2024屆山東省臨沂市羅莊區(qū)七校聯(lián)考數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題含解析

2024屆山東省臨沂市羅莊區(qū)七校聯(lián)考數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，函數(shù)的圖象的一部分如圖所示，則正確的是（）A．的極大值為，極小值為B．的極大值為，極小值為C．的極大值為，極小值為D．的極大值為，極小值為2．點M的極坐標(biāo)為（1，π），則它的直角坐標(biāo)為（）A．（1，0） B．（，0） C．（0，1） D．（0，）3．已知各項不為的等差數(shù)列，滿足，數(shù)列是等比數(shù)列，且，則（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，若在上有解，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．5．A． B． C． D．6．在極坐標(biāo)系中，點關(guān)于極點的對稱點為A． B． C． D．7．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．箱子中有標(biāo)號為1，2，3，4，5，6且大小、形狀完全相同的6個球，從箱子中一次摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩球號碼之積是4的倍數(shù)，則獲獎．若有4人參與摸獎，則恰好有3人獲獎的概率為()A．16625 B．96625 C．6249．定義在上的函數(shù)，滿足為的導(dǎo)函數(shù)，且，若，且，則有（）A． B．C． D．不確定10．設(shè)，則的值為（）A．29 B．49C．39 D．5911．已知函數(shù)，若有兩個零點，，則的取值范圍是（）A． B．C． D．12．已知雙曲線，兩條漸近線與圓相切，若雙曲線的離心率為，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)實數(shù)x，y滿足，則的最小值為___________.14．的展開式中，設(shè)各項的系數(shù)和為a，各項的二項式系數(shù)和為b，則________.15．已知，2sin2α=cos2α+1，則cosα=__________16．如果不等式的解集為，且，那么實數(shù)的取值范圍是____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）一個盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個函數(shù)：，，，（I）從中任意拿取張卡片，若其中有一張卡片上寫著的函數(shù)為奇函數(shù)，在此條件下，求兩張卡片上寫著的函數(shù)相加得到的新函數(shù)為奇函數(shù)的概率；（II）現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張寫有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，求抽取次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.18．（12分）已知等比數(shù)列的前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，，求數(shù)列的前項和.19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），過原點的兩條直線分別與曲線交于異于原點的、兩點，且,其中的傾斜角為.以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求和的極坐標(biāo)方程；（2）求的最大值.20．（12分）已知集合，．(Ⅰ)當(dāng)時，求A∩(?RB)；(Ⅱ)當(dāng)時，求實數(shù)m的值．21．（12分）已知函數(shù)，其中為實數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個極值點，求證：.22．（10分）已知橢圓：的離心率為，直線被圓截得的弦長為.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線交橢圓于，兩點，在軸上是否存在定點，使得為定值？若存在，求出點的坐標(biāo)和的值；若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

由的圖象可以得出在各區(qū)間的正負(fù)，然后可得在各區(qū)間的單調(diào)性，進(jìn)而可得極值.【題目詳解】由圖象可知：當(dāng)和時，，則；當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則.所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.所以的極小值為，極大值為.故選C.【題目點撥】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，解題的突破點是由已知函數(shù)的圖象得出的正負(fù)性.2、B【解題分析】

將極坐標(biāo)代入極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的互化公式，即可得到直角坐標(biāo)方程.【題目詳解】將極坐標(biāo)代入互化公式得：，，所以直角坐標(biāo)為：.故選B.【題目點撥】本題考查極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的公式，注意特殊角三角函數(shù)值不要出錯.3、B【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得：，變?yōu)椋?，解得（舍去），所以，因為?shù)列是等比數(shù)列，所以，故選B.4、D【解題分析】

首先判斷函數(shù)單調(diào)性為增.,將函數(shù)不等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為普通的不等式,再把不等式轉(zhuǎn)換為兩個函數(shù)的大小關(guān)系,利用圖像得到答案.【題目詳解】在定義域上單調(diào)遞增，，則由，得，，則當(dāng)時，存在的圖象在的圖象上方.，，則需滿足.選D.【題目點撥】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,解不等式,將不等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖像關(guān)系等知識,其中當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增時,是解題的關(guān)鍵.5、D【解題分析】分析：根據(jù)公式，可直接計算得詳解：，故選D.點睛：復(fù)數(shù)題是每年高考的必考內(nèi)容，一般以選擇或填空形式出現(xiàn)，屬簡單得分題，高考中復(fù)數(shù)主要考查的內(nèi)容有：復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)的乘除運算，在解決此類問題時，注意避免忽略中的負(fù)號導(dǎo)致出錯.6、C【解題分析】分析：在極坐標(biāo)系中，關(guān)于極點的對稱點為詳解：∵關(guān)于極點的對稱點為，

