山西省懷仁第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量檢測試題含解析

山西省懷仁第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由變成時(shí)，左邊增加了（）A．1項(xiàng) B．項(xiàng) C．項(xiàng) D．項(xiàng)2．為了考察兩個(gè)變量x和y之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩個(gè)同學(xué)各自獨(dú)立做了15次和20次試驗(yàn)，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線為l1和l2，已知在兩人的試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對變量x的觀測數(shù)據(jù)的平均值恰好相等，都為s，對變量y的觀測數(shù)據(jù)的平均值也恰好相等，都為t，那么下列說法正確的是()A．直線l1和直線l2有交點(diǎn)(s，t) B．直線l1和直線l2相交，但交點(diǎn)未必是點(diǎn)(s，t)C．直線l1和直線l2必定重合 D．直線l1和直線l2由于斜率相等，所以必定平行3．已知，則（）A．0.6 B．3.6 C．2.16 D．0.2164．已知橢圓E:x2a2+y24=1，設(shè)直線l:y=kx+1k∈R交橢圓A．mx+y+m=0 B．mx+y-m=0C．mx-y-1=0 D．mx-y-2=05．從混有4張假鈔的10張一百元紙幣中任意抽取3張，若其中一張是假幣的條件下，另外兩張都是真幣的概率為（）A． B． C． D．6．設(shè)，是實(shí)數(shù)，則的充要條件是（）A． B． C． D．7．過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)，且，則（）A． B． C． D．8．已知隨機(jī)變量服從的分布列為123…nP…則的值為（）A．1 B．2 C． D．39．某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．10．唐代詩人杜牧的七絕唐詩中的兩句詩為“今來海上升高望，不到蓬萊不成仙。”其中后一句“成仙”是“到蓬萊”的（）A．充分非必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件11．已知雙曲線的離心率為，焦點(diǎn)是，，則雙曲線方程為（）A． B．C． D．12．若函數(shù)，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則的傾斜角大小為__________．14．在的展開式中，的系數(shù)為__________（用數(shù)字作答）．15．已知復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實(shí)部為__________.16．已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某屆奧運(yùn)會(huì)上，中國隊(duì)以26金18銀26銅的成績稱金牌榜第三、獎(jiǎng)牌榜第二，某校體育愛好者在高三年級(jí)一班至六班進(jìn)行了“本屆奧運(yùn)會(huì)中國隊(duì)表現(xiàn)”的滿意度調(diào)查結(jié)果只有“滿意”和“不滿意”兩種，從被調(diào)查的學(xué)生中隨機(jī)抽取了50人，具體的調(diào)查結(jié)果如表：

班號(hào)

一班

二班三班

四班

五班

六班

頻數(shù)

5

9

11

9

7

9

滿意人數(shù)

