八年級數(shù)學上冊同步講義（人教版）專題15.1 分式（教師版）

專題15.1分式目標導航目標導航1、理解分式的概念，能求出使分式有意義、分式無意義、分式值為零（正、負、整數(shù)）的條件；2、了解分式的基本性質，掌握分式的約分和通分法則；3、理解最簡分式與最簡公分母的概念。知識精講知識精講知識點01分式及基本概念知識點1.分式的定義分式：一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么稱為分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母．注：=1\*GB3①分式可以理解為兩個整式相除的商，分母是除數(shù)，分子是被除數(shù)，分數(shù)線是除號。=2\*GB3②整式B作為分母，則整式B0.=3\*GB3③只要最終能轉化為形式即可.=4\*GB3④B中若無字母，則變成系數(shù)乘A，為整式.2.分式的相關概念1）分式有意義的條件：分母不為0，即B02）分式的值為0的條件：分子為0，且分母不為0，即A=0且B03）分式為正的條件：分子與分母的積為正，即AB>04）分式為負的條件：分子與分母的積為負，即AB<0【知識拓展1】分式的概念例1．（2022·山東·濟寧市第十五中學八年級階段練習）在式子、、、、、、中，分式的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根據(jù)分式的定義作答即可．【詳解】解：∵在式子、、、、、、中，分式有：、、、，∴分式有個．故選：A．【點睛】本題考查了分式的判斷，熟練掌握分式的定義是解本題的關鍵．判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．注意不是字母，是常數(shù)，所以分母中含的代數(shù)式不是分式，是整式．【即學即練】1．（2022·湖北·八年級期中）下列各式：，，，中，是分式的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)分式的定義，分母的整式中含有字母，判斷即可．【詳解】因為是分式，不是分式，是分式，不是分式，故有兩個，故選B．【點睛】本題考查了分式的定義即中，整式總含有字母，正確理解定義是解題的關鍵．【知識拓展2】分式有（無）意義的條件例2．（1）（2022·廣東·八年級階段練習）要使分式有意義，x的取值應滿足（）A．x≠2 B．x≠﹣3 C．x≠2且x≠﹣3 D．x≠2或x≠﹣3【答案】B【分析】根據(jù)分式有意義的條件解答即可．【詳解】解：由題意得：x+3≠0，解得：x≠-3，故B正確．故選：B．【點睛】本題考查分式有意義的條件，熟練掌握分式分式有意義的條件：分母不等于零是銀題的關鍵．（2）．（2021·湖北嘉魚·期末）當滿足條件________時，分式沒有意義．【答案】【分析】根據(jù)分式無意義的條件可直接進行求解．【解析】解：由分式沒有意義，可得：，解得：；故答案為．【點睛】本題主要考查分式無意義的條件，熟練掌握分式不成立的條件是解題的關鍵．【即學即練】2.（2022·浙江·八年級開學考試）當時，分式沒有意義，則b的值為（

）A． B． C． D．3【答案】B【分析】先將代入分式，再根據(jù)分母等于0時分式沒有意義即可得到答案．【詳解】解：當，，∵分式沒有意義，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查分式沒有意義的條件，熟知當分母為零時分式沒有意義是解題的關鍵．【知識拓展3】分式值為零例3．（2022·山東·濟寧市八年級階段練習）如果分式的值為0，那么x的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用分式值為零的條件得到且，求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：且，解得．故選：D．【點睛】本題考查了分式值為零的條件：分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．【即學即練】3.（2022·河北·八年級階段練習）若分式的值為零，則m＝（）A． B．5 C．±5 D．0【答案】B【分析】根據(jù)分式的值為零的條件：，可以求解之．【詳解】解：,,解得，．故選B．