2024屆吉林省舒蘭市一中數(shù)學(xué)高二下期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2024屆吉林省舒蘭市一中數(shù)學(xué)高二下期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．甲、乙兩人獨(dú)立地解同一問(wèn)題，甲解決這個(gè)問(wèn)題的概率是，乙解決這個(gè)問(wèn)題的概率是，那么恰好有1人解決這個(gè)問(wèn)題的概率是（）A． B．C． D．2．已知命題“，使得”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．設(shè)圓x2+y2+2x-2=0截x軸和y軸所得的弦分別為AB和CDA．22 B．23 C．24．函數(shù)的定義域?yàn)镽，，對(duì)任意的，都有成立，則不等式的解集為A． B． C． D．R5．學(xué)校新入職的5名教師要參加由市教育局組織的暑期3期上崗培訓(xùn)，每人只參加其中1期培訓(xùn)，每期至多派2人，由于時(shí)間上的沖突，甲教師不能參加第一期培訓(xùn)，則學(xué)校不同的選派方法有()A．種 B．種 C．種 D．種6．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢(xún)問(wèn)數(shù)學(xué)考試的成績(jī)老師說(shuō)：你們四人中有兩位優(yōu)秀、兩位良好，我現(xiàn)在給乙看甲、丙的成績(jī)，給甲看丙的成績(jī)，給丁看乙的成績(jī)，看后乙對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī).根據(jù)以上信息，則（）A．甲可以知道四人的成績(jī) B．丁可以知道四人的成績(jī)C．甲、丁可以知道對(duì)方的成績(jī) D．甲、丁可以知道自己的成績(jī)7．設(shè)是等差數(shù)列.下列結(jié)論中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則8．已知服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，在區(qū)間、和內(nèi)取值的概率分別為、、和.某企業(yè)為名員工定制工作服，設(shè)員工的身高（單位：）服從正態(tài)分布，則適合身高在范圍內(nèi)員工穿的服裝大約要定制（）A．套 B．套 C．套 D．套9．在一次試驗(yàn)中，測(cè)得的四組值分別是A（1,2），B（3,4），C（5,6）D（7,8），則y與x之間的回歸直線(xiàn)方程為（）A． B． C． D．10．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明1n+1+1A．12k+2 B．12k+1 C．111．定義在上的奇函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上是()A．增函數(shù)且 B．增函數(shù)且C．減函數(shù)且 D．減函數(shù)且12．某教師要把語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)、歷史四個(gè)科目排到如下的課表中，如果相同科目既不同行也不同列，星期一的課表已經(jīng)確定如下表，則其余三天課表的不同排法種數(shù)有(

)A．96B．36C．24D．12二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，其中為虛數(shù)單位，則__________．14．設(shè)集合,,則____________.15．某個(gè)游戲中，一個(gè)珠子按如圖所示的通道，由上至下的滑下，從最下面的六個(gè)出口出來(lái)，規(guī)定猜中者為勝，如果你在該游戲中，猜得珠子從出口3出來(lái)，那么你取勝的概率為_(kāi)______．16．曲線(xiàn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的曲線(xiàn)的方程為_(kāi)___．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知曲線(xiàn)的參數(shù)方程是為參數(shù)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程是．（1）寫(xiě)出的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)、的極坐標(biāo)分別是、，直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于P、Q兩點(diǎn)，射線(xiàn)OP與曲線(xiàn)相交于點(diǎn)A，射線(xiàn)OQ與曲線(xiàn)相交于點(diǎn)B，求的值．18．（12分）已知函數(shù).若是的極值點(diǎn).(1)求在上的最小值；(2)若不等式對(duì)任意都成立,其中為整數(shù),為的函數(shù),求的最大值.19．（12分）已知都是正數(shù)（1）若，求證：；（2）若，求證：20．（12分）在銳角三角形中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求角的大小；（2）若，求的值.21．（12分）某市環(huán)保部門(mén)對(duì)該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類(lèi)知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問(wèn)卷調(diào)查，每位市民僅有一次參加機(jī)會(huì)，通過(guò)隨機(jī)抽樣，得到參與問(wèn)卷調(diào)查的100人的得分（滿(mǎn)分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：組別男235151812女051010713(1)若規(guī)定問(wèn)卷得分不低于70分的市民稱(chēng)為“環(huán)保關(guān)注者”，請(qǐng)完成答題卡中的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.05的前提下，認(rèn)為是否為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān)？(2)若問(wèn)卷得分不低于80分的人稱(chēng)為“環(huán)保達(dá)人”．視頻率為概率．①在我市所有“環(huán)保達(dá)人”中，隨機(jī)抽取3人，求抽取的3人中，既有男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率；②為了鼓勵(lì)市民關(guān)注環(huán)保，針對(duì)此次的調(diào)查制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：“環(huán)保達(dá)人”獲得兩次抽獎(jiǎng)活動(dòng)；其他參與的市民獲得一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)．每次抽獎(jiǎng)獲得紅包的金額和對(duì)應(yīng)的概率.如下表：紅包金額（單位：元）1020概率現(xiàn)某市民要參加此次問(wèn)卷調(diào)查，記（單位：元）為該市民參加間卷調(diào)查獲得的紅包金額，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若不等式在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，證明：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：先分成兩個(gè)互斥事件：甲解決問(wèn)題乙未解決問(wèn)題和甲解決問(wèn)題乙未解決問(wèn)題，再分別求概率，最后用加法計(jì)算.詳解：因?yàn)榧捉鉀Q問(wèn)題乙未解決問(wèn)題的概率為p1(1－p2)，甲未解決問(wèn)題乙解決問(wèn)題的概率為p2(1－p1)，則恰有一人解決問(wèn)題的概率為p1(1－p2)＋p2(1－p1)．故選B.點(diǎn)睛：本題考查互斥事件概率加法公式，考查基本求解能力.2、C【解題分析】

