2024屆福建省莆田市仙游縣郊尾中學數(shù)學高二下期末綜合測試模擬試題含解析

2024屆福建省莆田市仙游縣郊尾中學數(shù)學高二下期末綜合測試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設,，則（）A． B． C． D．2．“”是“”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件3．若點在橢圓內，則被所平分的弦所在的直線方程是，通過類比的方法，可求得：被所平分的雙曲線的弦所在的直線方程是（）A． B．C． D．4．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，、分別是雙曲線左、右兩支上關于坐標原點對稱的兩點，且直線的斜率為.、分別為、的中點，若原點在以線段為直徑的圓上，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，若方程在上有3個實根，則的取值范圍為（）A． B． C． D．6．大學生小紅與另外3名大學生一起分配到鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個村小學進行支教，若每個村小學至少分配1名大學生，則小紅恰好分配到甲村小學的方法數(shù)為（）A．3 B．18 C．12 D．67．在市高二下學期期中考試中，理科學生的數(shù)學成績，已知，則從全市理科生中任選一名學生，他的數(shù)學成績小于110分的概率為（）A．0.15 B．0.50 C．0.70 D．0.858．拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質，如：若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的交點在其準線上.設拋物線，弦過焦點，為阿基米德三角形，則的面積的最小值為（）A． B． C． D．9．復數(shù)的共軛復數(shù)所對應的點位于復平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．在中，角的對邊分別是，若，則的值為（）A．1 B． C． D．11．下列命題中，假命題是（）A．不是有理數(shù) B．C．方程沒有實數(shù)根 D．等腰三角形不可能有的角12．兩個線性相關變量x與y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：x99.51010.511y1110865其回歸直線方程是，則相對應于點（11，5）的殘差為（）A．0.1 B．0.2 C．﹣0.1 D．﹣0.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，且，則的最小值是______．14．已知為數(shù)字0，1，2，…，9的一個排列，滿足，且，則這樣排列的個數(shù)為___（用數(shù)字作答）．15．在1x-116．在空間中，已知一個正方體是12條棱所在的直線與一個平面所成的角都等于，則______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖,在一個水平面內,河流的兩岸平行,河寬1(單位:千米)村莊A,B和供電站C恰位于一個邊長為2(單位:千米)的等邊三角形的三個頂點處,且A,C位于河流的兩岸,村莊A側的河岸所在直線恰經過BC的中點D.現(xiàn)欲在河岸上A,D之間取一點E,分別修建電纜CE和EA,EB.設∠DCE=θ,記電纜總長度為f(θ)(單位:千米).(1)求f(θ)的解析式；(2)當∠DCE為多大時,電纜的總長度f(θ)最小,并求出最小值.18．（12分）已知函數(shù).（1）討論在上的單調性；（2）若，，求正數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知都是實數(shù)，，.（Ⅰ）若，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若對滿足條件的所有都成立，求實數(shù)的取值范圍．20．（12分）如圖直線經過圓上的點，OA=OB，CA=CB，圓交直線于點、，其中在線段上，連接、.（1）證明：直線是圓的切線；（2）若，圓的半徑為，求線段的長.21．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，．（1）求，，的值，并猜想數(shù)列的通項公式并用數(shù)學歸納法證明；（2）令，求數(shù)列的前項和．22．（10分）2018年俄羅斯世界杯激戰(zhàn)正酣，某校工會對全校教職工在世界杯期間每天收看比賽的時間作了一次調查，得到如下頻數(shù)分布表：收看時間（單位：小時）14282012(1)若將每天收看比賽轉播時間不低于3小時的教職工定義為“球迷”，否則定義為“非球迷”，請根據(jù)頻數(shù)分布表補全列聯(lián)表：男女合計球迷40非球迷合計并判斷能否有90%的把握認為該校教職工是否為“球迷”與“性別”有關；(2)在全?！扒蛎浴敝邪葱詣e分層抽樣抽取6名，再從這6名“球迷”中選取2名世界杯知識講座.記其中女職工的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.附表及公式：0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.024.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

求對數(shù)函數(shù)的定義域求得集合，解一元二次不等式求得集合，求得集合的補集后與集合求交集，由此得出正確選項.【題目詳解】對于集合，，對于集合，，解得或，故，所以，故選D.【題目點撥】本小題主要考查對數(shù)函數(shù)定義域、一元二次不等式的解法，集合補集、交集運算，屬于基礎題.2、B【解題分析】，，，∴“”是“”的充分不必要條件．故選：．3、A【解題分析】

