湖南省瀏陽(yáng)一中、株洲二中等湘東七校2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

湖南省瀏陽(yáng)一中、株洲二中等湘東七校2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若角A，C，B成等差數(shù)列，且，則的形狀為（）A．直角三角形 B．等腰非等邊三角形C．等邊三角形 D．鈍角三角形2．某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的表面積(結(jié)果保留π)為A． B．C． D．3．已知函數(shù)為偶函數(shù)，記，，，則的大小關(guān)系為()A． B． C． D．4．甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，假設(shè)每局比賽甲勝的概率是0.6，乙勝的概率是0.4.那么采用5局3勝制還是7局4勝制對(duì)乙更有利？（）A．5局3勝制 B．7局4勝制 C．都一樣 D．說(shuō)不清楚5．當(dāng)輸入a的值為，b的值為時(shí)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的結(jié)果是()A． B． C． D．6．設(shè)F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點(diǎn)．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A． B．C．2 D．7．已知袋中裝有除顏色外完全相同的5個(gè)球，其中紅球2個(gè)，白球3個(gè)，現(xiàn)從中任取1球，記下顏色后放回，連續(xù)摸取3次，設(shè)ξ為取得紅球的次數(shù)，則PA．425 B．36125 C．98．從班委會(huì)5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，則不同的選法共有()種.A．36 B．30 C．12 D．69．將兩顆骰子各擲一次，設(shè)事件A為“兩顆骰子向上點(diǎn)數(shù)不同”，事件B為“至少有一顆骰上點(diǎn)數(shù)為3點(diǎn)”則（）A． B． C． D．10．已知三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，，，，則球的體積為（）A． B． C． D．11．已知，∈C．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件12．某單位為了了解用電量(度)與氣溫()之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表：氣溫()101318－1用電量(度)38342464由表中數(shù)據(jù)得回歸直線方程中的，預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為時(shí)，用電量度數(shù)約為（）A．64 B．65 C．68 D．70二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在正方體中，與所成角的大小為_(kāi)_______.14．平面上兩組平行線互相垂直，一組由條平行線組成，一組由條平行線組成，則它們能?chē)傻木匦蝹€(gè)數(shù)是___________15．在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)____（結(jié)果用數(shù)值表示）．16．正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若不等式的解集包含，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）如圖，在中，，D是AE的中點(diǎn)，C是線段BE上的一點(diǎn)，且，，將沿AB折起使得二面角是直二面角．（l）求證：CD平面PAB；（2）求直線PE與平面PCD所成角的正切值．19．（12分）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，.（Ⅰ）求的取值范圍；（Ⅱ）證明：.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)，m為常數(shù)）．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ－)=．若直線l與圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．21．（12分）已知點(diǎn)，經(jīng)矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下，變?yōu)辄c(diǎn).（1）求的值；（2）直線在對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€，求直線的方程.22．（10分）如圖，直三棱柱中，，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn).（1）若，求證：；（2）若，異面直線與所成的角為，求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

由已知利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得，由正弦定理可得，根據(jù)余弦定理可求，即可判斷三角形的形狀．【題目詳解】解：由題意可知，，因?yàn)?，所以，則，所以，所以，故為等邊三角形．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解題分析】分析：上面為球的二分之一，下面為長(zhǎng)方體．面積為長(zhǎng)方體的表面積與半球的面積之和減去半球下底面面積.詳解：球的半徑為1，故半球的表面積的公式為，半球下底面表面積為長(zhǎng)方體的表面積為24，所以幾何體的表面積為．點(diǎn)睛：組合體的表面積，要弄懂組合體的結(jié)構(gòu)，哪些被遮擋，哪些是切口．3、C【解題分析】試題分析：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，在上單調(diào)遞增，并且，因?yàn)椋?，故選C．考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性【思路點(diǎn)睛】本題考察的是比較大小相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，一般比較大小我們可以采用作差法、作商法、單調(diào)性法和中間量法，本題的題設(shè)中有解析式且告訴我們?yōu)榕己瘮?shù)，即可求出參數(shù)的值，所以我們采用單調(diào)性法，經(jīng)觀察即可得到函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)可以通過(guò)函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化到同一側(cè)，進(jìn)而判斷出幾個(gè)的大小，然后利用函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出所給幾個(gè)值的大小．4、A【解題分析】

分別計(jì)算出乙在5局3勝制和7局4勝制情形下對(duì)應(yīng)的概率，然后進(jìn)行比較即可得出答案.【題目詳解】當(dāng)采用5局3勝制時(shí)，乙可以3:0，3:1，3:2戰(zhàn)勝甲，故乙獲勝的概率為：;當(dāng)采用7局4勝制時(shí)，乙可以4:0，4:1，4:2，4:3戰(zhàn)勝甲，故乙獲勝的概率為：，顯然采用5局3勝制對(duì)乙更有利，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和分析能力，難度中等.5、C【解題分析】

