廣東二師學院番禺附學2024屆數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

廣東二師學院番禺附學2024屆數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)水平測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．2．設是兩個平面向量，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．設，則的值為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A． B． C． D．5．2018年某地區(qū)空氣質量的記錄表明，一天的空氣質量為優(yōu)良的概率為0.8，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率為0.6，若今天的空氣質量為優(yōu)良，則明天空氣質量為優(yōu)良的概率是（）A．0.48 B．0.6 C．0.75 D．0.86．若過點可作兩條不同直線與曲線段C：相切，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．7．運用祖暅原理計算球的體積時，構造一個底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱，與半球（如圖一）放置在同一平面上，然后在圓柱內挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐（如圖二），用任何一個平行與底面的平面去截它們時，可證得所截得的兩個截面面積相等，由此證明該幾何體與半球體積相等.現(xiàn)將橢圓繞軸旋轉一周后得一橄欖狀的幾何體（如圖三），類比上述方法，運用祖暅原理可求得其體積等于（）A． B． C． D．8．某一批花生種子，如果每1粒發(fā)芽的概率為，那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是（）A． B． C． D．9．已知集合，則（）A． B． C． D．10．過拋物線的焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，且，為坐標原點，則的面積與的面積之比為A． B． C． D．211．從標有1、2、3、4、5的五張卡片中，依次不放回地抽出2張，則在第一次抽到奇數(shù)的情況下，第二次抽到偶數(shù)的概率為()A． B． C． D．12．下列命題錯誤的是（）A．命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B．若為假命題，則均為假命題C．對于命題：，使得，則：，均有D．“”是“”的充分不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．是正四棱錐，是正方體，其中，，則到平面的距離為________14．若交大附中共有名教職工，那么其中至少有兩人生日在同一天的概率為__________．15．冪函數(shù)的圖像過點,則的減區(qū)間為__________.16．已知函數(shù)的圖象上存在點,函數(shù)的圖象上存在點,且點和點關于原點對稱，則實數(shù)的取值范圍是________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)在處取到極值.（1）求實數(shù)的值，并求出函數(shù)的單調區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值及相應的的值.18．（12分）用0，1，2，3，4五個數(shù)字組成五位數(shù).（1）求沒有重復數(shù)字的五位數(shù)的個數(shù)；（2）求沒有重復數(shù)字的五位偶數(shù)的個數(shù).19．（12分）已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函數(shù)的極大值．20．（12分）（學年上海市楊浦區(qū)高三數(shù)學一模）如圖所示，用總長為定值的籬笆圍成長方形的場地，以墻為一邊，并用平行于一邊的籬笆隔開.（1）設場地面積為，垂直于墻的邊長為，試用解析式將表示成的函數(shù)，并確定這個函數(shù)的定義域；（2）怎樣圍才能使得場地的面積最大？最大面積是多少？21．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求關于的不等式的解集；（2）若關于的不等式有解，求的取值范圍.22．（10分）互聯(lián)網正在改變著人們的生活方式，在日常消費中手機支付正逐漸取代現(xiàn)金支付成為人們首選的支付方式.某學生在暑期社會活動中針對人們生活中的支付方式進行了調查研究.采用調查問卷的方式對100名18歲以上的成年人進行了研究，發(fā)現(xiàn)共有60人以手機支付作為自己的首選支付方式，在這60人中，45歲以下的占，在仍以現(xiàn)金作為首選支付方式的人中，45歲及以上的有30人.（1）從以現(xiàn)金作為首選支付方式的40人中，任意選取3人，求這3人至少有1人的年齡低于45歲的概率；（2）某商家為了鼓勵人們使用手機支付，做出以下促銷活動：凡是用手機支付的消費者，商品一律打八折.已知某商品原價50元，以上述調查的支付方式的頻率作為消費者購買該商品的支付方式的概率，設銷售每件商品的消費者的支付方式都是相互獨立的，求銷售10件該商品的銷售額的數(shù)學期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】分析：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線AD1與DB1所成角的余弦值．詳解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，∵在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，∴A（1，0，0），D1（0，0，2），D（0，0，0），B1（1，1，2），=（﹣1，0，2），=（1，1，2），設異面直線AD1與DB1所成角為θ，則cosθ=∴異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為．故答案為：A．點睛：（1）本題主要考查異面直線所成的角的向量求法，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析轉化能力.(2)異面直線所成的角的常見求法有兩種，方法一：（幾何法）找作（平移法、補形法）證（定義）指求（解三角形）；方法二：（向量法），其中是異面直線所成的角，分別是直線的方向向量.2、A【解題分析】

由，則是成立的；反之，若，而不一定成立，即可得到答案.【題目詳解】由題意是兩個平面向量，若，則是成立的；反之，若，則向量可能是不同的，所以不一定成立，所以是是成立的充分而不必要條件，故選A.【題目點撥】本題主要考查了向量的概念以及向量模的概念的應用，以及充分條件與必要條件的判定，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.3、A【解題分析】

