2024屆江蘇省馬壩中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末檢測模擬試題含解析

2024屆江蘇省馬壩中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末檢測模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則下列結(jié)論中（）①數(shù)列是等差數(shù)列；②；③A．僅有①②正確 B．僅有①③正確 C．僅有②③正確 D．①②③均正確2．把語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)這五門課程安排在一天的五節(jié)課中，如果數(shù)學(xué)必須比語文先上，則不同的排法有多少種（）A．24 B．60 C．72 D．1203．凸10邊形內(nèi)對(duì)角線最多有()個(gè)交點(diǎn)A． B． C． D．4．已知四個(gè)命題：①如果向量與共線，則或；②是的充分不必要條件；③命題：，的否定是：，；④“指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，而是指數(shù)函數(shù)，所以是增函數(shù)”此三段論大前提錯(cuò)誤，但推理形式是正確的.以上命題正確的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．35．設(shè)有一個(gè)回歸方程為y=2-2.5x,則變量x增加一個(gè)單位時(shí)（）A．y平均增加2.5個(gè)單位 B．y平均增加2個(gè)單位C．y平均減少2.5個(gè)單位 D．y平均減少2個(gè)單位6．（2018年天津市河西區(qū)高三三模）已知雙曲線：的虛軸長為，右頂點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．7．某市踐行“干部村村行”活動(dòng)，現(xiàn)有3名干部甲、乙、丙可供選派，下鄉(xiāng)到5個(gè)村蹲點(diǎn)指導(dǎo)工作，每個(gè)村至少有1名干部，每個(gè)干部至多住3個(gè)村，則干部甲住3個(gè)村的概率為()A． B． C． D．8．設(shè)則（）A．都大于2 B．至少有一個(gè)大于2C．至少有一個(gè)不小于2 D．至少有一個(gè)不大于29．在某項(xiàng)測量中測量結(jié)果，若X在內(nèi)取值的概率為0.3，則X在內(nèi)取值的概率為（）A．0.2 B．0.4 C．0.8 D．0.910．已知命題對(duì)，，成立，則在上為增函數(shù)；命題，，則下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．11．由直線，曲線以及軸所圍成的封閉圖形的面積是（）A． B． C． D．12．設(shè),，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某同學(xué)同時(shí)擲兩顆骰子，得到點(diǎn)數(shù)分別為a，b，則雙曲線的離心率的概率是______．14．如圖，在中，，，是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為____________.15．已知函數(shù)則的最大值是______．16．隨機(jī)變量的取值為0,1,2，若，，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某高中高二年級(jí)1班和2班的學(xué)生組隊(duì)參加數(shù)學(xué)競賽，1班推薦了2名男生1名女生，2班推薦了3名男生2名女生.由于他們的水平相當(dāng)，最終從中隨機(jī)抽取4名學(xué)生組成代表隊(duì).（Ⅰ）求1班至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；（Ⅱ）設(shè)表示代表隊(duì)中男生的人數(shù)，求的分布列和期望.18．（12分）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)任意實(shí)數(shù)恒有（且）成立.（1）求函數(shù)的解析式；（2）討論在上的單調(diào)性，并用定義加以證明.19．（12分）已知函數(shù)，．（）當(dāng)時(shí)，證明：為偶函數(shù)；（）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍，使在上恒成立．20．（12分）如圖，在矩形中，，，是的中點(diǎn)，以為折痕將向上折起，變?yōu)椋移矫嫫矫妫?）求證：；（2）求二面角的大小．21．（12分）已知命題函數(shù)是上的奇函數(shù)，命題函數(shù)的定義域和值域都是，其中.（1）若命題為真命題，求實(shí)數(shù)的值；（2）若“且”為假命題，“或”為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）證明：；（Ⅲ）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由條件求得，可判斷①，由①得，可判斷②；由判斷③，可知①②③均正確，可選出結(jié)果．【題目詳解】①由條件知，對(duì)任意正整數(shù)n，有1＝an（2Sn﹣an）＝（Sn﹣Sn﹣1）（Sn+Sn﹣1），又所以{}是等差數(shù)列．②由①知或顯然，當(dāng)．，<0顯然成立，故②正確③僅需考慮an，an+1同號(hào)的情況，不失一般性，可設(shè)an，an+1均為正（否則將數(shù)列各項(xiàng)同時(shí)變?yōu)橄喾磾?shù)，仍滿足條件），由②故有，，此時(shí)，，從而（）1．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列遞推式，不等式的證明，屬于一般綜合題．2、B【解題分析】

由題意,先從五節(jié)課中任選兩節(jié)排數(shù)學(xué)與語文,剩余的三節(jié)任意排列,則有種不同的排法.本題選擇B選項(xiàng).3、D【解題分析】