4

7

8

5

6

6（1）在高三年級(jí)全體學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)估計(jì)該生持滿意態(tài)度的概率；（2）若從一班至二班的調(diào)查對象中隨機(jī)選取4人進(jìn)行追蹤調(diào)查，記選中的4人中對“本屆奧運(yùn)會(huì)中國隊(duì)表現(xiàn)”不滿意的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．18．（12分）2018年6月14日，世界杯足球賽在俄羅斯拉開帷幕，世界杯給俄羅斯經(jīng)濟(jì)帶來了一定的增長，某紀(jì)念商品店的銷售人員為了統(tǒng)計(jì)世界杯足球賽期間商品的銷售情況，隨機(jī)抽查了該商品商店某天200名顧客的消費(fèi)金額情況，得到如圖頻率分布表：將消費(fèi)顧客超過4萬盧布的顧客定義為”足球迷”，消費(fèi)金額不超過4萬盧布的顧客定義為“非足球迷”．消費(fèi)金額/萬盧布合計(jì)顧客人數(shù)93136446218200（1）求這200名顧客消費(fèi)金額的中位數(shù)與平均數(shù)（同一組中的消費(fèi)金額用該組的中點(diǎn)值作代表；（2）該紀(jì)念品商店的銷售人員為了進(jìn)一步了解這200名顧客喜歡紀(jì)念品的類型，采用分層抽樣的方法從“非足球迷”，“足球迷”中選取5人，再從這5人中隨機(jī)選取3人進(jìn)行問卷調(diào)查，則選取的3人中“非足球迷”人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．19．（12分）已知函數(shù)（且，e為自然對數(shù)的底數(shù).）（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的值.20．（12分）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)與的圖像上存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，已知在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.21．（12分）如圖,在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=3,AD=2,AB=2,BC=6.(1)求證:BD⊥平面PAC;(2)求二面角P-BD-A的大小.22．（10分）全民健身倡導(dǎo)全民做到每天參加一次以上的體育健身活動(dòng)，旨在全面提高國民體質(zhì)和健康水平.某市的體育部門對某小區(qū)的4000人進(jìn)行了“運(yùn)動(dòng)參與度”統(tǒng)計(jì)評分（滿分100分），得到了如下的頻率分布直方圖：（1）求這4000人的“運(yùn)動(dòng)參與度”的平均得分（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)作代表）；（2）由直方圖可認(rèn)為這4000人的“運(yùn)動(dòng)參與度”的得分服從正態(tài)分布，其中，分別取平均得分和方差，那么選取的4000人中“運(yùn)動(dòng)參與度”得分超過84.81分（含84.81分）的人數(shù)估計(jì)有多少人？（3）如果用這4000人得分的情況來估計(jì)全市所有人的得分情況，現(xiàn)從全市隨機(jī)抽取4人，記“運(yùn)動(dòng)參與度”的得分不超過84.81分的人數(shù)為，求.（精確到0.001）附：①，；②，則，；③.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

分別寫出、時(shí)，不等式左邊的式子，從而可得結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，不等式左邊為，當(dāng)時(shí)，不等式左邊為，則增加了項(xiàng)，故選D.【題目點(diǎn)撥】項(xiàng)數(shù)的變化規(guī)律，是利用數(shù)學(xué)歸納法解答問題的基礎(chǔ)，也是易錯(cuò)點(diǎn)，要使問題順利得到解決，關(guān)鍵是注意兩點(diǎn)：一是首尾兩項(xiàng)的變化規(guī)律；二是相鄰兩項(xiàng)之間的變化規(guī)律.2、A【解題分析】

根據(jù)回歸直線過樣本數(shù)據(jù)中心點(diǎn)，并結(jié)合回歸直線的斜率來進(jìn)行判斷。【題目詳解】由于回歸直線必過樣本的數(shù)據(jù)中心點(diǎn)，則回歸直線和回歸直線都過點(diǎn)，做了兩次試驗(yàn)，兩條回歸直線的斜率沒有必然的聯(lián)系，若斜率不相等，則兩回歸直線必交于點(diǎn)，若斜率相等，則兩回歸直線重合，所以，A選項(xiàng)正確，B、C、D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查回歸直線的性質(zhì)，考查“回歸直線過樣本數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)”這個(gè)結(jié)論，同時(shí)也要抓住回歸直線的斜率來理解，考查分析理解能力，屬于基礎(chǔ)題。3、B【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)分布的期望的計(jì)算公式求解即可得到結(jié)果．【題目詳解】∵，∴．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)分布的期望，解題的關(guān)鍵是熟記此類分布期望的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解題分析】