通過類比的方法得到直線方程是，代入數(shù)據(jù)得到答案.【題目詳解】所平分的弦所在的直線方程是，通過類比的方法，可求得雙曲線的所平分的弦所在的直線方程是代入數(shù)據(jù)，得到：故答案選A【題目點撥】本題考查了類比推理，意在考查學生的推理能力.4、C【解題分析】

根據(jù)、分別為、的中點，故OM平行于,ON平行于，再由向量點積為0得到四邊形是矩形，通過幾何關系得到點A的坐標，代入雙曲線得到齊次式，求解離心率.【題目詳解】因為、分別為、的中點，故OM平行于,ON平行于，因為原點在以線段為直徑的圓上，根據(jù)圓的幾何性質得到OM垂直于ON，故得到垂直于，由AB兩點關于原點對稱得到，四邊形對角線互相平分，所以四邊形是矩形，設角,根據(jù)條件得到，將點A代入雙曲線方程得到：解得故答案為C.【題目點撥】本題考查雙曲線的幾何性質及其應用，對于雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關于的齊次式，結合轉化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉化為關于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).5、B【解題分析】

利用參數(shù)分離法，構造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，研究函數(shù)的極值和最值，利用數(shù)形結合進行求解即可．【題目詳解】當時，，則不成立，即方程沒有零解.當時，，即，則設則由，得，此時函數(shù)單調遞增；由，得，此時函數(shù)單調遞減，所以當時，函數(shù)取得極小值；當時，；當時，；當時，，即，則.設則由得（舍去）或，此時函數(shù)單調遞增；由得，此時單調遞減，所以當時，函數(shù)取得極大值；當時，當時，作出函數(shù)和的圖象，可知要使方程在上有三個實根，則.故選：B.【題目點撥】已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解．6、C【解題分析】

分兩種情況計算：有一人和小紅同地，無人與小紅同地.【題目詳解】大學生小紅與另外3名大學生一起分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個村小學進行支教，每個村小學至少分配1名大學生，分兩種情況計算：有一人和小紅同地，無人與小紅同地.小紅恰好分配到甲村小學包含的基本事件個數(shù).故選：C【題目點撥】本題主要考查排列組合的綜合應用，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.7、D【解題分析】

根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性得出，于是可計算出，于此可得出結果．【題目詳解】由于，由正態(tài)密度曲線的對稱性可得，因此，，故選D.【題目點撥】本題考查正態(tài)分布在指定區(qū)間上的概率的計算，解題的關鍵在于利用正態(tài)密度曲線的對稱性將所求概率轉化為已知區(qū)間概率進行計算，屬于基礎題．8、B【解題分析】

利用導數(shù)的知識，可得，即三角形為直角三角形，利用基本不等式，可得當直線垂直軸時，面積取得最小值.【題目詳解】設，過A，B的切線交于Q，直線的方程為：，把直線的方程代入得：，所以，則，由導數(shù)的知識得：，所以，所以，所以，因為，當時，可得的最大值為，故選B.【題目點撥】本題是一道與數(shù)學文化有關的試題，如果能靈活運用阿基米德三角形的結論，即當直線過拋物線的焦點，則切線與切線互相垂直，能使運算量變得更小.9、C【解題分析】

通過化簡，于是可得共軛復數(shù)，判斷在第幾象限即得答案.【題目詳解】根據(jù)題意得，所以共軛復數(shù)為，對應的點為，故在第三象限，答案為C.【題目點撥】本題主要考查復數(shù)的四則運算，共軛復數(shù)的概念，難度不大.10、C【解題分析】

在中利用正弦定理和二倍角公式能求出角，再依據(jù)余弦定理列出關于角的關系式，化簡即得．【題目詳解】∵，∴由正弦定理可得，即.由于，∴.∵，∴.又，由余弦定理可得，∴.故選C.【題目點撥】本題主要考查正余弦定理解三角形以及三角恒等變換．11、D【解題分析】

根據(jù)命題真假的定義，對各選項逐一判定即可．【題目詳解】解：.為無理數(shù)，故正確，．，故正確，．因為，即方程沒有實根，故正確，．等腰三角形可能以為頂角，為底角，故錯誤，故選：．【題目點撥】本題考查命題真假的判斷，屬于基礎題．12、B【解題分析】

求出樣本中心，代入回歸直線的方程，求得，得出回歸直線的方程，令，解得，進而求解相應點的殘差，得到答案.【題目詳解】由題意，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可得，把樣本中心代入回歸方程，即，解得，即回歸直線的方程為，令，解得，所以相應點的殘差為，故選B.【題目點撥】本題主要考查了回歸直線方程的求解及應用，其中解答中正確求解回歸直線的方程，利用回歸直線的方程得出預測值是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