根據(jù)凸邊形內(nèi)對(duì)角線最多有個(gè)交點(diǎn)的公式求得.【題目詳解】凸邊形內(nèi)對(duì)角線最多有個(gè)交點(diǎn)，又，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查凸邊形內(nèi)對(duì)角線最多有個(gè)交點(diǎn)的公式，屬于中檔題.4、B【解題分析】

由向量共線定理可判斷①；由充分必要條件的定義可判斷②；由特稱命題的否定為全稱命題，可判斷③；由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷④．【題目詳解】①，如果向量與共線，可得xy，不一定或，故①錯(cuò)誤；②，|x|≤3?﹣3≤x≤3，x≤3不能推得|x|≤3，但|x|≤3能推得x≤3，x≤3是|x|≤3的必要不充分條件，故②錯(cuò)誤；③，命題p：?x0∈（0，2），的否定是￢p：?x∈（0，2），x2﹣2x﹣3≥0，故③錯(cuò)誤；④，“指數(shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù)，而是指數(shù)函數(shù)，所以是增函數(shù)”由于a＞1時(shí)，y＝ax為增函數(shù)，0＜a＜1時(shí)，y＝ax為減函數(shù)，此三段論大前提錯(cuò)誤，但推理形式是正確的，故④正確．其中正確個(gè)數(shù)為1．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查命題的真假判斷，主要是向量共線定理和充分必要條件的判斷、命題的否定和三段論，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解題分析】試題分析：根據(jù)題意，對(duì)于回歸方程為，當(dāng)增加一個(gè)單位時(shí)，則的平均變化為，故可知平均減少個(gè)單位，故選C.考點(diǎn)：線性回歸方程的應(yīng)用.6、A【解題分析】分析：由虛軸長為可得，由到漸近線的距離為可解得，從而可得結(jié)果.詳解：由虛軸長為可得，右頂點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線距離為，，解得，則雙曲線的方程為，故選A.點(diǎn)睛：用待定系數(shù)法求雙曲線方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，還是在軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.7、A【解題分析】

先利用排列組合思想求出甲干部住個(gè)村的排法種數(shù)以及將三名可供選派的干部下鄉(xiāng)到個(gè)村蹲點(diǎn)的排法種數(shù)，最后利用古典概型的概率公式求出所求事件的概率。【題目詳解】三名干部全部選派下鄉(xiāng)到個(gè)村蹲點(diǎn)，三名干部所住的村的數(shù)目可以分別是、、或、、，排法種數(shù)為，甲住個(gè)村，則乙、丙各住一個(gè)村，排法種數(shù)為，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率為，故選：A?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查排列組合應(yīng)用問題以及古典概型概率的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵在于將所有的基本事件數(shù)利用排列組合思想求出來，合理利用分類計(jì)數(shù)和分步計(jì)算原理，考查分析問題和運(yùn)算求解能力，屬于中等題。8、C【解題分析】

由基本不等式，a，b都是正數(shù)可解得．【題目詳解】由題a，b，c都是正數(shù)，根據(jù)基本不等式可得，若，，都小于2，則與不等式矛盾，因此，至少有一個(gè)不小于2；當(dāng)，，都等于2時(shí)，選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤，都等于3時(shí)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了基本不等式，此類題干中有多個(gè)互為倒數(shù)的項(xiàng)，一般都可以先用不等式求式子范圍，再根據(jù)題目要求解題．9、C【解題分析】

由題意結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性求解ξ在(0,+∞)內(nèi)取值概率即可.【題目詳解】由正態(tài)分布的性質(zhì)可知正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則,,，即ξ在(0,+∞)內(nèi)取值概率為0.8.本題選擇C選項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】關(guān)于正態(tài)曲線在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1.10、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)分別判斷命題的真假再判斷各選項(xiàng)的真假即可.【題目詳解】命題當(dāng)時(shí),因?yàn)楣?；?dāng)時(shí),因?yàn)楣?；故隨的增大而增大.故命題為真.命題,因?yàn)?故命題為假命題.故為真命題.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了命題真假的判定與函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解題分析】

作出圖象，確定被積函數(shù)以及被積區(qū)間，再利用定積分公式可計(jì)算出所圍成封閉圖形的面積?！绢}目詳解】如下圖所示，聯(lián)立，得，則直線與曲線交于點(diǎn)，結(jié)合圖形可知，所求區(qū)域的面積為，故選：C?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查利用定積分求曲邊多邊形區(qū)域的面積，確定被積函數(shù)與被積區(qū)間是解這類問題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力與數(shù)形結(jié)合思想，屬于中等題。12、A【解題分析】

先研究函數(shù)單調(diào)性，再比較大小.【題目詳解】,令，則因此當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

