北京市朝陽陳經(jīng)綸中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

北京市朝陽陳經(jīng)綸中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法種數(shù)是()A．420 B．210 C．70 D．352．設(shè)函數(shù)在處存在導數(shù)，則（）A． B． C． D．3．若將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A． B．C． D．4．若存在兩個正實數(shù)，使得等式成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．5．已知向量，則與的夾角為（）A．0 B． C． D．6．已知橢圓方程為x24+y225=1，將此橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為V1，滿足y≥-5A．V2=C．V2=54V7．在中，角的對邊分別是，若，則（）A．5 B． C．4 D．38．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入x值滿足則輸出y值的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，若、，，使得成立，則的取值范圍是（）．A． B． C． D．或10．函數(shù)的最小值為0，則m的取值范圍是()A．(1，2) B．(－1，2)C．[1，2) D．[－1，2)11．是異面直線的公垂線，在線段上(異于)，則的形狀是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．三角形不定12．在二項式的展開式中，其常數(shù)項是15.如下圖所示，陰影部分是由曲線和圓及軸圍成的封閉圖形，則封閉圖形的面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某一部件由四個電子元件按如圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3或元件4正常工作，則部件正常工作.設(shè)四個電子元件的使用壽命（單位：小時）均服從正態(tài)分布，且各個元件能否正常工作相互獨立，那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為__________．14．已知數(shù)列的前項和，則__________．15．某市有1200名中學生參加了去年春季的數(shù)學學業(yè)水平考試，從中隨機抽取了100人的考試成績統(tǒng)計得到如圖所示的頻率分布直方圖，據(jù)此可以估計這1200名學生中考試成績超過80分的人數(shù)為___________人。16．若冪函數(shù)的圖像過點，則的值為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)，若過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）若，求的最小值；（2）若，證明：.19．（12分）己知數(shù)列中，，其前項和滿足：．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）令，數(shù)列的前項和為，證明：對于任意的，都有．20．（12分）已知函數(shù)在處取得極大值為9.（1）求，的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值.21．（12分）已知時，函數(shù)，對任意實數(shù)都有，且，當時，（1）判斷的奇偶性；（2）判斷在上的單調(diào)性，并給出證明；（3）若且，求的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)，若存在，使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

將不同的染色方案分為：相同和不同兩種情況，相加得到答案.【題目詳解】按照的順序：當相同時：染色方案為當不同時：染色方案為不同的染色方案為：種故答案為A【題目點撥】本題考查了加法原理和乘法原理，把染色方案分為相同和不同兩種情況是解題的關(guān)鍵.2、A【解題分析】

通過變形，結(jié)合導數(shù)的定義可以直接得出答案.【題目詳解】.選A.【題目點撥】本題考查了導數(shù)的定義，適當?shù)淖冃问墙忸}的關(guān)鍵.3、A【解題分析】

利用三角恒等變換化簡的解析式，再根據(jù)的圖象變換規(guī)律求得的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【題目詳解】解：將函數(shù)的圖象上所有的橫坐標伸長為原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，令，求得，可得的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：A.【題目點撥】本題主要考查三角恒等變換，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】試題分析：由得，即，即設(shè)，則，則條件等價為，即有解，設(shè)，為增函數(shù)，∵，∴當時，，當時，，即當時，函數(shù)取得極小值為：，即，若有解，則，即，則或，故選D．考點：函數(shù)恒成立問題.【方法點晴】本題主要考查不等式恒成立問題，根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)相交問題，利用構(gòu)造法和導數(shù)法求出函數(shù)的極值和最值是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，難度較大根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系將方程進行轉(zhuǎn)化，利用換元法轉(zhuǎn)化為方程有解，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)極值和單調(diào)性的關(guān)系進行求解即可．5、C【解題分析】由題設(shè)，故，應選答案C．6、C【解題分析】