【點睛】本題考查的是分式的值為零的條件，掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零是解題的關鍵．【知識拓展4】分式值為正（負）例4．（2022·江蘇·八年級）若分式的值為正，則x的取值范圍是______．【答案】且【分析】根據(jù)分式的性質即可求出答案．【詳解】∵的值為正，又∵，∴且，且，故答案為：且．【點睛】本題考查分式的性質，解題的關鍵是熟練運用分式的性質，本題屬于基礎題型．【即學即練】4.（2022·江西宜春·八年級期中）若分式的值是負數(shù)，則x的取值范圍是（）A．x＞ B．x＞ C．x＜ D．x＜【答案】B【分析】根據(jù)題意列出不等式即可求出x的取值范圍．【詳解】解：由題意可知：2﹣3x＜0，且x2+1＞0恒成立，∴x＞，故選：B．【點睛】本題考查分式的值，當分子和分母同號時，分式值為正數(shù)，當分子和分母異號時，分式值為負數(shù)．知識點02分式的基本性質知識點1.分式的基本性質1）分數(shù)的性質（特點）如下：=1\*GB3①分母不能為零;=2\*GB3②分數(shù)分子分母同乘除不為零的數(shù)，分數(shù)的大小不變;=3\*GB3③分數(shù)的通分與約分（短除法）.2）分式是分數(shù)的拓展延伸，分式有與分數(shù)類似的性質（特點）：=1\*GB3①分式分母也不能為零=2\*GB3②分式分子分母同乘除一個不為零的整式，分式大小不變。即：用式子表示為或，其中A，B，C均為整式．=3\*GB3③分式的通分與約分在知識點4中詳細講解.2.分式的約分與通分1）分式的約分：與分數(shù)的約分類似，約去分式分子、分母中的公因式（最大公約數(shù)）.注：有時，分式分子、分母需進行一定的轉換才有公因式。2）最簡分式：分子、分母沒有公因式的分式叫做最簡分式．注：約分一般是將一個分式化為最簡分式，分式約分所得的結果有時可能成為整式．3）分式的通分：利用分式的性質，將分式的分母變成最小公倍數(shù)，分子根據(jù)分母擴大的倍數(shù)相應擴大，不改變分式的值。步驟：=1\*GB3①通過短除法，求出分式分母的最小公倍數(shù)；=2\*GB3②分母變?yōu)樽钚」稊?shù)的值，確定原式分母擴大的倍數(shù);=3\*GB3③分子對應擴大相同倍數(shù).4）最簡公分母：幾個分式通分時，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡公分母．【知識拓展1】分式基本性質的運用例1．（2022·江蘇泰州·八年級階段練習）下列變形中，正確的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)分式的性質，對選項逐個判斷即可．【詳解】解：A、，選項正確，符合題意；B、，選項錯誤，不符合題意；C、，選項錯誤，不符合題意；D、當時，等號右邊的式子沒有意義，選項錯誤，不符合題意；故選：A【點睛】此題考查了分式的性質，涉及了平方差公式，解題的關鍵是熟練掌握分式的有關性質．【即學即練】1．（1）（2022·浙江浙江·七年級期末）不改變分式的值，把它的分子分母的各項系數(shù)都化為整數(shù)，所得結果正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式的基本性質，進行計算即可解答．【詳解】解：，故選：C．【點睛】本題考查了分式的基本性質，熟練掌握分式的基本性質是解題的關鍵．（2）．（2022·江西景德鎮(zhèn)·八年級期末）利用分式的基本性質填空：．【答案】【分析】根據(jù)平方差公式對等式左邊進行因式分解，再根據(jù)分式的基本性質進行化簡整理，得到，由分式的基本性質得，，最后運用整式乘法進行化簡即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了平方差公式及分式基本性質，熟練掌握分式的基本性質是解題的關鍵．【知識拓展2】最簡分式例2．（2022·湖南·臨武縣第六中學八年級階段練習）分式，，，中，最簡分式有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】分子，分母沒有公因式的分式是最簡分式，根據(jù)定義逐一分析即可.【詳解】解：∴最簡分式有，，共2個，故選B.【點睛】本題考查的是分式的約分，最簡分式的判斷，掌握“最簡分式的含義”是解本題的關鍵.【即學即練】2．（2020·湖南·永州市八年級階段練習）下列分式是最簡分式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)最簡分式的定義：分子，分母沒有公因式，進行判斷即可．【詳解】解：A、，不符合題意；B、是最簡分式，符合題意；C、，不符合題意；D、，不符合題意；故選B．【點睛】本題考查最簡分式的概念：分子和分母不含公因式，熟練掌握定義是解題的關鍵．【知識拓展3】利用分式的性質判定分式值的變化例3．（2022·湖南邵陽·八年級期末）若分式中的x和y都擴大3倍，且分式的植不變，則□可以是（