在直線l中取k值，對應(yīng)地找到選項(xiàng)A、B、C中的m值，使得直線與給出的直線關(guān)于坐標(biāo)軸或原點(diǎn)具有對稱性得出答案。【題目詳解】當(dāng)直線l過點(diǎn)-1,0，取m=-1，直線l和選項(xiàng)A中的直線重合，故排除A；當(dāng)直線l過點(diǎn)1,0，取m=-1，直線l和選項(xiàng)B中的直線關(guān)于y軸對稱，被橢圓E截得的弦長相同，故排除B；當(dāng)k=0時(shí)，取m=0，直線l和選項(xiàng)C中的直線關(guān)于x軸對稱，被橢圓E截得的弦長相同，故排除C；直線l的斜率為k，且過點(diǎn)0,1，選項(xiàng)D中的直線的斜率為m，且過點(diǎn)0,-2，這兩條直線不關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對稱，故被橢圓E所截得的弦長不可能相等。故選：D?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，通過給變量取特殊值，舉反例來說明某個(gè)命題不正確，是一種簡單有效的方法，屬于中等題。5、A【解題分析】分析:直接利用條件概率公式求解.詳解：由條件概率公式得.故答案為A點(diǎn)睛：（1）本題主要考查條件概率，意在考查學(xué)生對條件概率的掌握水平.(2)條件概率一般有“在已發(fā)生的條件下”這樣的關(guān)鍵詞，表明這個(gè)條件已經(jīng)發(fā)生，發(fā)生了才能稱為條件概率.但是有時(shí)也沒有，要靠自己利用條件概率的定義識(shí)別.6、C【解題分析】

利用不等式的基本性質(zhì)證明與可進(jìn)行互推.【題目詳解】對選項(xiàng)C進(jìn)行證明，即是的充要條件，必要性：若，則兩邊同時(shí)3次方式子仍成立，，成立；充分性：若成，兩邊開時(shí)開3次方根式子仍成立，，成立.【題目點(diǎn)撥】在證明充要條件時(shí)，要注意“必要性”與“充分性”的證明方向.7、C【解題分析】

由已知可得，再由，即可求出結(jié)論.【題目詳解】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為，點(diǎn)在拋物線上，所以，.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)用焦半徑公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】

由概率之和為1，列出等式，即可求得k值.【題目詳解】由概率和等于1可得：，即.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查分布列中概率和為1，由知識(shí)點(diǎn)列式即可得出結(jié)論.9、B【解題分析】

由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)四棱錐挖掉半個(gè)圓錐所得，故利用棱錐的體積減去半個(gè)圓錐的體積，就可求得幾何體的體積.【題目詳解】由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)四棱錐挖掉半個(gè)圓錐所得，故其體積為.故選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查由三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)，考查不規(guī)則幾何體體積的求解方法，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解題分析】

根據(jù)命題的“真、假”，條件與結(jié)論的關(guān)系即可得出選項(xiàng)?！绢}目詳解】不到蓬萊不成仙，成仙到蓬萊，“成仙”是到“到蓬萊”的充分條件，但“到蓬萊”是否“成仙”不確定，因此“成仙”是“到蓬萊”的充分非必要條件。故選：A【題目點(diǎn)撥】充分、必要條件有三種判斷方法：1、定義法：直接判斷“若則”和“若則”的真假。2、等假法：利用原命題與逆否命題的關(guān)系判斷。3、若，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若,則A是B的充要條件。11、A【解題分析】由題意e=2，c=4，由e=，可解得a=2，又b2=c2﹣a2，解得b2=12所以雙曲線的方程為．故答案為．故答案選A.12、A【解題分析】

首先計(jì)算，然后再計(jì)算的值.【題目詳解】,.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了分段函數(shù)求值，屬于計(jì)算題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：根據(jù)題意，將直線的參數(shù)方程變形為普通方程，由直線的方程形式分析可得答案.詳解：根據(jù)題意，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則直線的普通的方程為：，斜率為，傾斜角為.故答案為：.點(diǎn)睛：本題考查直線的參數(shù)方程及傾斜角，注意將直線的參數(shù)方程變形為普通方程.14、60【解題分析】，它展開式中的第項(xiàng)為，令，則，的系數(shù)為，故答案為.15、【解題分析】

通過分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)化簡，從而得到答案.【題目詳解】由題意復(fù)數(shù)，因此復(fù)數(shù)的實(shí)部為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，實(shí)部的相關(guān)概念，難度不大.16、【解題分析】