解析：當時，；當時，，故，應選答案A．4、C【解題分析】

根據圖像最低點求得，根據函數(shù)圖像上兩個特殊點求得的值，由此求得函數(shù)解析式，進而求得的值.【題目詳解】根據圖像可知，函數(shù)圖像最低點為，故，所以，將點代入解析式得，解得，故，所以，故選C.【題目點撥】本小題主要考查根據三角函數(shù)圖象求三角函數(shù)解析式，并求三角函數(shù)值，屬于中檔題.5、C【解題分析】

設隨后一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是，利用條件概率公式能求出結果．【題目詳解】一天的空氣質量為優(yōu)良的概率為，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率為，設隨后一天空氣質量為優(yōu)良的概率為，若今天的空氣質量為優(yōu)良，則明天空氣質量為優(yōu)良，則有，，故選C．【題目點撥】本題考查條件概率，屬于基礎題．6、D【解題分析】

設切點為，寫出切線方程為，把代入，關于的方程在上有兩個不等實根，由方程根的分布知識可求解.【題目詳解】設切點為，,則切線方程為，在切線上，可得，函數(shù)在上遞增，在上遞減，，又，，∴如果有兩解，則.故選：D.【題目點撥】本題考查導數(shù)的幾何意義，考查方程根的分布問題。由方程根的個數(shù)確定參數(shù)取值范圍，可采用分離參數(shù)法，轉化為直線與函數(shù)圖象交點個數(shù)問題。7、C【解題分析】

根據橢圓方程,構造一個底面半徑為2,高為3的圓柱,通過計算可知高相等時截面面積相等,因而由祖暅原理可得橄欖球幾何體的體積的一半等于圓柱的體積減去圓錐的體積.【題目詳解】由橢圓方程,構造一個底面半徑為2,高為3的圓柱在圓柱中挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點、上底面為底面的圓錐當截面與底面距離為時，截圓錐得到的截面小圓半徑為則，即所以截面面積為把代入橢圓方程，可求得所以橄欖球形狀幾何體的截面面積為由祖暅原理可得橄欖球幾何體的體積為故選:C【題目點撥】本題考查了類比推理的綜合應用,空間幾何體體積的求法,屬于中檔題.8、B【解題分析】

解：根據題意，播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽即4次獨立重復事件恰好發(fā)生2次，由n次獨立重復事件恰好發(fā)生k次的概率的公式可得，故選B．9、A【解題分析】

先求得集合的元素，由此求得兩個集合的交集.【題目詳解】依題意，故,故選A.【題目點撥】本小題主要考查兩個集合的交集的求法，考查對數(shù)運算，屬于基礎題.10、D【解題分析】

設點位于第一象限，點，并設直線的方程為，將該直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理得出，由拋物線的定義得出點的坐標，可得出點的縱坐標的值，最后得出的面積與的面積之比為的值.【題目詳解】設點位于第一象限，點，設直線的方程為，將該直線方程與拋物線方程聯(lián)立，得，，由拋物線的定義得，得，，，，可得出，，故選：D.【題目點撥】本題考查拋物線的定義、直線與拋物線的綜合問題，考查韋達定理在直線與拋物線綜合問題中的應用，解題的關鍵在于利用拋物線的定義以及韋達定理求點的坐標，并將三角形的面積比轉化為高之比來處理，考查運算求解能力，屬于中等題。11、B【解題分析】由題意，記“第一次抽到奇數(shù)”為事件A，記“第二次抽到偶數(shù)”為事件B，則，，所以.故選B.12、B【解題分析】

由原命題與逆否命題的關系即可判斷A；由復合命題的真值表即可判斷B;由特稱命題的否定是全稱命題即可判斷C；根據充分必要條件的定義即可判斷D；．【題目詳解】A．命題：“若p則q”的逆否命題為：“若￢q則￢p”，故A正確；B．若p∧q為假命題，則p，q中至少有一個為假命題，故B錯．C．由含有一個量詞的命題的否定形式得，命題p：?x∈R，使得x2+x+1＜0，則￢p為：?x∈R，均有x2+x+1≥0，故C正確；D．由x2﹣3x+2＞0解得，x＞2或x＜1，故x＞2可推出x2﹣3x+2＞0，但x2﹣3x+2＞0推不出x＞2，故“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要條件，即D正確故選：B．【題目點撥】本題考查簡易邏輯的基礎知識：四種命題及關系，充分必要條件的定義，復合命題的真假和含有一個量詞的命題的否定，這里要區(qū)別否命題的形式，本題是一道基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，的坐標，利用距離公式，即可得到結論.【題目詳解】解：以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，

