山西太原師范學院附中2024屆高二數(shù)學第二學期期末綜合測試試題含解析

山西太原師范學院附中2024屆高二數(shù)學第二學期期末綜合測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在一個袋子中裝有個除顏色外其他均相同的小球，其中有紅球個、白球個、黃球個，從袋中隨機摸出一個球，記下顏色后放回，連續(xù)摸次，則記下的顏色中有紅有黃但沒有白的概率為（）A． B． C． D．2．已知雙曲線的一個焦點為,一條漸近線的斜率為,則該雙曲線的方程為（）A． B． C． D．3．空間直角坐標系中，點關于點的對稱點的坐標是A．(－10,2,8) B．(－10,2,－8) C．(5,2,－8) D．(－10,3,－8)4．若，則，就稱A是伙伴關系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴關系的集合的個數(shù)為（）A．15 B．16 C． D．5．獨立性檢驗中，假設:運動員受傷與不做熱身運動沒有關系.在上述假設成立的情況下，計算得的觀測值.下列結論正確的是A．在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為運動員受傷與不做熱身運動有關B．在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為運動員受傷與不做熱身運動無關C．在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認為運動員受傷與不做熱身運動有關D．在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認為運動員受傷與不做熱身運動無關6．已知偶函數(shù)在單調(diào)遞減，則不等式的解集為（）A． B． C． D．7．若是第四象限角，，則（）A． B． C． D．8．設S為復數(shù)集C的非空子集，若對任意，都有，則稱S為封閉集．下列命題：①集合為整數(shù)，i為虛數(shù)單位）}為封閉集；②若S為封閉集，則一定有；③封閉集一定是無限集；④若S為封閉集，則滿足的任意集合T也是封閉集.其中真命題的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知二項式的展開式中二項式系數(shù)之和為64，則該展開式中常數(shù)項為A．－20 B．－15 C．15 D．2010．隨機變量的分布列如右表，若，則（）012A． B． C． D．11．在的展開式中，含項的系數(shù)為（）A．45 B．55 C．120 D．16512．對任意復數(shù)，為虛數(shù)單位，則下列結論中正確的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．定積分的值為_____．14．已知，其中為實數(shù)，為虛數(shù)單位，則___________.15．已知滿足約束條件則的最小值為______________.16．下列說法中錯誤的是__________（填序號）①命題“，有”的否定是“”，有”；②已知，，，則的最小值為；③設，命題“若，則”的否命題是真命題；④已知，，若命題為真命題，則的取值范圍是.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）甲乙兩人報名參加由某網(wǎng)絡科技公司舉辦的“技能闖關”雙人電子競技比賽，比賽規(guī)則如下：每一輪“闖關”結果都采取計分制，若在一輪闖關中，一人過關另一人未過關，過關者得1分，未過關得分；若兩人都過關或都未過關則兩人均得0分.甲、乙過關的概率分別為和，在一輪闖關中，甲的得分記為.（1）求的分布列；（2）為了增加趣味性，系統(tǒng)給每位報名者基礎分3分，并且規(guī)定出現(xiàn)一方比另一方多過關三輪者獲勝，此二人比賽結束.表示“甲的累積得分為時，最終認為甲獲勝”的概率，則，其中，，，令.證明：點的中點橫坐標為；（3）在第（2）問的條件下求，并嘗試解釋游戲規(guī)則的公平性.18．（12分）已知四棱錐的底面為菱形，且，，，與相交于點.（1）求證：底面；（2）求直線與平面所成的角的值；（3）求平面與平面所成二面角的值.（用反三角函數(shù)表示）19．（12分）已知等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，若，且，，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）記，數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，若對任意正整數(shù)，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．20．（12分）如圖,某軍艦艇位于島的的正西方處,且與島的相距12海里.經(jīng)過偵察發(fā)現(xiàn),國際海盜船以10海里/小時的速度從島嶼出發(fā)沿北偏東30°方向逃竄,同時,該軍艦艇從處出發(fā)沿北偏東的方向勻速追趕國際海盜船,恰好用2小時追上.（1）求該軍艦艇的速度.（2）求的值.21．（12分）已知函數(shù)．（1）若，證明：；（2）若只有一個極值點，求的取值范圍．22．（10分）已知函數(shù).（1）時，求在點處的函數(shù)切線方程；（2）時，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：由已知得取出的3球中有2紅1黃或2黃1紅，2紅1黃的情況有3種，2黃1紅的情況也有3種，由此能求出記下的顏色中有紅有黃但沒有白的概率.詳解：從袋中隨機摸出一個球，摸到紅球、白球、黃球的概率分別為，由已知得取出的3球中有2紅1黃或2黃1紅，2紅1黃的情況有3種，2黃1紅的情況也有3種，下的顏色中有紅有黃但沒有白的概率為.故選：C.點睛：本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率計算公式的合理運用.2、C【解題分析】