先由題意，得顯然不是方程的根；當(dāng)時(shí)，原方程可化為，令，，用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，確定函數(shù)的大致形狀，原方程有四個(gè)根，即等價(jià)于的圖象與直線有四個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象，即可求出結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，由得，令，，即，則，方程有四個(gè)不相等的實(shí)根等價(jià)于的圖象與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則，由得，由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，函數(shù)的極小值為；當(dāng)時(shí)，，則，由得；由得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)的極大值為.畫出函數(shù)的大致圖象如下：由圖象可得，只需.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的問題，熟記分段函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值等，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法求解即可，屬于?？碱}型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析【解題分析】分析：（1）因?yàn)樵诒怀槿〉?0人中，持滿意態(tài)度的學(xué)生共16人，即可得出持滿意態(tài)度的頻率．

（2）ξ的所有可能取值為0，1，2，1．利用超幾何分布列的概率計(jì)算公式與數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式即可得出．詳解：因?yàn)樵诒怀槿〉?0人中，持滿意態(tài)度的學(xué)生共16人，所以持滿意態(tài)度的頻率為，據(jù)此估計(jì)高三年級(jí)全體學(xué)生持滿意態(tài)度的概率為．的所有可能取值為0，1，2，1．；；；．的分布列為：

0

1

2

1

P

．點(diǎn)睛：本題考查了超幾何分布列的概率計(jì)算公式與數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬中檔題．18、（1）見解析；（2）見解析.【解題分析】

（1）在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值．平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，這樣就可以求出這200名顧客消費(fèi)金額的中位數(shù)與平均數(shù)．（2）通過頻率分布表可以求“足球迷”與“非足球迷”的人數(shù)比，這樣可以求出從“足球迷”“非足球迷”中選取5人，其中“足球迷”的人數(shù)及“非足球迷”的人數(shù)，這樣可以求出選取的3人中非足球迷的人數(shù)，取值是多少，求出它們相對應(yīng)的概率，最后列出分布列，算出數(shù)學(xué)期望．【題目詳解】（1）設(shè)這200名顧客消費(fèi)金額的中位數(shù)為t，則有，解得所以這200名顧客消費(fèi)金額的中位數(shù)為，這200名顧客消費(fèi)金額的平均數(shù)，所以這200名顧客的消費(fèi)金額的平均數(shù)為3.367萬盧布．(2)由頻率分布表可知，“足球迷”與“非足球迷”的人數(shù)比為，采用分層抽樣的方法，從“足球迷”“非足球迷”中選取5人，其中“足球迷”有人，“非足球迷”有人．設(shè)為選取的3人中非足球迷的人數(shù)，取值為1,2,3.則．分布列為：1230.30.60.1.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用頻率分布表求中位數(shù)、平均數(shù)．考查了求離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望的方法．19、（1）（2）【解題分析】

（1）代入，得，所以，求出，由直線方程的點(diǎn)斜式，即可得到切線方程；（2）分和兩種情況，考慮函數(shù)的最小值，令最小值等于0，即可得到a的值.【題目詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，∴切線方程為;（2），，令，得，1）當(dāng)時(shí)，，x－0＋極小值所以當(dāng)時(shí)，有最小值，.因?yàn)楹瘮?shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)和時(shí)，都有，所以，即，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以此方程無解.2）當(dāng)時(shí)，，x－0＋極小值所以當(dāng)時(shí)，有最小值，.因?yàn)楹瘮?shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)和時(shí)，都有，所以，即（）（*），設(shè)（），則，令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，，所以方程（*）有且只有一解.綜上，時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查在曲線上一點(diǎn)的切線方程的求法，以及利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想.20、(1)(2)見證明【解題分析】

（1）將問題轉(zhuǎn)化為在有解，即在上有解，通過求解的最小值得到；（2）通過極值點(diǎn)為可求得，通過構(gòu)造函數(shù)的方式可得：；通過求證可證得，進(jìn)而可證得結(jié)論.【題目詳解】（1）函數(shù)與的圖像上存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)即的圖像與函數(shù)的圖像有交點(diǎn)即在有解，即在上有解設(shè)，，則當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，即（2），在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且且，即設(shè)，則要證，即證只需證明，即證明設(shè)，則則在上單調(diào)遞增，即【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)來解