∴關(guān)于極點的對稱點為．

故選：C．點睛：本題考查一個點關(guān)于極點的對稱點的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)性質(zhì)的合理運用．7、B【解題分析】

對復(fù)數(shù)進(jìn)行整理化簡，從得到其在復(fù)平面所對應(yīng)的點，得到答案.【題目詳解】復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，位于第二象限.故選：B.【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運算，考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)點所在象限，屬于簡單題.8、B【解題分析】獲獎的概率為p=6C62=25，記獲獎的人數(shù)為ξ，ξ~B(4,9、A【解題分析】

函數(shù)滿足，可得.由，易知，當(dāng)時，，單調(diào)遞減.由，則.當(dāng),則.當(dāng),則,，，即.故選A.10、B【解題分析】

根據(jù)二項式特點知，，，，，為正，，，，，為負(fù)，令，得.【題目詳解】因為，，，，為正，，，，，為負(fù)，令，得，故選：B.【題目點撥】本題主要考查了二項式的系數(shù)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解題分析】

求出函數(shù)的解析式，并求出零點、關(guān)于的表達(dá)式，令，知，并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的值域，即可作出的取值范圍．【題目詳解】因為函數(shù)，所以，，由，得，，由，得，設(shè)，則，所以，，設(shè)，則，，，即函數(shù)在上是減函數(shù)，，故選B.【題目點撥】本題考查函數(shù)零點積的取值范圍，對于這類問題就是要利用函數(shù)的解析式求出函數(shù)零點的表達(dá)式，并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來求出其范圍，難點在于構(gòu)造函數(shù)，考查分析問題的能力，屬于難題．12、A【解題分析】

先由離心率確定雙曲線的漸近線方程，再由漸近線與圓相切，列出方程，求解，即可得出結(jié)果.【題目詳解】漸近線方程為：，又因為雙曲線的離心率為，，所以，故漸近線方程為，因為兩條漸近線與圓相切，得：，解得；故選A。【題目點撥】本題主要考查由直線與圓的位置關(guān)系求出參數(shù)，以及由雙曲線的離心率求漸近線方程，熟記雙曲線的簡單性質(zhì)，以及直線與圓的位置關(guān)系即可，屬于?？碱}型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由題意畫出可行域，令，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為，數(shù)形結(jié)合即可得解.【題目詳解】由題意畫出可行域，如圖，令，則，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)直線過點A時，取最小值，由可得點，所以.故答案為：.【題目點撥】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，屬于基礎(chǔ)題.14、1【解題分析】

分別求得各項系數(shù)和與各項的二項式系數(shù)和，從而求得的值．【題目詳解】解：在的展開式中，令可得設(shè)各項的系數(shù)和為，而各項的二項式系數(shù)和為，，故答案為：1．【題目點撥】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，注意各項系數(shù)和與各項的二項式系數(shù)和的區(qū)別，屬于基礎(chǔ)題．15、【解題分析】

化簡2sin2α=cos2α+1即可得出sinα與cosα之間的關(guān)系式，再計算即可【題目詳解】因為，2sin2α=cos2α+1所以，化簡得解得【題目點撥】本題考查倍角的相關(guān)計算，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

將不等式兩邊分別畫出圖形，根據(jù)圖像得到答案.【題目詳解】不等式的解集為，且畫出圖像知：故答案為：【題目點撥】本題考查了不等式的解法，將不等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖像是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）數(shù)學(xué)期望為.【解題分析】

（Ⅰ）所有的基本事件包括兩類：一類為兩張卡片上寫的函數(shù)均為奇函數(shù)；另一類為兩張卡片上寫的函數(shù)為一個是奇函數(shù)，一個為偶函數(shù)，先求出基本事件總數(shù)為，滿足條件的基本事件為兩張卡片上寫的函數(shù)均為奇函數(shù)，再求出滿足條件的基本事件個數(shù)為，由此能求出結(jié)果．（Ⅱ）ξ可取1，2，3，1．分別求出對應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．【題目詳解】解：(Ⅰ)為奇函數(shù)；為偶函數(shù)；為偶函數(shù)；為奇函數(shù);為偶函數(shù)；為奇函數(shù)，所有的基本事件包括兩類：一類為兩張卡片上寫的函數(shù)均為奇函數(shù)；另一類為兩張卡片上寫的函數(shù)為一個是奇函數(shù)，一個為偶函數(shù)；基本事件總數(shù)為，滿足條件的基本事件為兩張卡片上寫的函數(shù)均為奇函數(shù)，滿足條件的基本事件個數(shù)為，故所求概率.(Ⅱ)可取；;；故的分布列為.的數(shù)學(xué)期望為.【題目點撥】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.求解該類問題，首先要正確理解題意，其次要準(zhǔn)確無誤的找出隨機(jī)變量的所以可能值，計算出相應(yīng)的概率，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運用均值、方差的公式進(jìn)行計算，也就是要過三關(guān)：（1）閱讀理解關(guān)；（2）概率計算關(guān)；（3）公式應(yīng)用關(guān).18、（1）；（2）.【解題分析】試題分析：(1)由題意求得首項和公比，據(jù)此可得數(shù)列的通項公式為；(2)錯位相減可得數(shù)列的前項和.試題解析：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，∵，，∴，∵，∴，∴，∴或，∵，∴，，∴；（2），，，，∴，∴.19、（1），；（2）4【解題分析】

