2024屆廣東省潮州市名校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆廣東省潮州市名校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間(，)單調(diào)遞增的是A．f(x)=│cos2x│ B．f(x)=│sin2x│C．f(x)=cos│x│ D．f(x)=sin│x│2．的展開(kāi)式存在常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)的最小值為（）A．5 B．6 C．7 D．143．復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．某地舉辦科技博覽會(huì)，有個(gè)場(chǎng)館，現(xiàn)將個(gè)志愿者名額分配給這個(gè)場(chǎng)館，要求每個(gè)場(chǎng)館至少有一個(gè)名額且各場(chǎng)館名額互不相同的分配方法共有（）種A． B． C． D．5．已知集合，，，則（）A． B． C． D．6．在區(qū)間[-1,4]內(nèi)取一個(gè)數(shù)x,則≥的概率是（）A． B． C． D．7．已知的展開(kāi)式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（）A． B． C． D．8．觀察下列各式：3272112152……據(jù)此規(guī)律.所得的結(jié)果都是8的倍數(shù).由此推測(cè)可得（）A．其中包含等式：1032-1=10608 B．C．其中包含等式：532-1=2808 D．9．下列命題是真命題的是（）A．，B．設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件C．“”是“”的充分不必要條件D．的充要條件是10．過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A． B． C．10 D．2011．已知平面，，直線，滿足，，則下列是的充分條件是（）A． B． C． D．12．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為_(kāi)___．14．已知，為銳角，，，則的值為_(kāi)_______.15．在下列命題中：①兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大??；②復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限；③若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)；④若，則；⑤“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充要條件；⑥復(fù)數(shù)；⑦復(fù)數(shù)滿足；⑧復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù).其中正確命題的是______.（填序號(hào)）16．如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c為常數(shù)，則四面體ABCD的體積的最大值是.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）學(xué)校為了對(duì)教師教學(xué)水平和教師管理水平進(jìn)行評(píng)價(jià)，從該校學(xué)生中選出300人進(jìn)行統(tǒng)計(jì).其中對(duì)教師教學(xué)水平給出好評(píng)的學(xué)生人數(shù)為總數(shù)的，對(duì)教師管理水平給出好評(píng)的學(xué)生人數(shù)為總數(shù)的，其中對(duì)教師教學(xué)水平和教師管理水平都給出好評(píng)的有120人.（1）填寫教師教學(xué)水平和教師管理水平評(píng)價(jià)的列聯(lián)表：對(duì)教師管理水平好評(píng)對(duì)教師管理水平不滿意合計(jì)對(duì)教師教學(xué)水平好評(píng)對(duì)教師教學(xué)水平不滿意合計(jì)請(qǐng)問(wèn)是否可以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.001的前提下，認(rèn)為教師教學(xué)水平好評(píng)與教師管理水平好評(píng)有關(guān)？（2）若將頻率視為概率，有4人參與了此次評(píng)價(jià)，設(shè)對(duì)教師教學(xué)水平和教師管理水平全好評(píng)的人數(shù)為隨機(jī)變量.①求對(duì)教師教學(xué)水平和教師管理水平全好評(píng)的人數(shù)的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；②求的數(shù)學(xué)期望和方差.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中）18．（12分）已知直線的參數(shù)方程是，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)是，是曲線上一動(dòng)點(diǎn)，求的最大值.19．（12分）[選修4-5：不等式選講]設(shè)函數(shù).（1）若不等式的解集為，求的值；（2）在（1）的條件下，若不等式恒成立，求的取值范圍.20．（12分）某校高二年級(jí)成立了垃圾分類宣傳志愿者小組,有7名男同學(xué),3名女同學(xué),在這10名學(xué)生中,1班和2班各有兩名同學(xué),3班至8班各有一名同學(xué),現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué),利用節(jié)假日到街道進(jìn)行垃圾分類宣傳活動(dòng)(每位同學(xué)被選到的可能性相同)(1)求選出的3名同學(xué)是來(lái)自不同班級(jí)的概率;(2)設(shè)為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），過(guò)原點(diǎn)的兩條直線分別與曲線交于異于原點(diǎn)的、兩點(diǎn)，且,其中的傾斜角為.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求和的極坐標(biāo)方程；（2）求的最大值.22．（10分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，，.（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

本題主要考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，滲透直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．畫出各函數(shù)圖象，即可做出選擇．【題目詳解】因?yàn)閳D象如下圖，知其不是周期函數(shù)，排除D；因?yàn)?，周期為，排除C，作出圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調(diào)遞增，A正確；作出的圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調(diào)遞減，排除B，故選A．【題目點(diǎn)撥】利用二級(jí)結(jié)論：①函數(shù)的周期是函數(shù)周期的一半；②不是周期函數(shù)；2、C【解題分析】

化簡(jiǎn)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為零，根據(jù)為正整數(shù)，求得的最小值.【題目詳解】，令，則，當(dāng)時(shí)，有最小值為7.故選C.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，考查與正整數(shù)有關(guān)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】