）A．2 B．y C． D．【答案】C【分析】x和y都擴大3倍，則2xy擴大到原來的9倍，要使分式的值不變，則x2+□也擴大到原來的9倍，所以□可以是y2．【詳解】解：∵x和y都擴大3倍，∴2xy擴大到原來的：3×3＝9倍，∵分式的值不變，∴x2+□也擴大到原來的9倍，∵x擴大3倍，x2擴大到原來的9（32＝9）倍，∴□也要擴大到原來的9倍，∵y擴大3倍，y、3y都擴大到原來的3倍，y2擴大到原來的9（32＝9）倍，∴□可以是y2．故選：C．【點睛】此題主要考查了分式的基本性質，解答此題的關鍵是要明確：分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變．【即學即練】3．（2022·河北·一模）只把分式中的，同時擴大為原來的3倍后，分式的值也不會變，則此時的值可以是下列中的（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式的性質，分子分母的，同時擴大為原來的3倍后，分式的值也不會變，則為含或的一次單項式，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：∵中的，同時擴大為原來的3倍后，分式的值也不會變，∴為含或的一次單項式，故只有C符合題意．故選C．【點睛】本題考查了分式的性質，掌握分式的性質是解題的關鍵．【知識拓展4】最簡公分母例4．（2022·湖南·臨湘市第六中學八年級階段練習）下列分式，，通分的最簡公分母是______．【答案】【分析】根據(jù)確定最簡公分母的方法即可判斷．【詳解】解：三分式中的常數(shù)項系數(shù)的最小公倍數(shù)是20，a的最高次冪是1，b的最高次冪是2，c的最高次冪是3，三分式的最簡公分母是．故答案為：．【點睛】本題考查了最簡公分母的定義及求法．通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．一般方法：①如果各分母都是單項式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪，所有不同字母都寫在積里；②如果各分母都是多項式，就可以將各個分母因式分解，取各分母數(shù)字系數(shù)的最小公倍數(shù)，凡出現(xiàn)的字母（或含字母的整式）為底數(shù)的冪的因式都要取最高次冪，掌握最簡公分母的求法以及定義是解題的關鍵．【即學即練】4．（2022·江蘇·濱?？h八巨初級中學八年級階段練習）分式的最簡公分母為____________．【答案】【分析】先確定最簡公分母的系數(shù)，再取各分母的所有因式的最高次冪的積，即可得到答案．【詳解】解：分式的最簡公分母為故答案為：【點睛】本題考查的是最簡公分母的確定，掌握“最簡公分母的含義”是解本題的關鍵．【知識拓展5】約分例5．（2022·河北·邢臺市第六中學八年級階段練習）小明計算了四個分式，其中有一個結果忘記了約分，是下面中的（

）①，②，③，④A．① B．② C．③ D．④【答案】D【分析】觀察各分式，找出分子分母含有公因式的即可．【詳解】解：，，都是最簡分式，，故④符合題意；故選：D【點睛】此題考查了約分，約分的關鍵是找出分子分母的公因式．【即學即練】5．（2022·吉林·長春市第一〇八學校八年級階段練習）下列運算結果為x+1的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先將分子和分母因式分解，然后利用分式的基本性質進行約分即可求出答案．【詳解】解：A、，不符合題意；B、，不符合題意；C、，不符合題意；D、，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查分式的約分化簡，解題的關鍵是熟練運用分式的基本性質，本題屬于基礎題型．【知識拓展6】通分例6．（2022·湖南·新化縣八年級期中）把，通分，則=________，=__________.【答案】

