湖南省瀏陽一中、株洲二中等湘東七校2024屆數(shù)學高二第二學期期末綜合測試模擬試題含解析

湖南省瀏陽一中、株洲二中等湘東七校2024屆數(shù)學高二第二學期期末綜合測試模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若角A，C，B成等差數(shù)列，且，則的形狀為（）A．直角三角形 B．等腰非等邊三角形C．等邊三角形 D．鈍角三角形2．某個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的表面積(結果保留π)為A． B．C． D．3．已知函數(shù)為偶函數(shù)，記，，，則的大小關系為()A． B． C． D．4．甲、乙兩人進行乒乓球比賽，假設每局比賽甲勝的概率是0.6，乙勝的概率是0.4.那么采用5局3勝制還是7局4勝制對乙更有利？（）A．5局3勝制 B．7局4勝制 C．都一樣 D．說不清楚5．當輸入a的值為，b的值為時，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的結果是()A． B． C． D．6．設F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A． B．C．2 D．7．已知袋中裝有除顏色外完全相同的5個球，其中紅球2個，白球3個，現(xiàn)從中任取1球，記下顏色后放回，連續(xù)摸取3次，設ξ為取得紅球的次數(shù)，則PA．425 B．36125 C．98．從班委會5名成員中選出3名，分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文娛委員，則不同的選法共有()種.A．36 B．30 C．12 D．69．將兩顆骰子各擲一次，設事件A為“兩顆骰子向上點數(shù)不同”，事件B為“至少有一顆骰上點數(shù)為3點”則（）A． B． C． D．10．已知三棱錐的每個頂點都在球的球面上，平面，，，，則球的體積為（）A． B． C． D．11．已知，∈C．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件12．某單位為了了解用電量(度)與氣溫()之間的關系，隨機統(tǒng)計了某4天的用電量與當天氣溫，并制作了對照表：氣溫()101318－1用電量(度)38342464由表中數(shù)據(jù)得回歸直線方程中的，預測當氣溫為時，用電量度數(shù)約為（）A．64 B．65 C．68 D．70二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在正方體中，與所成角的大小為________.14．平面上兩組平行線互相垂直，一組由條平行線組成，一組由條平行線組成，則它們能圍成的矩形個數(shù)是___________15．在的二項展開式中，項的系數(shù)為_____（結果用數(shù)值表示）．16．正方體中，、分別是、的中點，則直線與平面所成角的正弦值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若不等式的解集包含，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）如圖，在中，，D是AE的中點，C是線段BE上的一點，且，，將沿AB折起使得二面角是直二面角．（l）求證：CD平面PAB；（2）求直線PE與平面PCD所成角的正切值．19．（12分）已知函數(shù)有兩個零點，.（Ⅰ）求的取值范圍；（Ⅱ）證明：.20．（12分）在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)，m為常數(shù)）．以原點O為極點，以x軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為ρcos(θ－)=．若直線l與圓C有兩個公共點，求實數(shù)m的取值范圍．21．（12分）已知點，經矩陣對應的變換作用下，變?yōu)辄c.（1）求的值；（2）直線在對應的變換作用下變?yōu)橹本€，求直線的方程.22．（10分）如圖，直三棱柱中，，，，為的中點，點為線段上的一點.（1）若，求證：；（2）若，異面直線與所成的角為，求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

由已知利用等差數(shù)列的性質可得，由正弦定理可得，根據(jù)余弦定理可求，即可判斷三角形的形狀．【題目詳解】解：由題意可知，，因為，所以，則，所以，所以，故為等邊三角形．故選：．【題目點撥】本題主要考查了等差數(shù)列的性質，正弦定理，余弦定理在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．2、C【解題分析】分析：上面為球的二分之一，下面為長方體．面積為長方體的表面積與半球的面積之和減去半球下底面面積.詳解：球的半徑為1，故半球的表面積的公式為，半球下底面表面積為長方體的表面積為24，所以幾何體的表面積為．點睛：組合體的表面積，要弄懂組合體的結構，哪些被遮擋，哪些是切口．3、C【解題分析】試題分析：因為為偶函數(shù)，所以，在上單調遞增，并且，因為，，故選C．考點：函數(shù)的單調性【思路點睛】本題考察的是比較大小相關知識點，一般比較大小我們可以采用作差法、作商法、單調性法和中間量法，本題的題設中有解析式且告訴我們?yōu)榕己瘮?shù)，即可求出參數(shù)的值，所以我們采用單調性法，經觀察即可得到函數(shù)的單調性，然后根據(jù)可以通過函數(shù)的奇偶性轉化到同一側，進而判斷出幾個的大小，然后利用函數(shù)的單調性即可判斷出所給幾個值的大?。?、A【解題分析】

