2024屆湖北省宜昌市七校教學(xué)協(xié)作體數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2024屆湖北省宜昌市七校教學(xué)協(xié)作體數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若函數(shù)在上為增函數(shù)，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．2．在ΔABC中，∠ACB=π2，AC=BC，現(xiàn)將ΔABC繞BC所在直線旋轉(zhuǎn)至ΔPBC，設(shè)二面角P-BC-A的大小為θ，PB與平面ABC所成角為α，PC與平面PAB所成角為β，若0<θ<π，則（A．α>θ B．β<θ C．0<α≤π43．過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A． B． C．10 D．204．已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．5．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，則下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說(shuō)法正確的是（）A． B．C． D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)在第四象限6．展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)是A．4 B．5C．8 D．127．若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，則雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．8．設(shè)的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，若240，則展開(kāi)式中x的系數(shù)為（）A．300 B．150 C．－150 D．－3009．下列命題正確的是（）A．進(jìn)制轉(zhuǎn)換：B．已知一組樣本數(shù)據(jù)為1，6，3，8，4，則中位數(shù)為3C．“若，則方程”的逆命題為真命題D．若命題：，，則：，10．給出下列說(shuō)法：（1）命題“，”的否定形式是“，”；（2）已知，則；（3）已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是2，樣本點(diǎn)的中心為，則回歸直線方程為；（4）對(duì)分類變量與的隨機(jī)變量的觀測(cè)值來(lái)說(shuō)，越小，判斷“與有關(guān)系”的把握越大；（5）若將一組樣本數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)后，則樣本的方差不變.其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．511．設(shè)，則在下列區(qū)間中，使函數(shù)f(x)有零點(diǎn)的區(qū)間是（）A．[0,1]B．[1,2]C．[-2,-1]D．[-1,0]12．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖都由半圓及矩形組成，俯視圖由正方形及其內(nèi)切圓組成，則該幾何體的表面積等于（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的數(shù)值范圍為_(kāi)_______.14．已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|x2－3x≤10}．若P∪Q＝Q，求實(shí)數(shù)a的取值范圍__________．15．已知，的取值如下表所示：從散點(diǎn)圖分析，與線性相關(guān)，且，以此預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)，_______.16．設(shè)隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，若，則_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，為棱的中點(diǎn)，，，.（1）證明：平面.（2）求二面角的余弦值.18．（12分）設(shè)函數(shù),（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（2）記的最小值為，求的最大值．19．（12分）已知數(shù)列（）的通項(xiàng)公式為（）.（1）分別求的二項(xiàng)展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和與系數(shù)之和；（2）求的二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)最大的項(xiàng)；（3）記（），求集合的元素個(gè)數(shù)（寫(xiě)出具體的表達(dá)式）.20．（12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，平行于的直線在軸上的截距為，交橢圓于兩個(gè)不同點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及的取值范圍；（2）求證直線與軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.21．（12分）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求，，；（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.22．（10分）若，且.(1)求；(2)歸納猜想通項(xiàng)公式.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

求f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），利用f′（x）判定f（x）的單調(diào)性，求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間，即得正實(shí)數(shù)a的取值范圍．【題目詳解】∵f（x）lnx（a＞0），∴f′（x）（x＞0），令f′（x）＝0，得x，∴函數(shù)f（x）在（0，]上f′（x）≤0，在[，+∞）上f′（x）≥0，∴f（x）在（0，]上是減函數(shù)，在[，+∞）上是增函數(shù)；∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，∴1，又a＞0，∴a≥1，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）；故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)判定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間來(lái)解答問(wèn)題，是中檔題．2、C【解題分析】

由題意畫(huà)出圖形，由線面角的概念可得α的范圍，得到C正確，取特殊情況說(shuō)明A，B，D錯(cuò)誤．【題目詳解】如圖，ΔABC為等腰直角三角形，AC=BC，將ΔABC繞BC所在直線旋轉(zhuǎn)至ΔPBC，則PC⊥BC，可得BC⊥平面PAC，∴二面角P-BC-A的大小θ=∠ACP，PB是平面ABC的一條斜線，則PC與平面ABC垂直時(shí)，PB與平面ABC所成角最大，則α的范圍為(0，π4]，故此時(shí)α<θ，故A錯(cuò)誤；當(dāng)PC與平面ABC垂直時(shí)，三棱錐C-PAB滿足CA⊥CB，CA⊥CP，CB⊥CP，CA=CB=CP，則PA=PB=AB，設(shè)AC=BC=1，則PA=PB=AB=2，C在平面PAB的射影為ΔPAB求得OP=63，即PC與平面PAB所成角β的余弦值cosβ=63當(dāng)θ無(wú)限接近0時(shí)，β無(wú)限接近π4，β>θ，故B綜上，正確的選項(xiàng)是C．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查空間角及其求法，考查空間想象能力與思維能力，屬難題．3、D【解題分析】