根據(jù)題意畫出圖形，分別求出橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為V1與滿足y≥-50≤x≤2y≤52【題目詳解】在同一平面直角坐標系中畫出橢圓與旋轉(zhuǎn)體如圖，橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體為橢球，其體積為V1滿足y≥-50≤x≤2y≤5其體積V2=π×2故選：C．【題目點撥】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)體的體積及學生的計算能力，屬于中檔題．7、D【解題分析】

已知兩邊及夾角，可利用余弦定理求出．【題目詳解】由余弦定理可得：，解得.故選D.【題目點撥】本題主要考查利用正余弦定理解三角形，注意根據(jù)條件選用合適的定理解決．8、A【解題分析】

直接利用程序框圖和分段函數(shù)求出結(jié)果.【題目詳解】當時，，當時，，得，即.故選：A【題目點撥】本題考查了程序框圖以及分段函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】

對的范圍分類討論，當時，函數(shù)在上遞增，在上遞減，即可判斷：、，，使得成立.當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可判斷：一定不存在、，，使得成立，問題得解.【題目詳解】當時，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，則：、，，使得成立.當時，，函數(shù)在上遞增，在也遞增，又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時一定不存在、，，使得成立.故選：B【題目點撥】本題主要考查了分類思想及轉(zhuǎn)化思想，還考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于難題。10、B【解題分析】

化簡函數(shù)為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及在時取得最小值0，求出的范圍.【題目詳解】函數(shù)在區(qū)間(－1，＋∞)上是減函數(shù)．當x＝2時，y＝0.根據(jù)題意x∈(m，n]時，.所以m的取值范圍是－1＜m＜2，故選B.【題目點撥】該題所考查的是利用函數(shù)在某個區(qū)間上的最值，來確定區(qū)間對應的位置，涉及到的知識點有反比例型函數(shù)的單調(diào)性，確定最值在哪個點處取，從而求得對應的參數(shù)的取值范圍，屬于簡單題目.11、C【解題分析】

用表示出，結(jié)合余弦定理可得為鈍角．【題目詳解】如圖，由可得平面，從而，線段長如圖所示，由題意，，，顯然，∴，為鈍角，即為鈍角三角形．故選C．【題目點撥】本題考查異面直線垂直的性質(zhì)，考查三角形形狀的判斷．解題關(guān)鍵是用表示出．12、B【解題分析】

用二項式定理得到中間項系數(shù)，解得a，然后利用定積分求陰影部分的面積．【題目詳解】（x1+）6展開式中，由通項公式可得,令11﹣3r＝0，可得r＝4,即常數(shù)項為，可得＝15，解得a＝1．曲線y＝x1和圓x1+y1＝1的在第一象限的交點為（1，1）所以陰影部分的面積為．故選：B【題目點撥】本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：先求出四個電子元件的使用壽命超過1000小時的概率都為，再設(shè)A={元件1或元件2正常工作}，B={元件3或元件4正常工作},再求P(A),P(B),再求P(AB)得解.詳解：由于四個電子元件的使用壽命（單位：小時）均服從正態(tài)分布，所以四個電子元件的使用壽命超過1000小時的概率都為設(shè)A={元件1或元件2正常工作}，B={元件3或元件4正常工作},所以所以該部件的使用壽命超過1000小時的概率為.故答案為：.點睛：（1）本題主要考查正態(tài)分布曲線，考查獨立事件同時發(fā)生的概率，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)一般地，如果事件相互獨立，那么這個事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即．14、64【解題分析】分析：由題意，根據(jù)數(shù)列的和的關(guān)系，求得，即可求解的值.詳解：由題意，數(shù)列的前項和為，當時，，所以點睛：本題主要考查了數(shù)列中和的關(guān)系，其中利用數(shù)列的和的關(guān)系求解數(shù)列的通項公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力.15、420【解題分析】

在頻率分布直方圖中，求出成績超過80分的小組的面積之和，求出頻率，最后估計這1200名學生中考試成績超過80分的人數(shù).【題目詳解】成績超過80分的小組分別是，面積之和為，因此這1200名學生中考試成績超過80分的人數(shù)估計為.【題目點撥】本題考查了頻率直方圖的性質(zhì)及應用，考查了數(shù)學運算能力.16、【解題分析】