直接將代數(shù)式4x+y與相乘，利用基本不等式可求出的最小值．【題目詳解】由基本不等式可得，當且僅當，等號成立，因此的最小值為1，故答案為：1．【題目點撥】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤.14、3456【解題分析】

先計算總和為45，將相加為15的3數(shù)組羅列出來，計算每個選法后另外一組的選法個數(shù)，再利排列得到答案.【題目詳解】0，1，2，…，9所有數(shù)據(jù)之和為45相加為15的3數(shù)組有：當選擇后，可以選擇，，3種選擇同理可得：分別有3，3，3，2，3，1，2，3，3，1共24種選擇選定后只有一種排列有種排列有種排列共有中選擇.故答案為3456【題目點撥】本題考查了排列組合的計算，將和為15的數(shù)組羅列出來是解題的關鍵.15、1【解題分析】

先求出二項式x+1【題目詳解】二項式x+15的展開式的通項為∴1x-1x故答案為1．【題目點撥】對于含有兩個括號的展開式的項的問題，求解時可分別求出每個二項式的展開式的通項，然后采用組合（即“湊”）的方法得到所求的項，解題時要做到細致、不要漏掉任何一種情況．16、【解題分析】

畫出幾何圖形,可知面與12條棱所在的直線與一個平面所成的角都等于,在可求得.【題目詳解】畫出幾何圖形,可知面與12條棱所在的直線與一個平面所成的角都等于正方體面,與面所成的角為不妨設正方體棱長為,故在中由勾股定理可得:故答案為:.【題目點撥】本題考查了線面角求法,根據(jù)體積畫出幾何圖形,掌握正方體結構特征是解本題的關鍵.屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）f(θ)=2-sinθcosθ+3，0<θ<π3【解題分析】分析：易得CE=EB=1cosθ，ED=tanθ，AE=3-tanθ，f(θ)=2-sinθcosθ+3，0<θ<π3.(2)求導f'(θ)=-cos2詳解：(1)易得AD垂直平分BC，CD=BD=1則CE=EB=1cosθ，ED=于是f(θ)=1cosθ因為E在CD之間,所以0<θ<π故f(θ)=2-sinθ(2)f'(θ)=-cos2令f'(θ)=0,得sinθ=故當0<θ<π6，f'(θ)<0，當π6<θ<π3.,所以,當θ=π6時,f(θ)答:當∠DCE=π6時,f(θ)最小值為點睛：此題為三角函數(shù)的實際應用題，解題時要注意分析題目中的條件，常常跟正余弦定理，三角函數(shù)比值關系等幾何關系結合在一起考查，不難，但是綜合性強；第二問求最值如果不能轉化為三角函數(shù)求得最值，那就通過導數(shù)來分析.18、（1）見解析；（2）【解題分析】分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；（2）求出f（x）的最大值，得到關于a的函數(shù)，結合函數(shù)的單調性求出a的范圍即可．詳解：（1），當時，，在上單調遞減；當時，若，；若，．∴在上單調遞減，在上單調遞增．當時，，在上單調遞減；當時，若，；若，，∴在上單調遞減，在上單調遞增．綜上可知，當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增．（2）∵，∴當時，；當時，．∴．∵，，∴，即，設，，當時，；當時，，∴，∴．點睛：這個題目考查的是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，用導數(shù)解決恒成立求參的問題；對于函數(shù)恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉化為函數(shù)最值問題；或者直接求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或者小于0；或者分離成兩個函數(shù)，使得一個函數(shù)恒大于或小于另一個函數(shù).19、（I）；（II）.【解題分析】試題分析：（1）化簡函數(shù)的解析式，由得或．求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求；（2）由題可得，由絕對值不等式可得的最小值為2，可得，再根據(jù)的解集，求得的解集.試題解析：（1），由得或解得或，故所求實數(shù)的取值范圍為．（2）由且，得，又∵，∴，∵的解集為，∴的解集為，∴所求實數(shù)的取值范圍為．點睛：本題主要考查了絕對值不等式的解法，以及轉化與化歸思想，難度一般；常見的絕對值不等式的解法，法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想；法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；法三：通過構造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.20、（1）詳見解析；（2）5.【解題分析】試題分析：（1）若要證明AB為圓O的切線，則應連接OC，證明OC⊥AB，根據(jù)題中條件，OA=OB得三角形OAB為等腰三角形，再由CA=CB，即C為AB中點，因此OC⊥AB，又C在圓O上，所以AB為圓O的切線。本問考查圓的切線的證明，一是證明垂直，二是說明點在圓上，就可以證明是圓的切線了。（2）直線是圓的切線，.又，可以證明，可以得出對應線段成比例，，又根據(jù)，故.設，則，又，故，即.從而可以求出x的