利用二次函數(shù)與二次不等式的關(guān)系，可得函數(shù)的判別式，從而得到.【題目詳解】由題意知，二次函數(shù)的圖象恒在軸上方，所以，解得：，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用全稱(chēng)命題為真命題，求參數(shù)的取值范圍，注意利用函數(shù)思想求解不等式.3、C【解題分析】

先求出|AB|,|CD|,再求四邊形ABCD的面積.【題目詳解】x2+y令y=0得x=±3-1,則令x=0得y=±2，所以|CD|=2四邊形ACBD的面積S=故答案為：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】

把原不等式化為右側(cè)為0的形式，令左側(cè)為，利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性，得解集．【題目詳解】原不等式化為，令，則，對(duì)任意的，都有成立，恒成立，在R上遞減，，的解集為，故選：A．【題目點(diǎn)撥】此題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，解決不等式問(wèn)題，難度適中．對(duì)于沒(méi)有解析式或者表達(dá)式比較復(fù)雜的不等式，通常采取的方法是，研究函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)，進(jìn)而得到解集。5、B【解題分析】

由題意可知這是一個(gè)分類(lèi)計(jì)數(shù)問(wèn)題.一類(lèi)是：第一期培訓(xùn)派1人；另一類(lèi)是第一期培訓(xùn)派2人，分別求出每類(lèi)的選派方法，最后根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，求出學(xué)校不同的選派方法的種數(shù).【題目詳解】解:第一期培訓(xùn)派1人時(shí)，有種方法,第一期培訓(xùn)派2人時(shí)，有種方法,故學(xué)校不同的選派方法有，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，讀懂題意是解題的關(guān)鍵，考查了分類(lèi)討論思想.6、D【解題分析】

先由乙不知道自己成績(jī)出發(fā)得知甲、丙和乙、丁都是一優(yōu)秀、一良好，那么甲、丁也就結(jié)合自己看的結(jié)果知道自己成績(jī)了.【題目詳解】解：乙看后不知道自己成績(jī)，說(shuō)明甲、丙必然是一優(yōu)秀、一良好，則乙、丁也必然是一優(yōu)秀、一良好；甲看了丙的成績(jī)，則甲可以知道自己和丙的成績(jī)；丁看了乙的成績(jī)，所以丁可以知道自己和乙的成績(jī)，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了推理與證明，關(guān)鍵是找到推理的切入點(diǎn).7、C【解題分析】

先分析四個(gè)答案，A舉一反例，而，A錯(cuò)誤，B舉同樣反例，，而，B錯(cuò)誤，D選項(xiàng)，故D錯(cuò)，下面針對(duì)C進(jìn)行研究，是等差數(shù)列，若，則設(shè)公差為，則，數(shù)列各項(xiàng)均為正，由于，則，故選C.考點(diǎn)：本題考點(diǎn)為等差數(shù)列及作差比較法，以等差數(shù)列為載體，考查不等關(guān)系問(wèn)題，重點(diǎn)是對(duì)知識(shí)本質(zhì)的考查.8、B【解題分析】