化簡(jiǎn)，寫出共軛復(fù)數(shù)即可根據(jù)復(fù)平面的定義選出答案．【題目詳解】，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解題分析】

“每個(gè)場(chǎng)館至少有一個(gè)名額的分法”相當(dāng)于在24個(gè)名額之間的23個(gè)空隙中選出兩個(gè)空隙插入分隔符號(hào)，則有種方法，再列舉出“至少有兩個(gè)場(chǎng)館的名額數(shù)相同”的分配方法，進(jìn)而得到滿足題中條件的分配方法.【題目詳解】每個(gè)場(chǎng)館至少有一個(gè)名額的分法為種，至少有兩個(gè)場(chǎng)館的名額相同的分配方法有（1，1，22），（2,2,20），（3,3,18），（4,4,16），（5,5,14），（6,6,12），（7,7,10），（8,8,8），（9,9,6），（10,10,4），（11,11,2），再對(duì)場(chǎng)館分配，共有種，所以每個(gè)場(chǎng)館至少有一個(gè)名額且各校名額互不相同的分配方法共有種，故選A.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)形同元素的分配問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有隔板法，在解題的過(guò)程中，注意對(duì)至少兩個(gè)場(chǎng)館分配名額相同的要去除.5、D【解題分析】

按照補(bǔ)集、交集的定義，即可求解.【題目詳解】，，.

故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的混合計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】

先解不等式，確定解集的范圍，然后根據(jù)幾何概型中的長(zhǎng)度模型計(jì)算概率.【題目詳解】因?yàn)?，所以，解得，所?【題目點(diǎn)撥】幾何概型中長(zhǎng)度模型（區(qū)間長(zhǎng)度）的概率計(jì)算：.7、A【解題分析】由題意可得：，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得：奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：1．二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)是展開(kāi)式的第k＋1項(xiàng)，這是解決二項(xiàng)式定理有關(guān)問(wèn)題的基礎(chǔ)．在利用通項(xiàng)公式求指定項(xiàng)或指定項(xiàng)的系數(shù)要根據(jù)通項(xiàng)公式討論對(duì)k的限制．2．因?yàn)槎?xiàng)式定理中的字母可取任意數(shù)或式，所以在解題時(shí)根據(jù)題意，給字母賦值，是求解二項(xiàng)展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和的一種重要方法．3．二項(xiàng)式定理的應(yīng)用主要是對(duì)二項(xiàng)展開(kāi)式正用、逆用，要充分利用二項(xiàng)展開(kāi)式的特點(diǎn)和式子間的聯(lián)系．8、A【解題分析】

先求出數(shù)列3,7,11,15，……的通項(xiàng)，再判斷得解.【題目詳解】數(shù)列3,7,11,15，……的通項(xiàng)為an當(dāng)n=26時(shí)，a26故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查歸納推理，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】

取特殊值來(lái)判斷A選項(xiàng)中命題的正誤，取特殊數(shù)列來(lái)判斷B選項(xiàng)中命題的正誤，求出不等式，利用集合包含關(guān)系來(lái)判斷C選項(xiàng)命題的正誤，取特殊向量來(lái)說(shuō)明D選項(xiàng)中命題的正誤．【題目詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以，A選項(xiàng)中的命題錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則等比數(shù)列的公比為，但數(shù)列是遞減數(shù)列，若，等比數(shù)列是遞增數(shù)列，公比為，所以，“”是“為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件，B選項(xiàng)中的命題正確；對(duì)于C選項(xiàng)，解不等式，得或，由于，所以，“”是“”的既不充分也不必要條件，C選項(xiàng)中的命題錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，但與不一定垂直，所以，D選項(xiàng)中的命題錯(cuò)誤．故選B.10、D【解題分析】

判斷函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，得出過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)時(shí)，得出A，B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，則有，再計(jì)算的值．【題目詳解】，∴函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，∴過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，∴，則．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的對(duì)稱性，以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題，是中檔題．11、D【解題分析】

根據(jù)直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，依次判斷每個(gè)選項(xiàng)的充分性和必要性，判斷得到答案.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，可以，或，或相交，不充分，錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，可以，或，或相交，不充分，錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，不能得到，錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，則，充分性；當(dāng)時(shí)，，故，與關(guān)系不確定，故不必要，正確；故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，充分條件，意在考查學(xué)生的空間想象能力和推斷能力.12、C【解題分析】由，得，則，故選C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】

根據(jù)約束條件得到可行域，令，則取最大值時(shí)，在軸截距最大；通過(guò)平移可知過(guò)時(shí)即可，代入求得最大值.【題目詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：令，則取最大值時(shí)，在軸截距最大通過(guò)平移可知當(dāng)過(guò)時(shí)，在軸截距最大本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查線性規(guī)劃求解最值的問(wèn)題，關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為截距最值的求解問(wèn)題，屬于?？碱}型.14、【解題分析】試題分析：依題意，所以，所以.考點(diǎn)：三角恒等變換．15、⑧【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的定義和性質(zhì)，依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【題目詳解】①當(dāng)復(fù)數(shù)虛部為0時(shí)可以比較大小，①錯(cuò)誤；②復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，②錯(cuò)誤；③若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)，③錯(cuò)誤；④若，不能得到，舉反例，④錯(cuò)誤；⑤“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件，⑤錯(cuò)誤；⑥復(fù)數(shù)，取，不能得到，⑥錯(cuò)誤；⑦復(fù)數(shù)滿足，取，，⑦錯(cuò)誤；⑧復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義知⑧正確.故答案為：⑧.【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的性質(zhì)，定義，意在考查學(xué)生對(duì)于復(fù)數(shù)知識(shí)的理解和掌握.16、【解題分析】