模擬程序的運(yùn)行，根據(jù)程序流程，依次判斷寫(xiě)出a，b的值，可得當(dāng)a=b=4時(shí)，不滿足條件a≠b，輸出a的值為4，即可得解．【題目詳解】模擬程序的運(yùn)行，可得a=16，b=12滿足條件a≠b，滿足條件a>b，a=16?12=4，滿足條件a≠b，不滿足條件a>b，b=12?4=8，滿足條件a≠b，不滿足條件a>b，b=4?4=4，不滿足條件a≠b，輸出a的值為4.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問(wèn)題時(shí)一定注意以下幾點(diǎn)：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；(3)注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；(4)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問(wèn)題時(shí)一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5)要注意各個(gè)框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算，直到達(dá)到輸出條件即可.6、A【解題分析】

準(zhǔn)確畫(huà)圖，由圖形對(duì)稱(chēng)性得出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙曲線的離心率．【題目詳解】設(shè)與軸交于點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心．，又點(diǎn)在圓上，，即．，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時(shí)注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運(yùn)算繁瑣，準(zhǔn)確率大大降低，雙曲線離心率問(wèn)題是圓錐曲線中的重點(diǎn)問(wèn)題，需強(qiáng)化練習(xí)，才能在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)事半功倍，信手拈來(lái)．7、B【解題分析】

先根據(jù)題意得出隨機(jī)變量ξ~B3,25【題目詳解】由題意知，ξ~B3,15故選：B。【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)分布概率的計(jì)算，關(guān)鍵是要弄清楚隨機(jī)變量所服從的分布，同時(shí)也要理解獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率的計(jì)算公式，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中等題。8、A【解題分析】從班委會(huì)5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，因?yàn)橄葟钠溆?人中選出1人擔(dān)任文藝委員，再?gòu)?人中選2人擔(dān)任學(xué)習(xí)委員和體育委員，所以不同的選法共有種.本題選擇A選項(xiàng).9、D【解題分析】

用組合數(shù)公式計(jì)算事件A和事件AB包含的基本事件個(gè)數(shù)，代入條件概率公式計(jì)算．【題目詳解】解：兩顆骰子各擲一次包含的基本事件的個(gè)數(shù)是1．事件A包含的基本事件個(gè)數(shù)有，則．事件AB包含的基本事件個(gè)數(shù)為10，則．所以在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率為：，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查條件概率，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解題分析】

根據(jù)所給關(guān)系可證明，即可將三棱錐可補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，即可求得長(zhǎng)方體的外接球半徑，即為三棱錐的外接球半徑，即可得球的體積.【題目詳解】因?yàn)槠矫鍮CD，所以，又AB=4，，所以，又，所以，則．由此可得三棱錐可補(bǔ)形成長(zhǎng)方體如下圖所示：設(shè)長(zhǎng)方體的外接球半徑為，則，所以球的體積為，故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三棱錐外接球體積的求法，將三棱錐補(bǔ)全為棱柱是常用方法，屬于中檔題.11、A【解題分析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義分析可得答案.【題目詳解】顯然“”是“”的充分條件，當(dāng)時(shí)，滿足，但是不滿足，所以“”不是“”的必要條件，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解題分析】

先求解出氣溫和用電量的平均數(shù)，然后將樣本點(diǎn)中心代入回歸直線方程，求解出的值，即可預(yù)測(cè)氣溫為時(shí)的用電量.【題目詳解】因?yàn)?，所以樣本點(diǎn)中心，所以，所以，所以回歸直線方程為：，當(dāng)時(shí)，.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查回歸直線方程的求解以及利用回歸直線方程估計(jì)數(shù)值，難度較易.注意回歸直線方程過(guò)樣本點(diǎn)的中心.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

記點(diǎn)正上方的頂點(diǎn)為，在正方體中，得到即是與所成的角，進(jìn)而可得出結(jié)果.【題目詳解】如圖，記點(diǎn)正上方的頂點(diǎn)為，在正方體中，顯然，所以即是與所成的角，易得：故答案：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查異面直線所成的角，在幾何體中作出異面直線所成的角，即可求解，屬于?？碱}型.14、【解題分析】