分別計算出乙在5局3勝制和7局4勝制情形下對應的概率，然后進行比較即可得出答案.【題目詳解】當采用5局3勝制時，乙可以3:0，3:1，3:2戰(zhàn)勝甲，故乙獲勝的概率為：;當采用7局4勝制時，乙可以4:0，4:1，4:2，4:3戰(zhàn)勝甲，故乙獲勝的概率為：，顯然采用5局3勝制對乙更有利，故選A.【題目點撥】本題主要考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率，意在考查學生的計算能力和分析能力，難度中等.5、C【解題分析】

模擬程序的運行，根據(jù)程序流程，依次判斷寫出a，b的值，可得當a=b=4時，不滿足條件a≠b，輸出a的值為4，即可得解．【題目詳解】模擬程序的運行，可得a=16，b=12滿足條件a≠b，滿足條件a>b，a=16?12=4，滿足條件a≠b，不滿足條件a>b，b=12?4=8，滿足條件a≠b，不滿足條件a>b，b=4?4=4，不滿足條件a≠b，輸出a的值為4.故選：C.【題目點撥】本題主要考查程序框圖的循環(huán)結構流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問題時一定注意以下幾點：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結構還是循環(huán)結構；(3)注意區(qū)分當型循環(huán)結構和直到型循環(huán)結構；(4)處理循環(huán)結構的問題時一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5)要注意各個框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可.6、A【解題分析】

準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關系，可求雙曲線的離心率．【題目詳解】設與軸交于點，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心．，又點在圓上，，即．，故選A．【題目點撥】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來．7、B【解題分析】

先根據(jù)題意得出隨機變量ξ~B3,25【題目詳解】由題意知，ξ~B3,15故選：B?！绢}目點撥】本題考查二項分布概率的計算，關鍵是要弄清楚隨機變量所服從的分布，同時也要理解獨立重復試驗概率的計算公式，著重考查了推理與運算能力，屬于中等題。8、A【解題分析】從班委會5名成員中選出3名，分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文娛委員，因為先從其余3人中選出1人擔任文藝委員，再從4人中選2人擔任學習委員和體育委員，所以不同的選法共有種.本題選擇A選項.9、D【解題分析】

用組合數(shù)公式計算事件A和事件AB包含的基本事件個數(shù)，代入條件概率公式計算．【題目詳解】解：兩顆骰子各擲一次包含的基本事件的個數(shù)是1．事件A包含的基本事件個數(shù)有，則．事件AB包含的基本事件個數(shù)為10，則．所以在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率為：，故選：D．【題目點撥】本題考查條件概率，屬于基礎題．10、B【解題分析】

根據(jù)所給關系可證明，即可將三棱錐可補形成長方體，即可求得長方體的外接球半徑，即為三棱錐的外接球半徑，即可得球的體積.【題目詳解】因為平面BCD，所以，又AB=4，，所以，又，所以，則．由此可得三棱錐可補形成長方體如下圖所示：設長方體的外接球半徑為，則，所以球的體積為，故選:B.【題目點撥】本題考查了三棱錐外接球體積的求法，將三棱錐補全為棱柱是常用方法，屬于中檔題.11、A【解題分析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義分析可得答案.【題目詳解】顯然“”是“”的充分條件，當時，滿足，但是不滿足，所以“”不是“”的必要條件，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A【題目點撥】本題考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎題.12、C【解題分析】

先求解出氣溫和用電量的平均數(shù)，然后將樣本點中心代入回歸直線方程，求解出的值，即可預測氣溫為時的用電量.【題目詳解】因為，所以樣本點中心，所以，所以，所以回歸直線方程為：，當時，.故選：C.【題目點撥】本題考查回歸直線方程的求解以及利用回歸直線方程估計數(shù)值，難度較易.注意回歸直線方程過樣本點的中心.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

記點正上方的頂點為，在正方體中，得到即是與所成的角，進而可得出結果.【題目詳解】如圖，記點正上方的頂點為，在正方體中，顯然，所以即是與所成的角，易得：故答案：【題目點撥】本題主要考查異面直線所成的角，在幾何體中作出異面直線所成的角，即可求解，屬于?？碱}型.14、【解題分析】