【分析】先找出，的最簡公分母，再利用分式的性質將，的分母均化為即可．【詳解】解：，，故答案為：，．【點睛】本題考查分式通分，解題的關鍵是熟練掌握分式的基本性質．分式的分子和分母同時乘以或除以同一個不為0的整式，分式的值不變．【即學即練】6．（2022·江蘇·八年級專題練習）將下列各分式通分：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1），；（2），；（3），；（4），．【分析】將分母兩式取各式的最小公倍式，相同因式的次數(shù)取最高次冪，分子分母同乘分母的最小公倍式即可得出答案．【詳解】解：（1），；（2），；（3），；（4），．【點睛】此題考查了通分，解答此題的關鍵是熟知找公分母的方法：（1）系數(shù)取各系數(shù)的最小公倍數(shù)；（2）凡出現(xiàn)的因式都要??；（3）相同因式的次數(shù)取最高次冪．能力拓展能力拓展考法01分式的規(guī)律探究【典例1】（2022·全國·二模）觀察下列各式：第1個等式：．第2個等式：．第3個等式：．……根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題：(1)第4個等式為：______．(2)寫出你猜想的第n個等式：______（用含n的等式表示），并證明．【答案】(1)(2)【分析】（1）觀察前幾個等式中數(shù)字的變化，即可寫出第4個等式；（2）結合（1）即可寫出第個等式，然后計算證明即可．(1)解：第4個等式為：，故答案為：．(2)解：．證明：右邊左邊，所以等式成立，故答案為：．【點睛】本題考查了分式的規(guī)律探究，有理數(shù)的加減運算，解決本題的關鍵在于推導一般性規(guī)律．變式1．（2022·湖南·八年級階段練習）觀察下列各式：，-，，-，……，則第10個式子為_____．【答案】【分析】根據(jù)題目已給的式子探尋規(guī)律即可達到解答．【詳解】解：∵，-，，-，……，∴可探尋的規(guī)律為，∴第10個式子為-．故答案為：-．【點睛】本題主要考查了列代數(shù)式，確定單項式的符號，系數(shù)，x的次數(shù)與單項式所在的序號之間的關系是解題的關鍵．變式2．（2022·廣西賀州·七年級期末）觀察下列等式，，，…根據(jù)其中的規(guī)律，猜想_______（用含的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】據(jù)題意分別用含x的式子表示出a1、a2、a3、a4，從而得出數(shù)列的循環(huán)周期為3，據(jù)此即可得解答．【詳解】解：∵，∴，，，……∴每3個數(shù)為一周期循環(huán)，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)已知數(shù)列的計算公式得出其循環(huán)周期是解題的關鍵．考法02分式值為整數(shù)【典例2】（2022·安徽·九年級專題練習）若分式的值為正整數(shù)，則整數(shù)a的值有()A．3個B．4個C．6個D．8個【答案】B【分析】分式的值為正整數(shù)，則a+1的值是6的正整數(shù)約數(shù)，據(jù)此即可求出a的值．【詳解】解：分式的值為正整數(shù)，且a為整數(shù)，所以a+1=1或2或3或6．則a=0或1或2或5．故選B．【點睛】本題考查了分式的值．理解分式的值為正整數(shù)，則a+1的值是6的正整數(shù)約數(shù)是關鍵．變式1．（2021·安徽六安·七年級期末）若表示一個整數(shù)，則整數(shù)x可取值的個數(shù)是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．8個【答案】C【分析】表示一個整數(shù)，則是6的因數(shù)，即可求解．【詳解】解：∵表示一個整數(shù)，∴是6的因數(shù)∴的值為-6，-3，-2，-1，1，2，3，6，相應的，x=，-3，，-2，，，0，，共8個．∴滿足x是整數(shù)的只有4個，故選C．【點睛】本題首先要根據(jù)分式值是整數(shù)的條件，求出的值，再求出x的值是解題的關鍵．變式2．（2022·四川南充·九年級期中）若的值為整數(shù)，則正整數(shù)a的值為______．