根據(jù)雙曲線一個焦點可以求出,再根據(jù)一條漸近線的斜率為,可求出的關系,最后聯(lián)立,解方程求出,求出方程即可.【題目詳解】因為雙曲線一個焦點的坐標為,所以,一條漸近線的斜率為,所以有,而,所以,因此有.故選：C【題目點撥】本題考查了求雙曲線方程,考查了雙曲線的漸近線方程,考查了數(shù)學運算能力.3、B【解題分析】

直接利用中點坐標公式求解即可.【題目詳解】設點關于點的對稱點的坐標是,根據(jù)中點坐標公式可得，解得，所以點關于點的對稱點的坐標是(－10,2,－8)，故選B.【題目點撥】本題主要考查中點坐標公式的應用，意在考查對基本公式的掌握與應用，屬于基礎題.4、A【解題分析】

首先確定具有伙伴集合的元素有，“和”，“和”等四種可能，它們組成的非空子集的個數(shù)為即為所求.【題目詳解】根據(jù)伙伴關系集合的概念可知：－1和1本身也具備這種運算，這樣所求集合即由－1,1,3和，2和這“四大”元素所組成的集合的非空子集．所以滿足條件的集合的個數(shù)為24－1＝15.故選A.【題目點撥】本小題主要考查新定義概念的理解，考查集合子集的個數(shù)以及非空子集的個數(shù)，屬于基礎題.5、A【解題分析】

先找到的臨界值，根據(jù)臨界值表找到犯錯誤的概率，即對“運動員受傷與不做熱身運動沒有關系”可下結論。【題目詳解】，因此，在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為運動員受傷與不做熱身運動有關，故選：A?！绢}目點撥】本題考查獨立性檢驗，根據(jù)臨界值表找出犯錯誤的概率是解這類問題的關鍵，考查運算求解能力，屬于基礎題。6、B【解題分析】

因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，那么不等式轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性，解不等式.【題目詳解】函數(shù)是偶函數(shù)，在單調(diào)遞減，，即.故選B.【題目點撥】本題考查了偶函數(shù)利用單調(diào)性解抽象不等式，關鍵是利用公式轉(zhuǎn)化不等式，利用的單調(diào)性解抽象不等式，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.7、C【解題分析】

確定角所處的象限，并求出的值，利用誘導公式求出的值．【題目詳解】是第四象限角，則，，且，所以，是第四象限角，則，因此，，故選C．【題目點撥】本題考查三角求值，考查同角三角函數(shù)基本關系、誘導公式的應用，再利用同角三角函數(shù)基本關系求值時，要確定對象角的象限，于此確定所求角的三角函數(shù)值符號，結合相關公式求解，考查計算能力，屬于中等題．8、B【解題分析】

