2024屆江蘇省蘇州新區(qū)實驗中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2024屆江蘇省蘇州新區(qū)實驗中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)集合A={x|x>0}，B={x|x2-5x-14<0}，則A．{x|0<x<5} B．{x|2<x<7}C．{x|2<x<5} D．{x|0<x<7}2．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，則當(dāng)時，應(yīng)當(dāng)在時對應(yīng)的等式的左邊加上（）A． B．C． D．3．已知函數(shù)為奇函數(shù),則（）A． B． C． D．4．安排位同學(xué)擺成一排照相.若同學(xué)甲與同學(xué)乙相鄰，且同學(xué)甲與同學(xué)丙不相鄰，則不同的擺法有（）種A． B． C． D．5．球的體積是，則此球的表面積是（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為l，則（）A．1 B． C．3 D．7．的展開式中的常數(shù)項是（）A．192 B． C．160 D．8．某學(xué)校舉辦科技節(jié)活動，有甲、乙、丙、丁四個團隊參加“智能機器人”項目比賽，該項目只設(shè)置一個一等獎．在評獎揭曉前，小張、小王、小李、小趙四位同學(xué)對這四個參賽團隊獲獎結(jié)果預(yù)測如下：小張說：“甲或乙團隊獲得一等獎”；小王說：“丁團隊獲得一等獎”；小李說：“乙、丙兩個團隊均未獲得一等獎”；小趙說：“甲團隊獲得一等獎”．若這四位同學(xué)中有且只有兩位預(yù)測結(jié)果是對的，則獲得一等獎的團隊是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁9．下列四個函數(shù)中，在區(qū)間上是減函數(shù)的是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)與分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則的值為（）A． B． C． D．11．在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為。若射線與曲線和曲線分別交于兩點（除極點外），則等于（）A． B． C．1 D．12．已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式解集為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．用反證法證明命題“如果，那么”時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為_____．14．展開式中項的系數(shù)為__________．15．已知圓：的兩焦點為，，點滿足，則的取值范圍為______.16．已知，，則___________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知不等式.(1)當(dāng)時，求不等式的解集；(2)若不等式的解集為，求的范圍.18．（12分）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.若不等式對任意實數(shù)x恒成立，則稱函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”.（1）請舉一個“超導(dǎo)函數(shù)”的例子，并加以證明；（2）若函數(shù)與都是“超導(dǎo)函數(shù)”，且其中一個在R上單調(diào)遞增，另一個在R上單調(diào)遞減，求證：函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”；（3）若函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”且方程無實根，（e為自然對數(shù)的底數(shù)），判斷方程的實數(shù)根的個數(shù)并說明理由.19．（12分）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的圖象在點處的切線方程為，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對任意的：，存在零點，求的取值范圍.20．（12分）以直角坐標(biāo)系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.曲線的極坐標(biāo)方程是.（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)曲線與軸正半軸及軸正半軸交于點，在第一象限內(nèi)曲線上任取一點，求四邊形面積的最大值.21．（12分）已知，．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；（Ⅱ）對一切的時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．22．（10分）近年來，空氣質(zhì)量成為人們越來越關(guān)注的話題，空氣質(zhì)量指數(shù)（，簡稱）是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù).環(huán)保部門記錄了某地區(qū)7天的空氣質(zhì)量指數(shù)，其中，有4天空氣質(zhì)量為優(yōu)，有2天空氣質(zhì)量為良，有1天空氣質(zhì)量為輕度污染.現(xiàn)工作人員從這7天中隨機抽取3天進行某項研究.（I）求抽取的3天中至少有一天空氣質(zhì)量為良的概率；（Ⅱ）用表示抽取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】試題分析：由B={x|x2-5x-14<0}={x|-2<x<7}，所以考點：集合的運算．2、C【解題分析】

由數(shù)學(xué)歸納法可知時，左端，當(dāng)時，，即可得到答案.【題目詳解】由題意，用數(shù)學(xué)歸納法法證明等式時，假設(shè)時，左端，當(dāng)時，，所以由到時需要添加的項數(shù)是，故選C.【題目點撥】本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，著重考查了理解與觀察能力，以及推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】

根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì),利用計算得到,再代入函數(shù)計算【題目詳解】由函數(shù)表達(dá)式可知，函數(shù)在處有定義，則，，則，.故選A.【題目點撥】解決本題的關(guān)鍵是利用奇函數(shù)性質(zhì),簡化了計算,快速得到答案.4、C【解題分析】