【答案】1、2或5【分析】根據(jù)題意，分式的值是整數(shù)，可知分式的分母可以為2、3或6，據(jù)此解得的值，最后驗根即可．【詳解】解：分式的值是整數(shù)，，∴為整數(shù)，∵a是正整數(shù)，∴可以為2、3或6，∴a的值為1、2或5，經檢驗，當，或，分母，∴a的值為1、2或5，故答案為：1、2或5．【點睛】本題考查分式的值，是基礎考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．分層提分分層提分題組A基礎過關練1．（2022·河北·北師大石家莊長安實驗學校八年級階段練習）代數(shù)式的家中來了幾位客人：，，，，，其中屬于分式家族成員的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)分式的定義：形如，A、B都是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式，即可一一判定．【詳解】解：，，，的分母中均不含有字母，因此它們是整式，而不是分式；，，的分母中含有字母，因此是分式．故分式有3個，故選：C．【點睛】本題主要考查了分式的定義，注意π不是字母，是常數(shù)，所以不是分式，是整式．2．（2022·河北·邢臺市第八中學八年級階段練習）下列運算中，錯誤的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分式的基本性質，分子、分母、分式本身的符號中，改變其中兩個符號，分式的值不變，對每一項進行分析即可．【詳解】解：A、，故本選項錯誤；B、，故本選項正確；C、，故本選項正確；D、，故本選項正確．故選：A．【點睛】本題考查了分式的基本性質．解決本題的關鍵是熟練掌握分式的基本性質：無論是把分式的分子和分母擴大還是縮小相同的倍數(shù)，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一項，且擴大（縮?。┑谋稊?shù)不能為0．3．（2022·山東濱州·八年級期末）把分式的分子與分母各項系數(shù)化為整數(shù)，得到的正確結果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分式的基本性質求解即可．【詳解】解：給分式的分子和分母同乘以12，得：==，故選：B．【點睛】本題考查分式的基本性質，解答的關鍵是熟知分式的基本性質：分式的分子和分母同時乘以或除以同一個不為0的整式，分式的值不變．4．（2022·湖南·岳陽市八年級階段練習）根據(jù)分式的基本性質，分式可變形為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式的性質直接化簡即可．【詳解】解：，故選：C．【點睛】本題主要考查分式的性質，熟練掌握分式的性質進行化簡是解題關鍵．5．（2022·四川·仁壽縣八年級期末）若，的值均擴大為原來的3倍，則下列分式的值保持不變的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別寫出、都擴大3倍后的分式，再化簡與原式比較，即可選擇．【詳解】當、都擴大3倍時，A、，故A錯誤．B、，故B錯誤．C、，故C錯誤．D、，故D正確．故選D．【點睛】本題考查分式的基本性質，解題關鍵是熟練化簡分式．6．（2022·新疆·八年級期中）下列分式是最簡分式的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分子，分母沒有公因式的分式是最簡分式，根據(jù)最簡分式的含義逐一分析判斷即可．【詳解】解：A．是最簡分式，故A符合題意；B．，不是最簡分式，故B不符合題意；C．，不是最簡分式，故C不符合題意；D．，不是最簡分式，故D不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查的是分式的約分，最簡分式的含義，掌握“最簡分式的含義”是解本題的關鍵．7．（2020·湖南·慈利縣教育科學研究室八年級期中）分式的最簡公分母是（）A．xy B．

C．