分析矩形的組成：兩個長，兩個寬，然后利用分步乘法計數(shù)原理與排列組合思想計算可圍成的矩形數(shù).【題目詳解】因為矩形由兩個長，兩個寬構成，第一步選長：從條直線中選條，共有種方法，第二步選寬：從條直線中選條，共有種方法，所以可圍成的矩形數(shù)為：.故答案為：.【題目點撥】本題考查分步乘法計數(shù)原理和排列組合的綜合應用，難度一般.對于計數(shù)問題，第一步可考慮是屬于分類還是分步問題，第二步可考慮選用排列或組合的思想解決問題.15、1【解題分析】

通過二項展開式的通項公式求出展開式的通項，利用的指數(shù)為2，求出展開式中的系數(shù)．【題目詳解】解：展開式的通項為．令得到展開式中的系數(shù)是．故答案為：1．【題目點撥】本題是基礎題，考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題．考查計算能力．16、.【解題分析】

設正方體的棱長為，以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，計算出平面的一個法向量，利用空間向量法計算出直線與平面所成角的正弦值.【題目詳解】設正方體的棱長為，以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立如下圖所示空間直角坐標系.則點、、、、、，設平面的一個法向量為，則，.由，即，得，令，則，.可知平面的一個法向量為，又.，因此，直線與平面所成角的正弦值為，故答案為.【題目點撥】本題考查直線與平面所成角的正弦的計算，解題的關鍵就是建立空間直角坐標系，將問題利用空間向量法進行求解，考查運算求解能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)或(2)【解題分析】

運用分類討論去絕對值，然后求出不等式結果由題意得，結合解集得出不等式組求出結果【題目詳解】（1）即①當時，原不等式化為，即，解得，∴；②當時，原不等式化為，即，解得，∴.③當時，原不等式化為，即，解得，∴∴不等式的解集為或.（2）不等式可化為問題轉化為在上恒成立，又，得∴，∴.【題目點撥】本題考查了含有絕對值問題的不等式，首先需要進行分類討論去掉絕對值，然后求出不等式結果，在第問中需要進行轉化，繼而只有一個絕對值問題求解。18、（1）證明見解析.（2）.【解題分析】分析：（1）推導出是的斜邊上的中線，從而是的中點，由此能證明平面；（2）三棱錐的體積為，由此能求出結果．詳解：（1）因為，所以，又，，所以，又因為，所以是的斜邊上的中線，所以是的中點，又因為是的中點．所以是的中位線，所以，又因為平面，平面，所以平面．（2）據(jù)題設分析知，，，兩兩互相垂直，以為原點，，，分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系：因為，且，分別是，的中點，所以，，所以，，，，所以，，，設平面的一個法向量為，則，即，所以，令，則，設直線與平面所成角的大小為，則．故直線與平面所成角的正切值為．點睛：本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和二面角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關系的相互轉化，通過嚴密推理，明確角的構成.同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.19、（Ⅰ）（Ⅱ）見解析【解題分析】分析：（1）先令，再求出，再研究函數(shù)的圖像得到a的取值范圍.(2)利用分析法證明不等式，再轉化為證明.詳解：（Ⅰ）由題意，設，則，當時，函數(shù)單調遞減，又，故在區(qū)間上，在區(qū)間上.所以在區(qū)間上函數(shù)單調遞增，在區(qū)間上函數(shù)單調遞減.故.又，當時，，所以.（Ⅱ）不妨設，由（Ⅰ）可知.設函數(shù)，要證，只需證即可.又，故，由（Ⅰ）可知函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，故只需證明，又，即.設，，又，.所以在區(qū)間上單調遞減，，所以成立，故.點睛：（1）本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)圖像和性質，考查利用導數(shù)證明不等式和分析法證明不等式，意在考查學生對這些基礎知識的掌握水平和分析推理能力.(2)j解答本題的關鍵有三點，其一是轉化為，其二是轉化為，其三是證明在區(qū)間上單調遞減.20、．【解題分析】分析：先求圓心C到直線l的距離d＝，再解不等式即得m的范圍.詳解：圓C的普通方程為(x－m)2＋y2＝1．直線l的極坐標方程化為ρ(cosθ＋sinθ)＝，即x＋y＝，化簡得x＋y－2＝2．因為圓C的圓心為C(m，2)，半徑為2，圓心C到直線l的距離d＝，所以d＝＜2，解得2－2＜m＜2＋2．點睛：(1)本題主要考查參數(shù)方程、極坐標方程和普通方程的互化，考查直線和圓的位置關系，意在考查學生對這些基礎知識的掌握水平和基本的運算能力.(2)判斷直線與圓的位置關系常用的是幾何法，比較圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關系：①②③21、(1)；(2)【解題分析】

（1）根