由可得，，則恰為區(qū)間，利用總?cè)藬?shù)乘以概率即可得到結(jié)果.【題目詳解】由得：，，，又適合身高在范圍內(nèi)員工穿的服裝大約要定制：套本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用正態(tài)分布進(jìn)行估計(jì)的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解題分析】分析：根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)，取出這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，把樣本中心點(diǎn)代入所給的四個(gè)選項(xiàng)中驗(yàn)證，若能夠成立的只有一個(gè)，這一個(gè)就是線(xiàn)性回歸方程．詳解：∵，∴這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)是（4，5）把樣本中心點(diǎn)代入四個(gè)選項(xiàng)中，只有y=x+1成立，故選A．點(diǎn)睛：本題考查求線(xiàn)性回歸方程，一般情況下是一個(gè)運(yùn)算量比較大的問(wèn)題，解題時(shí)注意平均數(shù)的運(yùn)算不要出錯(cuò)，注意系數(shù)的求法，運(yùn)算時(shí)要細(xì)心，但是對(duì)于一個(gè)選擇題，還有它特殊的加法．10、D【解題分析】

求出當(dāng)n=k時(shí)，左邊的代數(shù)式，當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊的代數(shù)式，相減可得結(jié)果．【題目詳解】當(dāng)n=k時(shí)，左邊的代數(shù)式為1k+1當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊的代數(shù)式為1k+2故用n=k+1時(shí)左邊的代數(shù)式減去n=k時(shí)左邊的代數(shù)式的結(jié)果為：12k+1【題目點(diǎn)撥】本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，注意式子的結(jié)構(gòu)特征，以及從n=k到n=k+1項(xiàng)的變化，屬于中檔題.11、B【解題分析】

先利用函數(shù)奇偶性求出函數(shù)在上的解析式，然后利用周期性求出函數(shù)在上的解析式，結(jié)合解析式對(duì)其單調(diào)性以及函數(shù)值符號(hào)下結(jié)論．【題目詳解】設(shè)，則，，由于函數(shù)為上的奇函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，則.所以，函數(shù)在上是增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)值符號(hào)的判斷，解決函數(shù)問(wèn)題關(guān)鍵在于求出函數(shù)的解析式，本題的核心在于利用奇偶性與周期性求出函數(shù)的解析式，屬于中等題．12、C【解題分析】

先安排第一節(jié)的課表種，再安排第二節(jié)的課表有2種，第三節(jié)的課表也有2種，最后一節(jié)只有1種安排方案，所以可求.【題目詳解】先安排第一節(jié)的課表，除去語(yǔ)文均可以安排共有種；周二的第二節(jié)不和第一節(jié)相同，也不和周一的第二節(jié)相同，共有2種安排方案，第三節(jié)和第四節(jié)的順序是確定的；周三的第二節(jié)也有2種安排方案，剩余位置的安排方案只有1種，根據(jù)計(jì)數(shù)原理可得種，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：先設(shè),再代入，利用復(fù)數(shù)相等的概念得到z,再求.詳解：設(shè)，代入得所以，故答案為.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查復(fù)數(shù)的計(jì)算和復(fù)數(shù)的模，考查復(fù)數(shù)相等的概念，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和基本的計(jì)算能力.(2)求復(fù)數(shù)z可以利用直接法和待定系數(shù)法，本題利用的是待定系數(shù)法.14、{2,4,6,8}【解題分析】分析：詳解：因?yàn)?,表示A集合和B集合“加”起來(lái)的元素，重復(fù)的元素只寫(xiě)一個(gè)，所以點(diǎn)睛：在求集合并集時(shí)要注意集合的互異性.15、【解題分析】

從頂點(diǎn)到3總共有5個(gè)岔口，共有10種走法，每一岔口走法的概率都是，二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式，即可求解.【題目詳解】由題意，從頂點(diǎn)到3的路線(xiàn)圖單獨(dú)畫(huà)出來(lái)，如圖所示，可得從頂點(diǎn)到3總共有種走法，其中每一岔口走法的概率都是，所以珠子從出口3出來(lái)的概率為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二項(xiàng)分布的一個(gè)模型，其中解答中認(rèn)真審題，合理利用二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.16、；【解題分析】

