＜x＜9；令導數y′=-x2+81＜0，解得x＞9，所以函數y=-x3+81x-234在區(qū)間（0，9）上是增函數，在區(qū)間（9，+∞）上是減函數，所以在x=9處取極大值，也是最大值，故選C．11、A【解題分析】

由正視圖和側視圖得三棱錐的高，由俯視圖得三棱錐底面積，再利用棱錐的體積公式求解即可.【題目詳解】由三棱錐的正視圖和側視圖得三棱錐的高，由俯視圖得三棱錐底面積，所以該三棱錐的體積.故選：A【題目點撥】本題主要考查三視圖和棱錐的體積公式，考查學生的空間想象能力，屬于基礎題.12、B【解題分析】

將問題轉化為在有且僅有一個根，考慮函數，的單調性即可得解.【題目詳解】由題，所以不是函數的零點；當，有且只有一個零點，即在有且僅有一個根，即在有且僅有一個根，考慮函數，由得：，由得：所以函數在單調遞減，單調遞增，，，，，要使在有且僅有一個根，即或則的范圍是故選：B【題目點撥】此題考查根據函數零點求參數的取值范圍，關鍵在于等價轉化，利用函數單調性解決問題，常用分離參數處理問題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：根據題意，求出橢圓的焦點坐標，由雙曲線的幾何性質可得若雙曲線和橢圓焦點相同，則有，解得m的值，將m的值代入雙曲線的方程，即可得答案.詳解：根據題意，橢圓的焦點在x軸上，且焦點坐標為，若雙曲線和橢圓焦點相同，則有，解得，則雙曲線的方程為.故答案為.點睛：本題考查雙曲線的幾何性質，關鍵是掌握雙曲線的標準方程的形式.14、3【解題分析】

根據函數單調性可知若存在零點則零點唯一，由零點存在定理可判斷出零點所在區(qū)間，從而求得結果.【題目詳解】由題意知：在上單調遞增若存在零點，則存在唯一一個零點又，由零點存在定理可知：，則本題正確結果：【題目點撥】本題考查零點存在定理的應用，屬于基礎題.15、或【解題分析】

當時，取，滿足，考慮的情況，討論，，，四種情況，分別計算得到答案.【題目詳解】當時，取，滿足，成立；現在考慮的情況：當，即時，，只需滿足恒成立，；當，即時，，只需滿足恒成立，或恒成立，無解；當，即時，，只需滿足恒成立，無解；當，即時，，只需滿足恒成立，；綜上所述：或.故答案為：或.【題目點撥】本題考查了恒成立問題，意在考查學生的分類討論的能力，計算能力和應用能力.16、【解題分析】分析：令y′≥1在（1，+∞）上恒成立可得a，根據右側函數的值域即可得出a的范圍．詳解：y′=+2ax，x∈（1，+∞），∵曲線y=lnx+ax2（a為常數）不存在斜率為負數的切線，∴y′=≥1在（1，+∞）上恒成立，∴a≥﹣恒成立，x∈（1，+∞）．令f（x）=﹣，x∈（1，+∞），則f（x）在（1，+∞）上單調遞增，又f（x）=﹣＜1，∴a≥1．故答案為：．點睛：利用導數研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構造函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數的取值范圍；也可分離變量，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）優(yōu)秀非優(yōu)秀合計甲班105060乙班203050合計3080110（2）按99.9%的可靠性要求，不能認為“成績與班級有關系”（3）．【解題分析】

試題分析：思路分析：此類問題（1）（2）直接套用公式，經過計算“卡方”，與數表對比，作出結論．（3）是典型的古典概型概率的計算問題，確定兩個“事件”數，確定其比值．解：（1）4分優(yōu)秀非優(yōu)秀合計甲班105060乙班203050合計3080110（2）根據列聯表中的數據，得到K2≈7.487＜10.1．因此按99.9%的可靠性要求，不能認為“成績與班級有關系”（3）設“抽到9或10號”為事件A，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現的點數為（x，y）．所有的基本事件有：（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6）共36個．事件A包含的基本事件有：（3，6）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（5，5）、（4，6）（6，4）共7個．所以P(A)=，即抽到9號或10號的概率為．考點：“卡方檢驗”，古典概型概率的計算．點評：中檔題，獨立性檢驗問題，主要是通過計算“卡方”，對比數表，得出結論．古典概型概率的計算中，常用“樹圖法”或“坐標法”確定事件數，以防重復或遺漏．18、(1)(2)見證明【解題分析】

（1）將問題轉化為在有解，即在上有解，通過求解的最小值得到；（2）通過極值點為可求得，通過構造函數的方式可得：；通過求證可證得，進而可證得結論.【題目詳解】（1）函數與的圖像上存在關于原點對稱的點即的圖像與函數的圖像有交點即在有解，即在上有解設，，則當時，為減函數；當時，為增函數，即（2），在上存在兩個極值點，且且，即設，則要證，即證只需證明，即證明設，則則在上單調遞增，即【題目點撥】本題考查利用導數來解決函數中的交點問題、恒成立問題，解決問題的關鍵是能將交點問題轉變?yōu)槟艹闪栴}、不等式的證明問題轉化為恒成立的問題，從而通過構造函數的方式，找到合適的函數模型來通過最值解決問題.19、（1）（2）【解題分析】

（1）先利用余弦定理求出BC=2,再利用正弦定理求出，再求的余弦值；（2）先求出,再利用正弦定理求AD得解.【題目詳解】解：（1）因為，所以，即，所以.由正弦定理得，所以，又因為，所以.（2）由（1）得，所以，所以，所以.【題目點撥】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.20、（1）（2）（3）見解析【解題分析】

(1)設A是拋物線上任意一點，先求出|PA|的函數表達式，再求函數的最小值得解；(2）由題意知集合所表示的圖形是一個邊長為2的正方形和兩個半徑是1的半圓，再求出面積；(3)將平面內到定圓的距離轉化為到圓上動點的距離，再分點現圓的位置關系，結合圓錐曲線的定義即可解決．【題目詳解】(1)設A是拋物線上任意一點，則，因為,所以當時，.點到拋物線的距離.（2）設線段的端點分別為，，以直線為軸，的中點為原點建立直角坐標系，則，，點集由如下曲線圍成：，，，，，，，，集合所表示的圖形是一個邊長為2的正方形和兩個半徑是1的半圓，其面積為．(3)設動點為，當點在圓內不與圓心重合，連接并延長，交于圓上一點，由題意知，，所以，即的軌跡為一橢圓；如圖．如果是點在圓外，由，得，為一定值，即的軌跡為雙曲線的一支；當點與圓心重合，要使，則必然在與圓的同心圓，即的軌跡為一圓.【題目點撥】本題主要考查新定義的理解和應用，考查拋物線中的最值問題，考查軌跡問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.21、(1)，或；(2).【解題