廣東省廣州市越秀區(qū)實驗中學2024屆高二數學第二學期期末達標檢測模擬試題含解析

廣東省廣州市越秀區(qū)實驗中學2024屆高二數學第二學期期末達標檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某地區(qū)一次聯(lián)考的數學成績近似地服從正態(tài)分布，已知，現(xiàn)隨機從這次考試的成績中抽取100個樣本，則成績低于48分的樣本個數大約為（）A．6 B．4 C．94 D．962．直線y=a分別與直線y=2x+2，曲線y=x+lnx交于點A、A．3 B．2 C．3243．某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨立，設為該群體的10位成員中使用移動支付的人數，，，則A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.34．已知拋物線上一動點到其準線與到點M（0，4）的距離之和的最小值為，F(xiàn)是拋物線的焦點，是坐標原點，則的內切圓半徑為A． B． C． D．5．某學校為了了解本校學生的上學方式，在全校范圍內隨機抽查部分學生，了解到上學方式主要有：——結伴步行，——自行乘車，——家人接送，——其他方式，并將收集的數據整理繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.根據圖中信息，求得本次抽查的學生中類人數是（）A．30 B．40 C．42 D．486．設實數a,b,c滿足a+b+c=1,則a,b,c中至少有一個數不小于()A．0 B． C． D．17．已知函數在處取得極值，則的圖象在處的切線方程為（）A． B． C． D．8．若函數且在上既是奇函數又是增函數，則的圖象是()A． B．C． D．9．設，，，則（）A． B． C． D．10．定義在上的函數，當時，，則函數（）的所有零點之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．811．已知隨機變量，若，則分別是（）A．6和5.6 B．4和2.4 C．6和2.4 D．4和5.612．已知命題對，，成立，則在上為增函數；命題，，則下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．以橢圓的頂點為焦點，焦點為頂點的雙曲線方程的標準方程是_______.14．f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在區(qū)間上的最大值是，則ω＝________.15．若，則___________．16．已知，則方程恰有2個不同的實根，實數取值范圍__________________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了調查我市在校中學生參加體育運動的情況，從中隨機抽取了16名男同學和14名女同學，調查發(fā)現(xiàn)，男、女同學中分別有12人和6人喜愛運動，其余不喜愛.（1）根據以上數據完成以下列聯(lián)表：（2）根據列聯(lián)表的獨立性檢驗，能否在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下認為性別與喜愛運動有關？（3）將以上統(tǒng)計結果中的頻率視作概率，從我市中學生中隨機抽取3人，若其中喜愛運動的人數為，求的分布列和均值.參考數據：18．（12分）設數列的前項和為，且滿足.（1）求;（2）猜想數列的通項公式，并用數學歸納法證明．19．（12分）已知函數．（1）求函數的最小值；（2）當時，記函數的所有單調遞增區(qū)間的長度為，所有單調遞減區(qū)間的長度為，證明：．（注：區(qū)間長度指該區(qū)間在軸上所占位置的長度，與區(qū)間的開閉無關．）20．（12分）已知向量a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα,5sinα－4cosα)，α∈，且a⊥b.(1)求tanα的值；(2)求cos的值．21．（12分）函數，，實數為常數.（I）求的最大值；（II）討論方程的實數根的個數.22．（10分）已知數列的前項和為，且滿足．（1）求數列的通項公式；（2）令，記數列的前項和為，證明：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由已知根據正態(tài)分布的特點，可得，根據對稱性，則，乘以樣本個數得答案．【題目詳解】由題意，知，可得，又由對稱軸為，所以，所以成績小于分的樣本個數為個．故選：B．【題目點撥】本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，以及考查正態(tài)分布中兩個量和的應用，其中熟記正態(tài)分布的對稱性是解答的關鍵，屬于基礎題．2、D【解題分析】試題分析：設A(x1,a),B(x2,a)，則2(x1+1)=x2+lnx2考點：導數的應用.3、B【解題分析】分析：判斷出為二項分布，利用公式進行計算即可．或，,可知故答案選B.點睛：本題主要考查二項分布相關知識，屬于中檔題．4、D【解題分析】

由拋物線的定義將到準線的距離轉化為到焦點的距離，到其準線與到點M（0，4）的距離之和的最小值，也即為最小，當三點共線時取最小值．所以，解得，由內切圓的面積公式，解得．故選D．5、A【解題分析】