判斷函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，得出過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)時(shí)，得出A，B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，則有，再計(jì)算的值．【題目詳解】，∴函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，∴過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，∴，則．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的對(duì)稱性，以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題，是中檔題．4、C【解題分析】

先判斷時(shí)，在上恒成立；若在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立．【題目詳解】∵，即，（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當(dāng)函數(shù)單增，當(dāng)函數(shù)單減，故，所以．當(dāng)時(shí)，在上恒成立；綜上可知，的取值范圍是，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)的最值問(wèn)題，關(guān)鍵利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)行綜合分析．5、B【解題分析】

由復(fù)數(shù)的乘法除法運(yùn)算求出，進(jìn)而得出答案【題目詳解】由題可得，在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)為，位于第二象限，，故A,C,D錯(cuò)誤；，，故B正確；【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算與幾何意義，屬于簡(jiǎn)單題．6、B【解題分析】

把（1+x）5按照二項(xiàng)式定理展開(kāi)，可得（1﹣x）（1+x）5展開(kāi)式中x2項(xiàng)的系數(shù)．【題目詳解】（1﹣x）（1+x）5=（1﹣x）（1+5x+10x2+10x3+5x4+x5），其中可以出現(xiàn)的有1*10x2和﹣x*5x，其它的項(xiàng)相乘不能出現(xiàn)平方項(xiàng)，故展開(kāi)式中x2項(xiàng)的系數(shù)是10﹣5=5，故選B．【題目點(diǎn)撥】這個(gè)題目考查的是二項(xiàng)式中的特定項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題，在做二項(xiàng)式的問(wèn)題時(shí)，看清楚題目是求二項(xiàng)式系數(shù)還是系數(shù)，還要注意在求系數(shù)和時(shí)，是不是缺少首項(xiàng)；解決這類問(wèn)題常用的方法有賦值法，求導(dǎo)后賦值，積分后賦值等．7、B【解題分析】

寫(xiě)出雙曲線的漸近線方程，由圓的方程得到圓心坐標(biāo)與半徑，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式與垂徑定理列式求解．【題目詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由對(duì)稱性，不妨取，即．圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓心到漸近線的距離，，解得．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．8、B【解題分析】

分別求得二項(xiàng)式展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和以及二項(xiàng)式系數(shù)之和，代入，解出的值，進(jìn)而求得展開(kāi)式中的系數(shù).【題目詳解】令，得，故，解得.二項(xiàng)式為，展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得，故的系數(shù)為.故選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式系數(shù)之和、二項(xiàng)式展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和，考查求指定項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題.9、A【解題分析】

根據(jù)進(jìn)制的轉(zhuǎn)化可判斷A，由中位數(shù)的概念可判斷B，寫(xiě)出逆命題，再判斷其真假可判斷C.根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，可判斷D.【題目詳解】A.,故正確.B.樣本數(shù)據(jù)1，6，3，8，4，則中位數(shù)為4.故不正確.C.“若，則方程”的逆命題為:“方程,則”，為假命題，故不正確.D.若命題：，.則：，，故不正確.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了進(jìn)制的轉(zhuǎn)化、逆命題，中位數(shù)以及全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】

根據(jù)含有一個(gè)量詞的命題的否定，直接判斷（1）錯(cuò)；根據(jù)正態(tài)分布的特征，直接判斷（2）對(duì)；根據(jù)線性回歸方程的特點(diǎn)，判斷（3）正確；根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，可判斷（4）錯(cuò)；根據(jù)方差的特征，可判斷(5)正確.【題目詳解】（1）命題“，”的否定形式是“，”，故（1）錯(cuò)；（2）因?yàn)?，即服從正態(tài)分布，均值為，所以；故（2）正確；（3）因?yàn)榛貧w直線必過(guò)樣本中心，又已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是2，樣本點(diǎn)的中心為，所以，即所求回歸直線方程為：；故（3）正確；（4）對(duì)分類變量與的隨機(jī)變量的觀測(cè)值來(lái)說(shuō)，越小，判斷“與有關(guān)系”的把握越大；故（4）錯(cuò)；（5）若將一組樣本數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)后，方差不變.故（5）錯(cuò).故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查命題真假的判定，熟記相關(guān)知識(shí)點(diǎn)即可，屬于基礎(chǔ)題型.11、D【解題分析】試題分析：函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)，需要f（x）在此區(qū)間上的圖像連續(xù)且兩端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，即f（a）f（b）≤0，把選擇項(xiàng)中的各端點(diǎn)值代入驗(yàn)證可得答案D．考點(diǎn)：零點(diǎn)存在定理12、D【解題分析】