作BE⊥AD于E，連接CE，則AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，由題設(shè)，B與C都是在以AD為焦距的橢球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，所以BE=CE.取BC中點(diǎn)F，連接EF，則EF⊥BC，EF=2，，四面體ABCD的體積，顯然，當(dāng)E在AD中點(diǎn)，即B是短軸端點(diǎn)時(shí)，BE有最大值為b=，所以.[評(píng)注]本題把橢圓拓展到空間，對(duì)缺少聯(lián)想思維的考生打擊甚大！當(dāng)然，作為填空押軸題，區(qū)分度還是要的，不過(guò)，就搶分而言，膽大、靈活的考生也容易找到突破點(diǎn)：AB=BD(同時(shí)AC=CD)，從而致命一擊，逃出生天！三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)可以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.001的前提下，認(rèn)為教師教學(xué)水平好評(píng)與教師管理水平好評(píng)有關(guān).(2)①見(jiàn)解析②，【解題分析】分析：（1）由題意得到列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表求得的值后，再根據(jù)臨界值表可得結(jié)論．（2）①由條件得到的所有可能取值，再求出每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，由此可得分布列．②由于，結(jié)合公式可得期望和方差．詳解：（1）由題意可得關(guān)于教師教學(xué)水平和教師管理水平評(píng)價(jià)的列聯(lián)表：對(duì)教師管理水平好評(píng)對(duì)教師管理水平不滿意合計(jì)對(duì)教師教學(xué)水平好評(píng)12060180對(duì)教師教學(xué)水平不滿意10515120合計(jì)22575300由表中數(shù)據(jù)可得，所以可以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.001的前提下，認(rèn)為教師教學(xué)水平好評(píng)與教師管理水平好評(píng)有關(guān).（2）①對(duì)教師教學(xué)水平和教師管理水平全好評(píng)的概率為，且的取值可以是0，1，2，3，4，其中；；；；，所以的分布列為：01234②由于，則，.點(diǎn)睛：求離散型隨機(jī)變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差公式進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于二項(xiàng)分布的均值和方差可根據(jù)公式直接計(jì)算即可．18、（1）；（2）【解題分析】

(1)直接利用極坐標(biāo)公式化曲線C為直角坐標(biāo)方程.（2）由題意知,利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|MN|,再利用三角函數(shù)知識(shí)求其最大值.【題目詳解】⑴由題得.⑵由題意知,，當(dāng)時(shí)，.【題目點(diǎn)撥】(1)本題主要考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，考查距離最值的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)圓錐曲線的參數(shù)方程的一個(gè)重要作用就是設(shè)點(diǎn).所以一般情況下，設(shè)點(diǎn)有三種方式，一是利用直角坐標(biāo)設(shè)點(diǎn)，這是最普遍的一種.二是利用參數(shù)方程設(shè)點(diǎn)，三是利用極坐標(biāo)設(shè)點(diǎn)，大家要注意靈活選用.19、（1）（2）【解題分析】試題分析：（1）由條件得，進(jìn)而得，解得不等式對(duì)應(yīng)解集為，即可得解；（2）不等式恒成立，只需，從而得解.試題解析：解：（1）因?yàn)椋?，所以，所?因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以，解?（2）由（1）得.不等式恒成立，只需，所以，即，所以的取值范圍是.20、(1)(2)見(jiàn)解析【解題分析】

（1）設(shè)“選出的3名同學(xué)是來(lái)自不同班級(jí)”為事件，由題目信息可知事件A對(duì)應(yīng)的基本事件有個(gè)，總的基本事件有個(gè)，利用概率公式即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)題意，可知隨機(jī)變量的所有可能值為，結(jié)合，分別求得的值，進(jìn)而列出分布列，利用公式求得其期望.【題目詳解】（1）設(shè)“選出的3名同學(xué)是來(lái)自不同班級(jí)”為事件，則答：選出的3名同學(xué)是來(lái)自不同班級(jí)的概率為.（2）隨機(jī)變量的所有可能值為∴的分布列為0123答：選出的3名同學(xué)中女同學(xué)人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)離散型隨機(jī)變量的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有古典概型概率公式，離散型隨機(jī)變量分布列及其期望，屬于簡(jiǎn)單題目.21、（1），；（2）4【解題分析】

（1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，然后由代入化簡(jiǎn)后得出曲線的極坐標(biāo)方程，由直線過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為可直接得出直線的極坐標(biāo)方程；（