分析矩形的組成：兩個(gè)長(zhǎng)，兩個(gè)寬，然后利用分步乘法計(jì)數(shù)原理與排列組合思想計(jì)算可圍成的矩形數(shù).【題目詳解】因?yàn)榫匦斡蓛蓚€(gè)長(zhǎng)，兩個(gè)寬構(gòu)成，第一步選長(zhǎng)：從條直線中選條，共有種方法，第二步選寬：從條直線中選條，共有種方法，所以可圍成的矩形數(shù)為：.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查分步乘法計(jì)數(shù)原理和排列組合的綜合應(yīng)用，難度一般.對(duì)于計(jì)數(shù)問(wèn)題，第一步可考慮是屬于分類(lèi)還是分步問(wèn)題，第二步可考慮選用排列或組合的思想解決問(wèn)題.15、1【解題分析】

通過(guò)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出展開(kāi)式的通項(xiàng)，利用的指數(shù)為2，求出展開(kāi)式中的系數(shù)．【題目詳解】解：展開(kāi)式的通項(xiàng)為．令得到展開(kāi)式中的系數(shù)是．故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題是基礎(chǔ)題，考查利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題．考查計(jì)算能力．16、.【解題分析】

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出平面的一個(gè)法向量，利用空間向量法計(jì)算出直線與平面所成角的正弦值.【題目詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系.則點(diǎn)、、、、、，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，.由，即，得，令，則，.可知平面的一個(gè)法向量為，又.，因此，直線與平面所成角的正弦值為，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與平面所成角的正弦的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是建立空間直角坐標(biāo)系，將問(wèn)題利用空間向量法進(jìn)行求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)或(2)【解題分析】

運(yùn)用分類(lèi)討論去絕對(duì)值，然后求出不等式結(jié)果由題意得，結(jié)合解集得出不等式組求出結(jié)果【題目詳解】（1）即①當(dāng)時(shí)，原不等式化為，即，解得，∴；②當(dāng)時(shí)，原不等式化為，即，解得，∴.③當(dāng)時(shí)，原不等式化為，即，解得，∴∴不等式的解集為或.（2）不等式可化為問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，又，得∴，∴.【題目點(diǎn)撥】本題考查了含有絕對(duì)值問(wèn)題的不等式，首先需要進(jìn)行分類(lèi)討論去掉絕對(duì)值，然后求出不等式結(jié)果，在第問(wèn)中需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化，繼而只有一個(gè)絕對(duì)值問(wèn)題求解。18、（1）證明見(jiàn)解析.（2）.【解題分析】分析：（1）推導(dǎo)出是的斜邊上的中線，從而是的中點(diǎn)，由此能證明平面；（2）三棱錐的體積為，由此能求出結(jié)果．詳解：（1）因?yàn)椋?，又，，所以，又因?yàn)?，所以是的斜邊上的中線，所以是的中點(diǎn)，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)．所以是的中位線，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）據(jù)題設(shè)分析知，，，兩兩互相垂直，以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：因?yàn)?，且，分別是，的中點(diǎn)，所以，，所以，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，所以，令，則，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則．故直線與平面所成角的正切值為．點(diǎn)睛：本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和二面角的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)成.同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法，通過(guò)求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.19、（Ⅰ）（Ⅱ）見(jiàn)解析【解題分析】分析：（1）先令，再求出，再研究函數(shù)的圖像得到a的取值范圍.(2)利用分析法證明不等式，再轉(zhuǎn)化為證明.詳解：（Ⅰ）由題意，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，又，故在區(qū)間上，在區(qū)間上.所以在區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增，在區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞減.故.又，當(dāng)時(shí)，，所以.（Ⅱ）不妨設(shè)，由（Ⅰ）可知.設(shè)函數(shù)，要證，只需證即可.又，故，由（Ⅰ）可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故只需證明，又，即.設(shè)，，又，.所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，，所以成立，故.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像和性質(zhì)，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式和分析法證明不等式，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)j解答本題的關(guān)鍵有三點(diǎn)，其一是轉(zhuǎn)化為，其二是轉(zhuǎn)化為，其三是證明在區(qū)間上單調(diào)遞減.20、．【解題分析】分析：先求圓心C到直線l的距離d＝，再解不等式即得m的范圍.詳解：圓C的普通方程為(x－m)2＋y2＝1．直線l的極坐標(biāo)方程化為ρ(cosθ＋sinθ)＝，即x＋y＝，化簡(jiǎn)得x＋y－2＝2．因?yàn)閳AC的圓心為C(m，2)，半徑為2，圓心C到直線l的距離d＝，所以d＝＜2，解得2－2＜m＜2＋2．點(diǎn)睛：(1)本題主要考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程的互化，考查直線和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平和基本的運(yùn)算能力.(2)判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的是幾何法，比較圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系：①②③21、(1)；(2)【解題分析】

（1）根