根據所給的圖形，計算出總人數，即可得到A的人數．【題目詳解】解：根據選擇D方式的有18人，所占比例為15%，得總人數為120人，故選擇A方式的人數為120﹣42﹣30﹣18＝30人．故選A．【題目點撥】本題考查了條形圖和餅圖的識圖能力，考查分析問題解決問題的能力．6、B【解題分析】∵三個數，，的和為1，其平均數為∴三個數中至少有一個大于或等于假設，，都小于，則∴，，中至少有一個數不小于故選B.7、A【解題分析】

利用列方程，求得的值，由此求得，進而求得的圖象在處的切線方程.【題目詳解】，函數在處取得極值，，解得，，于是，可得的圖象在處的切線方程為，即．故選：A【題目點撥】本小題主要考查根據極值點求參數，考查利用導數求切線方程，屬于基礎題.8、D【解題分析】

根據題意先得到，，判斷其單調性，進而可求出結果.【題目詳解】因為函數且在上是奇函數，所以所以，，又因為函數在上是增函數，所以，所以，它的圖象可以看作是由函數向左平移一個單位得到，故選D.【題目點撥】本題主要考查函數的奇偶性與單調性以及函數圖象變換，熟記函數性質即可，屬于常考題型.9、B【解題分析】

根據對數運算法則求得，進而求得，由此得到結果.【題目詳解】，，，.故選：.【題目點撥】本題考查指數、對數比較大小的問題，涉及到對數的運算，屬于基礎題.10、D【解題分析】分析：首先根據得到函數關于對稱，再根據對稱性畫出函數在區(qū)間上的圖像，再根據函數與函數圖像的交點來求得函數的零點的和.詳解：因為故函數關于對稱，令，即，畫出函數與函數圖像如下圖所示，由于可知，兩個函數圖像都關于對稱，兩個函數圖像一共有個交點，對稱的兩個交點的橫坐標的和為，故函數的個零點的和為.故選D.點睛：本小題主要考查函數的對稱性，考查函數的零點的轉化方法，考查數形結合的數學思想方法.解決函數的零點問題有兩個方法，一個是利用零點的存在性定理，即二分法來解決，這種方法用在判斷零點所在的區(qū)間很方便.二個是令函數等于零，變?yōu)閮蓚€函數，利用兩個函數圖像的交點來得到函數的零點.11、B【解題分析】分析：根據變量ξ～B（10，0.4）可以根據公式做出這組變量的均值與方差，隨機變量η=8﹣ξ，知道變量η也符合二項分布，故可得結論．詳解：∵ξ～B（10，0.4），∴Eξ=10×0.4=4，Dξ=10×0.4×0.6=2.4，∵η=8﹣ξ，∴Eη=E（8﹣ξ）=4，Dη=D（8﹣ξ）=2.4故選：B．點睛：本題考查變量的均值與方差，均值反映數據的平均水平，而方差反映數據的波動大小，屬于基礎題．方差能夠說明數據的離散程度，期望說明數據的平均值，從選手發(fā)揮穩(wěn)定的角度來說，應該選擇方差小的.12、B【解題分析】

根據函數的性質分別判斷命題的真假再判斷各選項的真假即可.【題目詳解】命題當時,因為故；當時,因為故；故隨的增大而增大.故命題為真.命題,因為.故命題為假命題.故為真命題.故選：B【題目點撥】本題主要考查了命題真假的判定與函數的性質運用,屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：由橢圓的焦點為，頂點為，可得雙曲線的焦點與頂點，從而可得雙曲線方程.詳解：橢圓的焦點為，頂點為，雙曲線的頂點與焦點分別為，可得，所以雙曲線方程是，故答案為.點睛：本題考查橢圓與雙曲線的簡單性質應用，意在考查綜合應用所學知識解決問題的能力，解題時要認真注意審題，特別注意考慮雙曲線的焦點位置.14、【解題分析】

函數f(x)的周期T＝，因此f(x)＝2sinωx在上是增函數，∵0<ω<1，∴是的子集，∴f(x)在上是增函數，∴＝，即2sin＝，∴ω＝，∴ω＝，故答案為.15、【解題分析】

先化簡已知得，再利用平方關系求解.【題目詳解】由題得，因為，所以故答案為：【題目點撥】本題主要考查誘導公式和同角的平方關系，意在考察學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.16、【解題分析】