D．【答案】C【分析】根據(jù)最簡公分母的定義：取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作為公分母,這樣的公分母叫做最簡公分母，據(jù)此進行判斷即可．【詳解】解：分式的最簡公分母是，故選：C．【點睛】本題考查了最簡公分母的定義，熟練掌握最簡公分母的定義是解本題的關鍵．8．（2022·河南·西峽縣城區(qū)二中八年級階段練習）小明計算了四個分式，其中有一個結果忘記了約分，是下面中的（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】觀察各分式，找出分子分母含有公因式的即可．【詳解】解：A、原式為最簡分式，不符合題意；B、原式為最簡分式，不符合題意；C、原式為最簡分式，不符合題意；D、原式==x-y，符合題意．故選：D．【點睛】此題考查了約分，約分的關鍵是找出分子分母的公因式．9．（2022·貴州遵義·八年級期末）在計算通分時，分母確定為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將分母因式分解，進而確定公分母即可．【詳解】，計算通分時，分母確定為．故選B【點睛】本題考查了找最簡公分母，先將分母因式分解是解題的關鍵．10．（2022·新疆·庫車市第七中學八年級期末）若代數(shù)式的值為0，則x=______；當b=______時，分式無意義．【答案】

【分析】根據(jù)分式值為0的條件：分子為0，分母不為0，即可求出x的值；根據(jù)分式無意義的條件：分母為0，即可求出b的值．【詳解】解：∵代數(shù)式的值為0，∴，解得，∵分式無意義，∴，解得，故答案為：；．【點睛】本題考查了分式值為0的條件及分式無意義的條件，注意分式值為0的條件一定要滿足分母不0，熟練掌握相關知識點是解答本題的關鍵．11．（2022·廣東·佛山市八年級階段練習）當時，分式無意義；當時分式的值為，則的值是______．【答案】1【分析】根據(jù)分式無意義即分母為，分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為；（2）分母不為進行解答即可．【詳解】解：分式無意義時，，分式為時，，當，時，，故答案為：．【點睛】本題考查的是分式無意義和分式為的條件，掌握分式無意義即分母為，分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為；（2）分母不為是解題的關鍵．題組B能力提升練1．（2022·湖南·臨武縣八年級階段練習）若表示一個整數(shù)，則整數(shù)可取值共有（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】D【分析】由x是整數(shù)，也表示一個整數(shù)，可知x+1為4的約數(shù)，即x+1=±1，±2，±4，從而得出結果．【詳解】解：∵x是整數(shù)，也表示一個整數(shù)，∴x+1為4的約數(shù)，即x+1=±1，±2，±4，∴x=-2，0，-3，1，-5，3．則整數(shù)x可取值共有6個．故選：D．【點睛】本題考查了此題首先要根據(jù)分式值是整數(shù)的條件，能夠根據(jù)已知條件分析出x+1為4的約數(shù)，是解決本題的關鍵．2.（2022·江蘇·八年級專題練習）根據(jù)分式的基本性質填空：，括號內應填（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把分式的分母與分子同時除以(x+1)即可得出結論．【詳解】解：∵分式的分母與分子同時除以(x+1)得，，∴括號內應填x-1．故選：B．【點睛】本題考查的是分式的基本性質，熟知分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變是解答此題的關鍵．3．（2022·河北·邢臺市第六中學八年級階段練習）若分式中x、y均擴大為原來的2倍，分式的值也可擴大2倍，則M可以是（

）A．x-y B．x+2y C． D．xy【答案】D【分析】根據(jù)題意可逐一進行判斷選項．【詳解】解：A、當時，且x、y均擴大為原來的2倍，則，與原來分式的值相等，故不符合題意；B、當時，且x、y均擴大為原來的2倍，則，與原來分式的值相等，故不符合題意；C、當時，且x、y均擴大為原來的2倍，則，，故不符合題意；D、當時，且x、y均擴大為原來的2倍，則，是原來分式的值2倍，故符合題意；故選D．【點睛】本題主要考查分式的性質，熟練掌握分式的性質是解題的關鍵．4．（2022·江蘇南京·八年級期中）關于分式的判斷，下列說法正確的是（）A．當x＝2時，分式的值為零 B．當x＝﹣1時，分式無意義C．當x≠2時，分式有意義 D．無論x為何值，分式的值總為負數(shù)【答案】C【分析】利用分式有無意義、值為0的條件，逐個判斷得結論．【詳解】解：當x=2時，分式無意義，故說法錯誤；當x=-1時，分式的值為0，故說法錯誤；當x≠2時，分式有意義，故說法正確；當x=3時，分式的值不為負數(shù)，故說法錯誤．故選：C．【點睛】本題考查了分式有無意義及值為0的條件．當分式的分母為0時，分式無意義；當分式的分子為0，分母不為0時分式的值為0；當分式的分母不為0時，分式總有意義．5．（2022·湖南·邵陽市八年級階段練習）若是整數(shù)，則使分式的值為整數(shù)的值有（