曲線(xiàn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，這個(gè)變換可分成兩個(gè)步驟：先是關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，再關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)得到.【題目詳解】繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°等同于先關(guān)于直線(xiàn)翻折，再關(guān)于軸翻折，關(guān)于直線(xiàn)翻折得到，再關(guān)于軸翻折得到.【題目點(diǎn)撥】本題表面考查旋轉(zhuǎn)變換，而實(shí)質(zhì)考查的是兩次的軸對(duì)稱(chēng)變換，要注意指數(shù)函數(shù)與同底數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），；（2）【解題分析】分析：（1）把曲線(xiàn)的參數(shù)方程化為普通方程，再把普通方程化為極坐標(biāo)方程；

把曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程即可；

（Ⅱ）由點(diǎn)是圓的圓心得線(xiàn)段是圓的直徑，從而得；

在極坐標(biāo)系下，設(shè)，，，分別代入橢圓方程中，求出的值，求和即得的值．詳解：1曲線(xiàn)的參數(shù)方程是為參數(shù)，化為普通方程是；化為極坐標(biāo)方程是；又曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程是，化為直角坐標(biāo)方程是；2點(diǎn)、的極坐標(biāo)分別是、，直角坐標(biāo)系下點(diǎn)，；直線(xiàn)與圓相交于P、Q兩點(diǎn)，所得線(xiàn)段PQ是圓的直徑；，，；又A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，在極坐標(biāo)系下，設(shè)，，分別代入方程中，有，；解得，；；即．點(diǎn)睛：本題考查了參數(shù)方程與極坐標(biāo)的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)熟練地把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為普通方程，明確參數(shù)以及極坐標(biāo)中各個(gè)量的含義，是較難的題目．18、（1）2；（2）2.【解題分析】分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出a的值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值即可；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，令，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可.詳解：（1），由是的極值點(diǎn)，得，.易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所有當(dāng)時(shí)，在上取得最小值2.(2)由(1)知，此時(shí)，，令，，，令，，在單調(diào)遞增，且，，在時(shí)，，，由，，又，且，所以的最大值為2.點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道綜合題.19、(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析【解題分析】

（1）根據(jù)基本不等式得，，再利用不等式性質(zhì)三式相乘得結(jié)果，（2）根據(jù)基本不等式得，，再三式相加得結(jié)果【題目詳解】證明：因?yàn)闉檎龜?shù)，所以，同理，所以因?yàn)?，所以?）證明：由，且，可得，同理可得，三式相加，可得，即為，則成立．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用基本不等式證明不等式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.20、（1）；（2）1【解題分析】

(1)利用二倍角公式化簡(jiǎn)即得A的值.(2)先利用正弦定理化簡(jiǎn)得，再利用余弦定理求a的值.【題目詳解】⑴,又因?yàn)闉殇J角三角形，，，.⑵，，，.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角恒等變換，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.21、(1)不能；(2)①；②分布列見(jiàn)解析，.【解題分析】

（1）根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)可求2×2列聯(lián)表即可；計(jì)算K的觀測(cè)值K2，對(duì)照題目中的表格，得出統(tǒng)計(jì)結(jié)論．（2）由相互獨(dú)立事件的概率可得男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率：P＝1﹣（）3﹣（）3，解出X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）即可；【題目詳解】(1)由圖中表格可得列聯(lián)表如下:非“環(huán)保關(guān)注者”是“環(huán)保關(guān)注者”合計(jì)男104555女153045合計(jì)2575100將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得K”的觀測(cè)值，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下，不能認(rèn)為是否為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān).(2)視頻率為概率,用戶(hù)為男“環(huán)保達(dá)人”的概率為.為女“環(huán)保達(dá)人”的概率為，①抽取的3名用戶(hù)中既有男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率為；②的取值為10，20，30，40.,,,,所以的分布列為10203040.【題目點(diǎn)撥】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題，考查了概率分布列和期望，計(jì)算能力的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題目．22、（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）見(jiàn)解析【解題分析】分析：（1）求出的導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間，注意在解不等式時(shí)要按的值分類(lèi)討論；（2）由（1）的結(jié)論知當(dāng)時(shí)，，題中不等式成立，而當(dāng)時(shí)，題中不等式不恒成立；（3）時(shí)，由（2）知上有，從而，令，然