由題意直接驗證①的正誤；令x＝y(tǒng)可推出②是正確的；舉反例集合S＝{0}判斷③錯誤；S＝{0}，T＝{0，1}，推出﹣1不屬于T，判斷④錯誤．【題目詳解】解：由a，b，c，d為整數(shù)，可得（a+bi）+（c+di）＝（a+c）+（b+d）i∈S；（a+bi）﹣（c+di）＝（a﹣c）+（b﹣d）i∈S；（a+bi）（c+di）＝（ac﹣bd）+（bc+ad）i∈S；集合S＝{a+bi|（a，b為整數(shù)，i為虛數(shù)單位）}為封閉集，①正確；當S為封閉集時，因為x﹣y∈S，取x＝y(tǒng)，得0∈S，②正確；對于集合S＝{0}，顯然滿足所有條件，但S是有限集，③錯誤；取S＝{0}，T＝{0，1}，滿足S?T?C，但由于0﹣1＝﹣1不屬于T，故T不是封閉集，④錯誤．故正確的命題是①②，故選B．【題目點撥】本題是新定義題，考查對封閉集概念的深刻理解，對邏輯思維能力的要求較高.9、C【解題分析】

利用二項式系數(shù)之和為64解得，再利用二項式定理得到常數(shù)項.【題目詳解】二項式的展開式中二項式系數(shù)之和為64當時，系數(shù)為15故答案選C【題目點撥】本題考查了二項式定理，先計算出是解題的關鍵，意在考查學生的計算能力.10、B【解題分析】分析：根據(jù)題目條件中給出的分布列，可以知道和之間的關系，根據(jù)期望為，又可以得到一組關系，這樣得到方程組，解方程組得到的值.進而求得.詳解：根據(jù)題意，解得則故選B.點睛：本題考查期望、方差和分布列中各個概率之間的關系，屬基礎題.11、D【解題分析】分析：由題意可得展開式中含項的系數(shù)為，再利用二項式系數(shù)的性質(zhì)化為，從而得到答案．詳解：的展開式中含項的系數(shù)為故選D.點睛：本題主要考查二項式定理的應用，求展開式中某項的系數(shù)，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．12、B【解題分析】分析：由題可知，然后根據(jù)復數(shù)的運算性質(zhì)及基本概念逐一核對四個選項得到正確答案.詳解：已知則選項A，，錯誤.選項B，，正確.選項C，，錯誤.選項D，，不恒成立，錯誤.故選B.點睛：本題考查了復數(shù)的運算法則、共軛復數(shù)的定義、復數(shù)模的計算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】14、【解題分析】

將左邊的復數(shù)利用乘法法則表示為一般形式，然后利用復數(shù)相等，得出虛部相等，求出的值．【題目詳解】，所以，故答案為．【題目點撥】本題考查復數(shù)相等條件的應用，在處理復數(shù)相等時，將其轉(zhuǎn)化為“實部與實部相等，虛部與虛部相等”這一條件，考查對復數(shù)概念的理解，屬于基礎題．15、8【解題分析】

由題意畫出可行域，利用圖像求出最優(yōu)解，再將最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)即可求出的最小值.【題目詳解】由題意畫出約束條件的可行域如圖所示，由圖像知，當過點時，取得最小值，聯(lián)立，解得，代入目標函數(shù)，.故答案為：8【題目點撥】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查學生數(shù)形結合的思想，屬于基礎題.16、①④【解題分析】①命題“，有”的否定是“?x1，x2∈M，x1≠x2，有[f（x1）﹣f（x2）]（x2﹣x1）≤0”，故不正確；②已知a＞0，b＞0，a+b=1，則=（）（a+b）=5+≥5+2即的最小值為，正確；③設x，y∈R，命題“若xy=0，則x2+y2=0”的否命題是“若xy≠0，則x2+y2≠0”，是真命題，正確；④已知p：x2+2x﹣3＞0，q：＞1，若命題（￢q）∧p為真命題，則￢q與p為真命題，即，則x的取值范圍是（﹣∞，﹣3）∪（1，2]∪[3，+∞），故不正確．故答案為①④．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）分布列見解析；（2）見解析；（3），試解釋游戲規(guī)則的公平性見解析【解題分析】