基本事件總數(shù)，由雙曲線的離心率，得，利用列舉法求出雙曲線的離心率包含的基本事件有6個(gè)，由此能求出雙曲線的離心率的概率．【題目詳解】某同學(xué)同時(shí)擲兩顆骰子，得到點(diǎn)數(shù)分別為a，b，基本事件總數(shù)，雙曲線的離心率，，解得，雙曲線的離心率包含的基本事件有：，，，，(1，，，共6個(gè)，則雙曲線的離心率的概率是．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法、雙曲線性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．對(duì)于古典概型，要求事件總數(shù)是可數(shù)的，滿足條件的事件個(gè)數(shù)可數(shù)，使得滿足條件的事件個(gè)數(shù)除以總的事件個(gè)數(shù)即可.14、【解題分析】

設(shè)，，，在中，由正弦定理，得，，在中，，，其中，，從而，由最小值為的最小值為，故答案為.15、【解題分析】

分別在、和三種情況下求解在區(qū)間內(nèi)的最大值，綜合即可得到結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)：綜上所述：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)最值的求解，關(guān)鍵是能夠通過函數(shù)每一段區(qū)間上的解析式分別求解出在每一段區(qū)間上的最值.16、【解題分析】設(shè)時(shí)的概率為，則，解得，故考點(diǎn)：方差.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）（II）見解析【解題分析】

（Ⅰ）用1減去沒有1班同學(xué)入選的概率得到答案.（Ⅱ）的所有可能取值為1，2，3，4，分別計(jì)算對(duì)應(yīng)概率得到分布列，再計(jì)算期望.【題目詳解】（I）設(shè)1班至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)為事件則（II）的所有可能取值為1，2，3，4，，，.因此的分布列為1234.【題目點(diǎn)撥】本題考查了概率的計(jì)算，分布列和數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力和計(jì)算能力.18、（1）（2）當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)增函數(shù).【解題分析】試題分析：（1）①，用替換①式中的有：②，由①②消去即可得結(jié)果；（2）討論兩種情況，分別利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷其單調(diào)性，再利用定義意且，判定的符合，即可證明結(jié)論.試題解析：（1）∵對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有：①，用替換①式中的有：②，①×②—②得：，（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，函數(shù)也為單調(diào)減函數(shù)，∴在上為單調(diào)減函數(shù).當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，函數(shù)也為單調(diào)增函數(shù)，∴在上為單調(diào)增函數(shù).證明：設(shè)任意且，則，∵，，①當(dāng)時(shí)，則，∴∴在上是減函數(shù).②當(dāng)時(shí)，則，∴∴在上是增函數(shù).綜上：當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)增函數(shù).19、（）證明見解析；（）；（）.【解題分析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而，說明為偶函數(shù)；（2）在上任取、，且，則恒成立，等價(jià)于恒成立，可求得的取值范圍；（3）先證明不等式恒成立，等價(jià)于，即恒成立，利用配方法求得的最大值，即可得結(jié)果.試題解析：（）當(dāng)時(shí)，，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而，說明為偶函數(shù)．（）在上任取、，且，則，因?yàn)椋瘮?shù)為增函數(shù)，得，，而在上調(diào)遞增，得，，于是必須恒成立，即對(duì)任意的恒成立，∴．（）由（）、（）知函數(shù)在上遞減，在上遞增，其最小值，且，設(shè)，則，，于是不等式恒成立，等價(jià)于，即恒成立，而，僅當(dāng)，即時(shí)取最大值，故．20、（1）見證明；（2）90°【解題分析】

（1）利用垂直于所在的平面，從而證得；（2）找到三條兩兩互相垂直的直線，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，再分別求出兩個(gè)面的法向量，，最后求法向量的夾角的余弦值，進(jìn)而得到二面角的大小.【題目詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，∵，，，∴，，∴.（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，從而，，.設(shè)為平面的法向量，則令，所以，設(shè)為平面的法向量，則，令，所以，因此，，有，即，故二面角的大小為.【題目點(diǎn)撥】證明線線垂直的一般思路：證明一條直線垂直于另一條直線所在的平面，所以根據(jù)題目所給的圖形，觀察并確定哪一條線垂直于哪一條線所在的平面，是證明的關(guān)鍵.21、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)定義得f(－x)＋f(x)＝0，解得實(shí)數(shù)的值；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)一元二次方程有兩個(gè)大于1的不相等實(shí)根，利用實(shí)根分布解得k的取值范圍，由“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，得命題p和q中有且僅有一個(gè)為真命題，根據(jù)真假列方程組解得實(shí)數(shù)的取值范圍.詳解：（1）若命題p為真命題，則f(－x)＋f(x)＝0，即，化簡得對(duì)任意的x∈R成立，所以k＝1．