將點代入解析式，求出a，再求f（4）即可．【題目詳解】由題意f（2）=，所以a=﹣，所以f（x）=，所以f（4）=故答案為【題目點撥】本題考查求冪函數(shù)的解析式、對冪函數(shù)求值，屬基本運算的考查．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）8（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)二項定理展開式展開，即可確定對應項的系數(shù)，即可求解.（Ⅱ）代入值后可求得的解析式，經(jīng)過檢驗可知點不在曲線上，即可設(shè)切點坐標為，代入曲線方程并求得，由導數(shù)的幾何意義及兩點間斜率公式，可得方程，且由題意可知該方程有三個不同的實數(shù)根；分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，進而求得，令求得極值點和極值，由直線截此圖象有三個交點即可確定的取值范圍.【題目詳解】（Ⅰ）根據(jù)二項式定理展開式的應用，展開可得所以（Ⅱ）由題意因為點不在曲線上，所以可設(shè)切點為．則．因為，所以切線的斜率為．則，即．因為過點可作曲線的三條切線，所以方程有三個不同的實數(shù)解．分離參數(shù)，設(shè)函數(shù)，所以，令，可得，令，解得或，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．所以的極大值為，極小值為.用直線截此圖象，當兩圖象有三個交點，即時，即可作曲線的三條切線.【題目點撥】本題考查了二項式定理展開式的簡單應用，兩點間斜率公式及導數(shù)的幾何意義應用，分離參數(shù)及構(gòu)造函數(shù)研究三次函數(shù)性質(zhì)的綜合應用，屬于中檔題.18、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】分析：（1）先利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求的最小值.(2)先求的最小值為,再證明＞0.詳解：（1）若，,所以,設(shè)，則所以在上為增函數(shù)，又，所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.所以的最小值為.（2）由題意知當時，顯然成立.當時，由（1）知在上為增函數(shù)，因為,所以存在唯一的使得，即,所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.所以的最小值為,,,當且僅當，即時取等號.代入得，矛盾，所以等號不能成立.所以，所以.點睛：（1）本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，考查利用導數(shù)證明不等式，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理轉(zhuǎn)化能力.(2)解答本題有兩個難點，其一是求得的最小值為,其二是證明＞0，用到了基本不等式，同時要注意取等的問題.19、（Ⅰ）（Ⅱ）見解析【解題分析】

（Ⅰ）由，可得，即數(shù)列時以1為首項公比為2的等比數(shù)列，即可求解．（Ⅱ），當時，，當時，，即有．【題目詳解】（Ⅰ）由，于是，當時,，即，，∵，數(shù)列為等比數(shù)列，∴，即．（Ⅱ），∴當時，，當時，顯然成立，綜上，對于任意的，都有．【題目點撥】本題考查了數(shù)列的遞推式，等比數(shù)列的求和、放縮法，屬于中檔題．20、(1).(2)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為9，最小值為.【解題分析】分析：（I）首先求解導函數(shù)，然后結(jié)合，可得.（II）由（I）得，結(jié)合導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值可知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為9，最小值為.詳解：（I）依題意得，即，解得.經(jīng)檢驗，上述結(jié)果滿足題意.（II）由（I）得，令，得；令，得，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，的單調(diào)遞增區(qū)間是，，，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為9，最小值為.點睛：(1)可導函數(shù)y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號不同．(2)若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有極值．21、(1)偶函數(shù).(2)見解析.(3).【解題分析】

(1)利用賦值法得到，即得函數(shù)的奇偶性.(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義嚴格證明.(3)先求出，再解不等式.【題目詳解】（1）令，則，，為偶函數(shù).（2）設(shè)，，∵時，，∴，∴，故在上是增函數(shù).（3）∵,又∴∵，∴，即，又故.【題目點撥】(1)本題主要考查抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的