設平面的法向量是，

，

∴由，可得

取得，

，

∴到平面的距離.故答案為：.【題目點撥】本題考查點到平面的距離，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題.14、1【解題分析】分析：根據每年有天，可判斷名教職工，中至少有兩人生日在同一天為必然事件,從而可得結果.詳解：假設每一天只有一個人生日，則還有人，所以至少兩個人同日生為必然事件，所以至少有兩人生日在同一天的概率為，故答案為.點睛：本題考查必然事件的定義以及必然事件的概率，屬于簡單題.15、【解題分析】

設冪函數(shù)的解析式為，代入點，得到的值，得到的解析式和定義域，再寫出的解析式，研究其定義域和單調區(qū)間，從而求出的減區(qū)間.【題目詳解】設冪函數(shù)的解析式為代入點，得，所以所以冪函數(shù)為，定義域為，所以，則需要即其定義域為或，而的對稱軸為所以其單調減區(qū)間為所以的減區(qū)間為.【題目點撥】本題考查求冪函數(shù)的解析式，求具體函數(shù)的單調區(qū)間，屬于簡單題.16、【解題分析】

由題可以轉化為函數(shù)y＝a+2lnx（x∈[，e]）的圖象與函數(shù)y＝x2+2的圖象有交點，即方程a+2lnx＝x2+2（x∈[，e]）有解，即a＝x2+2﹣2lnx（x∈[，e]）有解，令f（x）＝x2+2﹣2lnx，利用導數(shù)法求出函數(shù)的值域，可得答案．【題目詳解】函數(shù)y＝﹣x2﹣2的圖象與函數(shù)y＝x2+2的圖象關于原點對稱，若函數(shù)y＝a+2lnx（x∈[，e]）的圖象上存在點P，函數(shù)y＝﹣x2﹣2的圖象上存在點Q，且P，Q關于原點對稱，則函數(shù)y＝a+2lnx（x∈[，e]）的圖象與函數(shù)y＝x2+2的圖象有交點，即方程a+2lnx＝x2+2（x∈[，e]）有解，即a＝x2+2﹣2lnx（x∈[，e]）有解，令f（x）＝x2+2﹣2lnx，則f′（x），當x∈[，1）時，f′（x）＜0，當x∈（1，e]時，f′（x）＞0，故當x＝1時，f（x）取最小值3，由f（）4，f（e）＝e2，故當x＝e時，f（x）取最大值e2，故a∈[3，e2]，故答案為【題目點撥】本題考查的知識點是函數(shù)圖象的對稱性，函數(shù)的值域，難度中檔．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），函數(shù)在單調遞減，在和上單調遞增（2），此時；，此時【解題分析】

（1）先求導，再根據導數(shù)和函數(shù)的極值的關系即可求出，（2）根據導數(shù)和函數(shù)的最值得關系即可求出．【題目詳解】解：（1）由條件得，又在處取到極值，故，解得.此時由，解得或，由，解得，因此，函數(shù)在單調遞減，在和上單調遞增.（2）由（1）可知函數(shù)在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增.故，此時；此時.【題目點撥】本題考查了函數(shù)的單調性、極值問題，最值問題，考查轉化思想，屬于中檔題．18、（1）96（2）60【解題分析】分析：（1）首位有種選法，后四位所剩四個數(shù)任意排列有種方法根據分部乘法計數(shù)原理，可求沒有重復數(shù)字的五位數(shù)的個數(shù)；（2）由題意，分2類：末尾是0的五位偶數(shù)；末尾不是0的五位偶數(shù)，最后根據分類加法計數(shù)原理，可求沒有重復數(shù)字的五位偶數(shù)個數(shù).詳解：（I）首位有種選法，后四位所剩四個數(shù)任意排列有種方法根據分部乘法計數(shù)原理，所求五位數(shù)個數(shù)為（II）由題意，分2類末尾是0的五位偶數(shù)個數(shù)有個末尾不是0的五位偶數(shù)個數(shù)有個∴根據分類加法計數(shù)原理，沒有重復數(shù)字的五位偶數(shù)個數(shù)為個點睛：本題考查排列組合知識的綜合應用，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）將點代入切線方程得出，利用導數(shù)的幾何意義得出，于此列方程組求解出實數(shù)、的值；（Ⅱ）求出函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)求導，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間，分析出該函數(shù)的極大值點并求出該函數(shù)的極大值?！绢}目詳解】（Ⅰ）由，得．由曲線在點處的切線方程為，得，，解得．（Ⅱ），．，解得；，解得；所以函數(shù)的增區(qū)間：；減區(qū)間：，時，函數(shù)取得極大值，函數(shù)的極大值為．【題目點撥】本題考查導數(shù)的幾何意義，考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值，求解時要熟練應用導數(shù)求函數(shù)極值的基本步驟，另外在處理直線與函數(shù)圖象相切的問題時，抓住以下兩