由三視圖可知，該幾何體由上下兩部分組成，下面是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為的正方形，高為的直四棱柱，上面是一個(gè)大圓與四棱柱的底面相切的半球，據(jù)此可以計(jì)算出結(jié)果.【題目詳解】解：由三視圖可知，該幾何體由上下兩部分組成，下面是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為的正方形，高為的直四棱柱，上面是一個(gè)大圓與四棱柱的底面相切的半球.表面積.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查三視圖求解幾何體的表面積，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】

根據(jù)在上的單調(diào)性列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【題目詳解】依題意可知且，所以.由于在上遞增，所以即，解得.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.14、【解題分析】

由題可知，，分和兩種情況分類討論，解不等式，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】P∪Q＝Q，（1），即，解得（2），即，解得綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查集合包含關(guān)系中的參數(shù)問(wèn)題，解題時(shí)要注意分類討論思想的合理運(yùn)用，含參集合問(wèn)題常采用數(shù)軸法，借助集合之間的包含關(guān)系得到參數(shù)的范圍，一定要注意的情況.15、【解題分析】

根據(jù)表格數(shù)據(jù)分別求出，代入求出的值，再計(jì)算當(dāng)時(shí)的值?！绢}目詳解】由表格知道代入得即當(dāng)時(shí)故填6【題目點(diǎn)撥】本題考查線性回歸直線，屬于基礎(chǔ)題，掌握線性回歸直線過(guò)中心點(diǎn)是解題的關(guān)鍵。16、6【解題分析】因，故，即，則，又隨機(jī)變量，所以，，應(yīng)填答案。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)證明；（2）【解題分析】

（1）先由平面得到面PDC平面，可得平面，則有，再利用勾股數(shù)及等腰三角形可得，可證得平面，即證得結(jié)論.（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角P﹣AE﹣D的余弦值．【題目詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，，則.由題知平面，面PDC，所以面PDC平面，又底面為矩形，故平面，所以，在中，，，則.因?yàn)?，所以，，即△CDP為等腰三角形，又F為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所以平面，即平?（2）以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.由題知，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，得.因?yàn)槠矫?，所以為平面的一個(gè)法向量，所以，由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線面垂直、面面垂直的證明，考查了利用空間向量法求解二面角的余弦值的方法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．18、（1）單減區(qū)間為，單增區(qū)間（2）【解題分析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間；（2）由（1）可得的最小值，作為的函數(shù)，對(duì)求導(dǎo)，同樣利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系確實(shí)單調(diào)性后得最大值，只是確定的零點(diǎn)時(shí)，要先確定的單調(diào)性，然后才能說(shuō)明零點(diǎn)的唯一性．【題目詳解】（1），單減區(qū)間為，單增區(qū)間．（2）由（1），容易得到在上單調(diào)遞減，時(shí)，，時(shí)，，所以在單增，單減，【題目點(diǎn)撥】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，一般由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間．要注意有時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)不易確定，可能還要對(duì)求導(dǎo)，以確定的單調(diào)性及零點(diǎn)有存在性．19、（1），0；（2），；（3）.【解題分析】

（1）根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式直接得二項(xiàng)式系數(shù)之和為，利用賦值法求二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)之和；（2）根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式得系數(shù)，再列方程組解得系數(shù)最大的項(xiàng)；（3）先根據(jù)二項(xiàng)式定理將展開(kāi)成整數(shù)與小數(shù)，再根據(jù)奇偶性分類討論元素個(gè)數(shù)，最后根據(jù)符號(hào)數(shù)列合并通項(xiàng).【題目詳解】（1）二項(xiàng)展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，令得二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)之和為；（2）設(shè)二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)最大的項(xiàng)數(shù)為則因此二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)最大的項(xiàng)為，（3）所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，集合的元素個(gè)數(shù)為當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，集合的元素個(gè)數(shù)為綜上，元素個(gè)數(shù)為【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)之和、二項(xiàng)式展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和、二項(xiàng)式展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)以及利用二項(xiàng)式展開(kāi)式計(jì)數(shù)，考查綜合分析求解與應(yīng)用能力，屬較難題.20、（1）（2）見(jiàn)解析.【解題分析】（1）設(shè)橢圓方程為則∴橢圓方程∵直線l平行于OM，且在軸上的截距為m又∴l(xiāng)的方程為：由∵直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，∴m的取值范圍是（2