利用間接法，在甲同學(xué)與乙同學(xué)相鄰的所有排法種減去甲同學(xué)既與乙同學(xué)相鄰，又與乙同學(xué)相鄰的排法種數(shù)，于此可得出答案．【題目詳解】先考慮甲同學(xué)與乙同學(xué)相鄰，將這兩位同學(xué)捆綁，與其他三位同學(xué)形成四個元素，排法總數(shù)為種，再考慮甲同學(xué)既與乙同學(xué)相鄰又與丙同學(xué)相鄰的相鄰的情況，即將這三位同學(xué)捆綁，且將甲同學(xué)置于正中間，與其余兩位同學(xué)形成三個元素，此時，排法數(shù)為.因此，所求排法數(shù)為，故選C.【題目點撥】本題考查排列組合問題，問題中出現(xiàn)了相鄰，考慮用捆綁法來處理，需要注意處理內(nèi)部元素與外部元素的排法順序，結(jié)合分步計數(shù)原理可得出答案．5、B【解題分析】

先計算出球的半徑，再計算表面積得到答案.【題目詳解】設(shè)球的半徑為R，則由已知得，解得，故球的表面積.故選：【題目點撥】本題考查了圓的體積和表面積的計算，意在考查學(xué)生的計算能力.6、B【解題分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得到，，然后把原式等價變形可得結(jié)果.【題目詳解】因為，且函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為l，所以，故選B.【題目點撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的定義及計算，較基礎(chǔ).7、D【解題分析】分析：利用二項展開式的通項公式令的冪指數(shù)為0，求得的值，從而可得的展開式中的常數(shù)項．詳解：設(shè)二項展開式的通項為，

則令得：，

∴展開式中的常數(shù)項為故選D．點睛：本題考查二項展開式的通項公式，考查運算能力，屬于中檔題．8、D【解題分析】1.若甲獲得一等獎,則小張、小李、小趙的預(yù)測都正確,與題意不符;2.若乙獲得一等獎,則只有小張的預(yù)測正確,與題意不符;3.若丙獲得一等獎,則四人的預(yù)測都錯誤,與題意不符;4.若丁獲得一等獎,則小王、小李的預(yù)測正確,小張、小趙的預(yù)測錯誤,符合題意，故選D.【思路點睛】本題主要考查演繹推理的定義與應(yīng)用以及反證法的應(yīng)用，屬于中檔題.本題中，若甲獲得一等獎,則小張、小李、小趙的預(yù)測都正確,與題意不符；若乙獲得一等獎,則只有小張的預(yù)測正確,與題意不符；若丙獲得一等獎,則四人的預(yù)測都錯誤,與題意不符；若丁獲得一等獎,則小王、小李的預(yù)測正確,小張、小趙的預(yù)測錯誤,符合題意.9、D【解題分析】

逐一對四個選項的函數(shù)進行判斷，選出正確答案.【題目詳解】選項A:因為底數(shù)大于1，故對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；選項B::因為底數(shù)大于1，故指數(shù)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；選項C:因為指數(shù)大于零，故冪函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；選項D;反比例函數(shù)當(dāng)比例系數(shù)大于零時，在每個象限內(nèi)是減函數(shù)，故在區(qū)間上是減函數(shù)，故本題選D.【題目點撥】本題考查了指對冪函數(shù)的單調(diào)性問題，熟練掌握指對冪函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.10、C【解題分析】

根據(jù)條件可得，與聯(lián)立便可解出和，從而得到的值?！绢}目詳解】①；；又函數(shù)與分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)；，；②；聯(lián)立①②，解得所以；故答案選C【題目點撥】本題考查奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是通過建立關(guān)于與的方程組求出和的解析式，屬于中檔題。11、A【解題分析】

把分別代入和，求得的極經(jīng)，進而求得，得到答案．【題目詳解】由題意，把代入，可得，把代入，可得，結(jié)合圖象，可得，故選A．【題目點撥】本題主要考查了簡單的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，以及數(shù)形結(jié)合法的解題思想方法，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．12、A【解題分析】

由題可得為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式求解即可。【題目詳解】函數(shù)的定義域為，，所以在上為偶函數(shù)；當(dāng)時，，則，由于當(dāng)時，，，則在上恒大于零，即在單調(diào)遞增；由在上為偶函數(shù)，則在單調(diào)遞減；故不等式等價于，解得;;所以不等式解集為；故答案選A【題目點撥】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解函數(shù)不等式，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解題分析】假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是否定結(jié)論，由否定后為.14、1【解題分析】分析：根據(jù)二項式定理的通項公式，再分情況考慮即可求解．詳解：展開式中x項的系數(shù)：二項式（1+x）5由通項公式當(dāng)（1﹣x）提供常數(shù)項時：r=1，此時x項的系數(shù)是=2018，當(dāng)（1﹣x）提供一個x時：r=0，此時x項的系數(shù)是﹣1×=﹣1合并可得（1﹣x）（1+x）5展開式中x項的系數(shù)為1．故答案為：1．點睛：求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第r＋1項，再由特定項的特點求出r值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第r＋1項，由特定項得出r值，最后求出其參數(shù).15、【解題分析】