將問題轉化為當直線與函數的圖象有個交點時，求實數的取值范圍，并作出函數的圖象，考查當直線與曲線相切以及直線與直線平行這兩種臨界位置情況，結合斜率的變化得出實數的取值范圍．【題目詳解】問題等價于當直線與函數的圖象有個交點時，求實數的取值范圍．作出函數的圖象如下圖所示：先考慮直線與曲線相切時，的取值，設切點為，對函數求導得，切線方程為，即，則有，解得.由圖象可知，當時，直線與函數在上的圖象沒有公共點，在有一個公共點，不合乎題意；當時，直線與函數在上的圖象沒有公共點，在有兩個公共點，合乎題意；當時，直線與函數在上的圖象只有一個公共點，在有兩個公共點，不合乎題意；當時，直線與函數在上的圖象只有一個公共點，在沒有公共點，不合乎題意.綜上所述，實數的取值范圍是，故答案為.【題目點撥】本題考查函數的零點個數問題，一般轉化為兩個函數圖象的交點個數問題，或者利用參變量分離轉化為參數直線與定函數圖象的交點個數問題，若轉化為直線（不恒與軸垂直）與定函數圖象的交點個數問題，則需抓住直線與曲線相切這些臨界位置，利用數形結合思想來進行分析，考查分析問題的能力和數形結合數學思想的應用，屬于難題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【解題分析】分析：（1）本題是一個簡單的數字的運算，根據a，b，c，d的已知和未知的結果，做出空格處的結果；（2）假設是否喜愛運動與性別無關，由已知數據可求得觀測值，把求得的觀測值同臨界值進行比較，得到在犯錯的概率不超過0.10的前提下不能判斷喜愛運動與性別有關；（3）喜愛運動的人數為ξ，ξ的取值分別為0，1，2，3，結合變量對應的事件利用等可能事件的概率公式做出概率，寫出分布列和期望．詳解：（1）（2）假設：是否喜愛運動與性別無關，由已知數據可求得，因此，在犯錯的概率不超過0.10的前提下不能判斷喜愛運動與性別有關.（3）統(tǒng)計結果中喜愛運動的中學生所占的頻率為.喜愛運動的人數為的取值分別為：0,1,2,3，則有：喜愛運動的人數為的分布列為：因為，所以喜愛運動的人數的值為.點睛：求解離散型隨機變量的數學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數學期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式求得.18、（1），，；（2），證明見解析【解題分析】

（1）先求得的值，利用求得的表達式，由此求得的值.（2）根據（1）猜想，用數學歸納法證明數列的體積公式為.【題目詳解】（1）且于是從而可以得到，猜想通項公式（2）下面用數學歸納法證明.①當時，滿足通項公式；②假設當時，命題成立，即由（1）知即證當時命題成立；由①②可證成立.【題目點撥】本小題主要考查已知求，考查數學歸納法證明與數列的通項公式.19、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）首先求函數的導數，然后判斷函數的單調性，最后求最值；（2）根據（1）首先求函數的零點，從而去掉的絕對值，分段求函數的單調區(qū)間，最后再比較單調區(qū)間的長度.【題目詳解】解（1）因為，所以在單調遞減，單調遞增，所以.（2）由（1）可知，在單調遞減，單調遞增又，，所以存在，使得，則當時，，當時，所以，記，當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.當或時，當時即在單調遞增.因為，所以則當時，令，有所以當時，，在單調遞減綜上，在與單調遞減，在與單調遞增.所以，又所以，即【題目點撥】本題考查了利用函數的導數研究函數的單調性，屬于中檔題型，本題的一個難點是函數的零點，其中一個是，另一個不確定，只能估算其范圍，設為，所以再求當或時，函數的單調區(qū)間時，也需估算比較的范圍，確定時函數的減區(qū)間，這種估算零點存在性問題，是導數?？碱}型.20、（1）－（2）【解題分析】(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.而a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，故a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0，即＝0.由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0.解得tanα＝－或tanα＝.∵α∈，∴tanα＜0，∴tanα＝－.(2)∵α∈，∴∈.由tanα＝－，求得tan＝－或tan＝2(舍去)．∴sin＝，cos＝－，∴cos＝coscos－sin·sin＝－×－×＝－21、（Ⅰ）（Ⅱ）見解析【解題分析】