）個．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先將假分式分離可得出，根據(jù)題意只需是6的整數(shù)約數(shù)即可．【詳解】解：由題意可知，是6的整數(shù)約數(shù)，∴解得：，其中x的值為整數(shù)有：共4個．故選：C．【點睛】本題考查的知識點是分式的值是整數(shù)的條件，分離假分式是解此題的關鍵，通過分離假分式得到，從而使問題簡單．6．（2022·山東·威海市第七中學九年級階段練習）若成立，則a的取值范圍是______________【答案】【分析】根據(jù)分式的分母不能為零，得出，，再把給出的式子進行整理，即可得出a的取值范圍．【詳解】解：∵分式的分母不能為零，∴，，即，，7．（2022·南昌市心遠中學八年級期末）寫出一個分式，使它符合下列條件：①含有字母，②無論取何值分式都有意義；③當時，分式的值為，這個分式時以是__________．（只寫一個)【答案】【分析】依據(jù)分式的分母不為零以及分式的定義解答即可．【詳解】符合條件一個分式可以為：．答案不唯一故答案為：．【點睛】本題主要考查的是分式有意義的條件、分式的定義、分式的值，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．8．（2022·黑龍江·八年級期末）一列數(shù)：，…，它們按一定的規(guī)律排列，則第n個數(shù)(n為正整數(shù))為_______．【答案】【分析】觀察可知，分子用n表示，則分母用n2+1表示，從而可求解．【詳解】第1個數(shù)為：，第2個數(shù)為：，第3個數(shù)為：，第4個數(shù)為：，第5個數(shù)為：，……第n個數(shù)為：．故答案為：．【點睛】本題是一道有關數(shù)字的變化規(guī)律題，解題的關鍵是由所給的數(shù)字總結出存在的規(guī)律．9．（2021·河北·八年級階段練習）已知，x取哪些值時：(1)y的值是正數(shù)；(2)y的值是負數(shù)；(3)y的值是零；(4)分式無意義．【答案】(1)(2)x＜或x＞2(3)x＝2(4)x＝【分析】（1）分式的值為正數(shù)，則分子、分母同號，列不等式組求解；（2）分式的值是負數(shù)，則分子、分母異號，列不等式組求解；（3）分式的值為0，則分子為0，分母不等于0；（4）分式無意義，則分母等于0．（1）根據(jù)題意，得或，解得；（2）根據(jù)題意，得或，解得x＜或x＞2；（3）根據(jù)題意，得，解得x＝2；（4）根據(jù)題意，得3﹣4x＝0，x＝．【點睛】本題考查了分數(shù)的取值范圍，分式的值為0，則分子等于0，分母不等于0；分式有意義，則分母不等于0；分式無意義，則分母等于0；分式的值為正數(shù)，則分子、分母同號；分式的值為負數(shù)，則分子、分母異號．10．（2023·安徽·九年級專題練習）觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：…按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)請寫出第5個等式________；(2)請寫出第個等式，并證明．【答案】(1)(2)第個等式為，證明見解析【分析】（1）根據(jù)提供的算式寫出第5個算式即可；（2）根據(jù)規(guī)律寫出代數(shù)式然后證明即可．（1）解：根據(jù)已知規(guī)律，第5個等式為，故答案為：；（2）解：根據(jù)題意，第個等式為，證明：右邊=左邊，∴等式成立．