（1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，然后由代入化簡后得出曲線的極坐標(biāo)方程，由直線過原點且傾斜角為可直接得出直線的極坐標(biāo)方程；（2）由題干條件得出直線、的極坐標(biāo)方程分別為、，然后將這兩條直線的參數(shù)方程分別代入曲線的極坐標(biāo)方程可得出和，利用誘導(dǎo)公式以及輔助角公式化簡得出關(guān)于的三角函數(shù)表達(dá)式，并利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．【題目詳解】（1）由消去參數(shù)得普通方程為，即，所以極坐標(biāo)方程為，即.的極坐標(biāo)方程為.（2）將代入得，將代入得因為，所以.當(dāng)時，的最大值為．【題目點撥】本題考查參數(shù)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，考查極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，利用極坐標(biāo)解決實際問題時，需注意極坐標(biāo)適用于曲線上的點與原點線段長度相關(guān)的問題，解法步驟如下：（1）將曲線方程用極坐標(biāo)方程表示出來，并將與原點相連的直線用極坐標(biāo)方程表示；（2）將直線方程與曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)立，求出線段長度關(guān)于極角的三函數(shù)；（3）利用三角恒等變換思想以及三角函數(shù)基本性質(zhì)求解．20、（Ⅰ）{x|3≤x≤5，或x＝﹣1}（Ⅱ）m＝1【解題分析】

（Ⅰ）求出A＝{y|﹣1≤y≤5}，m＝3時，求出B＝{x|﹣1＜x＜3}，然后進(jìn)行補(bǔ)集、交集的運算即可；（Ⅱ）根據(jù)A∪B＝{x|﹣2＜x≤5}即可得出，x＝﹣2是方程x2﹣2x﹣m＝0的實數(shù)根，帶入方程即可求出m．【題目詳解】（Ⅰ）A＝{y|﹣1≤y≤5}，m＝3時，B＝{x|﹣1＜x＜3}；∴?RB＝{x|x≤﹣1，或x≥3}；∴A∩（?RB）＝{x|3≤x≤5，或x＝﹣1}；（Ⅱ）∵A∪B＝{x|﹣2＜x≤5}；∴x＝﹣2是方程x2﹣2x﹣m＝0的一個實根；∴4+4﹣m＝0；∴m＝1．經(jīng)檢驗滿足題意【題目點撥】本題考查交集、補(bǔ)集的運算，涉及不等式的性質(zhì)，描述法的定義，一元二次不等式的解法的知識方法，屬于基礎(chǔ)題．21、（1）見解析；（2）證明見解析【解題分析】

（1）計算導(dǎo)數(shù)，采用分類討論的方法，，與，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判定原函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可得，然后構(gòu)造新函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，并計算最值，然后與比較大小，可得結(jié)果.【題目詳解】（1）函數(shù)的定義域為，①若，即時，則，此時的單調(diào)減區(qū)間為；②若，時，令的兩根為，，，所以的單調(diào)減區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為.③當(dāng)時，，，此時的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值點，且，.則則要證，只需證.構(gòu)造函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，又，，且在定義域上不間斷，由零點存在定理可知：在上唯一實根，且.則在上遞減，上遞增，所以的最小值為.因為，當(dāng)，，則，所以恒成立.所以，所以，得證.【題目點撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難點在于分類討論思想的應(yīng)用，同時掌握構(gòu)造函數(shù)，化繁為簡，考驗分析能力以及極強(qiáng)的邏輯推理能力，綜合性較強(qiáng)，屬難題.22、（1）；（2），.【解題分析】

（1）由橢圓的離心率為，求得,再由圓的性質(zhì)和圓的弦長公式，求得，進(jìn)而可求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)的方程：，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得，再利用向量的數(shù)量積的運算和代數(shù)式的性質(zhì)，即