（1）由題意得：，分別求出相應的概率，由此能求出的分布列.（2）由題意得，，，推導出，根據(jù)中點公式能證明點的中點橫坐標為；（3）由，求出，從而，，由此推導出甲獲勝的概率非常小，說明這種游戲規(guī)則是公平的.【題目詳解】（1），，，的分布列為：01（2）由題意得：，，.于是，有，整理可得：，根據(jù)中點公式有：，命題得證.（3）由（2）可知，于是又，所以，，.表示最終認為甲獲勝概率，由計算結果可以看出，在甲過關的概率為0.5，乙過關的概率為0.6時，認為甲獲勝的概率為，此時得出甲獲勝的概率非常小，說明這種游戲規(guī)則是公平的.【題目點撥】本題考查了離散型隨機變量的分布列，用概率說明游戲的公平性，考查了學生分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題.18、（1）見解析；（2）；（3）【解題分析】

（1）由已知中四棱錐P?ABCD的底面ABCD為菱形，且∠ABC＝60°，PB＝PD＝AB＝2，PA＝PC，AC與BD相交于點O，根據(jù)平行四邊形兩條對角線互相平分及等腰三角形三線合一，結合線面垂直的判定定理，我們易得到結論；

（2）以O為坐標原點，建立坐標系，分別求出各頂點坐標，進而求出直線

PB的方向向量與平面PCD的法向量，代入線面夾角的向量法公式，即可求出答案；（3）求出平面的法向量，代入面面夾角的向量法公式，即可求出答案.【題目詳解】（1）證明：因為ABCD為菱形，

所以O為AC，BD的中點

因為PB＝PD，PA＝PC，

所以PO⊥BD，PO⊥AC

所以PO⊥底面ABCD；

（2）解：因為ABCD為菱形，所以AC⊥BD，

建立如圖所示空間直角坐標系

又∠ABC＝60°，PA＝AB＝2

得，

所以則，

設平面PCD的法向量

有，所以，令

得，

，

直線與平面所成的角的值為；（3）設平面的法向量,因為

有，所以，令

得，，

由圖知，平面與平面所成二面角為鈍角，.【題目點撥】本題考查的知識點是用空間向量求直線與平面的夾角，直線與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，其中選擇合適的點及坐標軸方向，建立空間坐標系，將問題轉(zhuǎn)化為一個向量問題是解答此類問題的關鍵.19、（1），（2）【解題分析】

（1）分別根據(jù)，和成等差數(shù)列，分別表示為和的方程組，求出首項，即得通項公式；（2）根據(jù)（1）的結果可求得，并且求出,利用裂項相消法求和，轉(zhuǎn)化為，恒成立，轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的最值.【題目詳解】解：（1）因為，，成等差數(shù)列，所以①，又因為，，成等差數(shù)列，所以，得②，由①②得，．所以，.（2），...令，則，則，所以，當時，，當時，所以的最小值為.又恒成立，所以，．【題目點撥】本題考查了數(shù)列通項的求法，和求數(shù)列的前項和的方法，以及和函數(shù)結合考查數(shù)列的最值，尤其在考查數(shù)列最值時，需先判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷的正負，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最值.20、（1）14海里/小時；（2）.【解題分析】分析：（1）由題設可以得到的長，在中利用余弦定理可以得到的長，從而得到艦艇的速度；（2）在中利用正弦定理可得的值.詳解：(1)依題意知，，，在中，由余弦定理得，解得，所以該軍艦艇的速度為海里/小時．(2)在中，由正弦定理，得，即．點睛：與解三角形相關的實際問題中，我們常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它們的差別.另外，把實際問題抽象為解三角形問題時，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，這樣才能確定用什么定理去解決.21、（1）詳見解析；（2）.【解題分析】

（1）將代入，可得等價于，即，令，求出，可得的最小值，可得證；（2）分，三種情況討論，分別對求導，其中又分①若②③三種情況，利用