【點睛】本題考查規(guī)律探索問題，從特殊的、簡單的問題推理到普通的、復雜的問題，從中歸納問題的規(guī)律，體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022·山東·寧陽縣八年級階段練習）不論x取何值時，下列分式總有意義的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分式有意義時，分式的分母不等于0逐項驗證即可．【詳解】解：A、x＝0時，分母等于0，分式無意義，故本選項錯誤；B、x＝?2時，分母等于0，分式無意義，故本選項錯誤；C、x＝?2時，分母等于0，分式無意義，故本選項錯誤；D、x為任意實數(shù)，，分式總有意義，故本選項正確．故選：D．【點睛】本題考查了分式有意義的條件，從以下三個方面透徹理解分式的概念：（1）分式無意義?分母為零；（2）分式有意義?分母不為零；（3）分式值為零?分子為零且分母不為零．2．（2022·綿陽市·八年級專題練習）分式的值為負數(shù)的條件是（

）A． B．且 C．且 D．，且【答案】D【分析】根據(jù)乘法公式，化簡分式，分式的值要為負數(shù)，則分子、分母為異號，即可求出答案．【詳解】解：，因為分式的值為負數(shù)，∴或者∴且故選：．【點睛】本題考查分式的化簡，分式的取值與分子、分母的關系，且分母不能為零，理解和掌握分式取值與分子、分母的關系是解題的關鍵．3．（2020·湖南·李達中學八年級階段練習）若分式是最簡分式，則△表示的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先將各選項因式分解，利用最簡分式的意義（一個分式的分子與分母沒有非零次的公因式時（即分子與分母互素）叫最簡分式最簡分式）進行分析解答．【詳解】解：A.，B.，C.，D.，因為，且分式是最簡分式，∴△中不含或故選D．【點睛】此題考查最簡分式的意義，要把分子與分母因式分解徹底，進一步判定即可．4．（2022·河南許昌·八年級期末）將分式與分式通分后，的分母變?yōu)?，則的分子變?yōu)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)最簡公分母是，將分式變?yōu)?，分子和分母都乘以，即可得出答案．【詳解】．故選：A．【點睛】本題主要考查了分式的通分，確定最簡公分母是通分的關鍵．5．（2022·湖南·永州市八年級階段練習）已知兩個分式：，；將這兩個分式進行如下操作：第一次操作：將這兩個分式作和，結果記為；作差，結果記為；（即，）第二次操作：將，作和，結果記為：作差，結果記為；（即，）第三次操作：將，作和，結果記為；作差，結果記為；（即，）…（依此類推）將每一次操作的結果再作和，作差，繼續(xù)依次操作下去，通過實際操作，有以下結論：．①；②當時，；③若，則；④在第n（n為正整數(shù)）次和第次操作的結果中：為定值：⑤在第2n（n為正整數(shù)）次操作的結果中：，；以上結論正確的個數(shù)有（

）個A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】通過計算確定第2n個式子的變化規(guī)律和第2n-1個式子的變化規(guī)律，然后確定一般形式，進行判定即可．【詳解】解：，，，，，，，，……當2n-1為奇數(shù)時（1除外），，，當2n為偶數(shù)時，，，∵，故①正確；當x=1時，M2+M4+M6+M8==30，故②錯誤；，解得x=1或-2，故③錯誤；當n=2k-2時，=x，x不是定值，故④錯誤；由規(guī)律知，⑤正確；故選：D．【點睛】本題考查分式的化簡以及探究式子的規(guī)律，解決問題的關鍵是確定式子的變化規(guī)律．6．（2022·山東·威海市九年級階段練習）分式的值為0，分式無意義，則______________【答案】【分析】根據(jù)分式為0和分式無意義的條件列式求出x、y的值，代入計算即可．【詳解】解：由題意得：且，，解得：，，則，故答案為：．【點睛】本題考查分式為0的條件和分式無意義的條件，熟記分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零，分式無意義的條件是分母等于零是解題的關鍵．7．（2022·湖南長沙·七年級階段練習）使代數(shù)式的值為整數(shù)的全體自然數(shù)的和是______．【答案】22【分析】將原式分解為，得到使得原式的值為整數(shù)的自然數(shù)分別為、、、、、，求的其和即可．【詳解】解：原式，∴能被12整除，則使得代數(shù)式的值為整數(shù)的全體自然數(shù)分別為、、、、