點滿足則點在橢圓內(nèi),且不包含原點.故根據(jù)橢圓定義再分析即可.【題目詳解】由題有點在橢圓內(nèi),且不包含原點.故,又當(dāng)在線段上（不包含原點）時取得最小值2.故.故答案為：【題目點撥】本題主要考查了橢圓的定義及其性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題型.16、【解題分析】

利用求的值.【題目詳解】．故答案為：5【題目點撥】本題主要考查差角的正切公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）;（Ⅱ）是【解題分析】試題分析：（1）由題意，根據(jù)兩個絕對值式的零點，對的取值范圍進行分段求解，綜合所有情況，從而可得不等式的解；（2）由不等式的解集為，由（1）作函數(shù)圖形，結(jié)合圖形，可直線斜率，從而可求出實數(shù)的取值范圍，由此問題可得解.試題解析：（1）由已知，可得當(dāng)時，若，則，解得若，則，解得若，則，解得綜上得，所求不等式的解集為；（2）不妨設(shè)函數(shù)，則其過定點，如圖所示，由（1）可得點，由此可得，即.所以，所求實數(shù)的范圍為.18、(1)見解析.(2)見解析.(3)見解析.【解題分析】分析：（1）根據(jù)定義舉任何常數(shù)都可以；（2）∵，∴，即證-在R上成立即可；（3）構(gòu)造函數(shù)，因為是“超導(dǎo)函數(shù)”，∴對任意實數(shù)恒成立，而方程無實根，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減，故方程等價于，即，設(shè)，分析函數(shù)單調(diào)性結(jié)合零點定理即可得出結(jié)論.詳解：（1）舉例：函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”，因為，，滿足對任意實數(shù)恒成立，故是“超導(dǎo)函數(shù)”.注：答案不唯一，必須有證明過程才能給分，無證明過程的不給分.（2）∵，∴，∴因為函數(shù)與都是“超導(dǎo)函數(shù)”，所以不等式與對任意實數(shù)都恒成立，故，，①而與一個在上單調(diào)遞增，另一個在上單調(diào)遞減，故，②由①②得對任意實數(shù)都恒成立，所以函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”.（3）∵，所以方程可化為，設(shè)函數(shù)，，則原方程即為，③因為是“超導(dǎo)函數(shù)”，∴對任意實數(shù)恒成立，而方程無實根，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減，故方程③等價于，即，設(shè)，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，而，，且函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷，故在上有且僅有一個零點，從而原方程有且僅有唯一實數(shù)根.點睛：考查函數(shù)的新定義，首先要讀懂新定義，將新定義的知識與所學(xué)導(dǎo)函數(shù)的知識相聯(lián)系是解題關(guān)鍵，本題的難點在于能否將新定義的語言轉(zhuǎn)化為自己所熟悉的函數(shù)語言進行等價研究問題是解題關(guān)鍵，屬于壓軸題.19、（1）（2）【解題分析】

（1）根據(jù)切線、函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值計算解析式；（2）計算出在時的值域，再根據(jù)求解出的范圍.【題目詳解】解：（1）∵，∴，，∵，∴，①∵的圖象在點處的切線方程為，∴當(dāng)時，，且切線斜率，則，②.，③，聯(lián)立解得，，，即；（2）當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，又，，，.所以因為對任意的，存在零點，所以，即，所以【題目點撥】對于形如的函數(shù)零點問題，可將其轉(zhuǎn)化為的方程根的問題，或者也可以利用與的函數(shù)圖象交點來解決問題.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】分析：（Ⅰ）把整合成，再利用就可以得到曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）因為在橢圓上且在第一象限，故可設(shè)，從而所求面積可用的三角函數(shù)來表示，求出該函數(shù)的最大值即可.詳解：（Ⅰ）由題可變形為，∵，，∴，∴.（Ⅱ）由已知有，，設(shè)，.于是由，由得，于是，∴四邊形最大值.點睛：直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)為極坐標(biāo)方程的關(guān)鍵是利用公式，而極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程的關(guān)鍵是利用公式，后者也可以把極坐標(biāo)方程變形盡量產(chǎn)生以便轉(zhuǎn)化.另一方面，當(dāng)動點在圓錐曲線運動變化時，我們可用一