2024屆山東省泰安市寧陽一中高二數(shù)學第二學期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2024屆山東省泰安市寧陽一中高二數(shù)學第二學期期末聯(lián)考模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．六位同學站成一排照相，若要求同學甲站在同學乙的左邊，則不同的站法有（）A．種 B．種 C．種 D．種2．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（）A． B． C． D．3．由曲線，，，圍成圖形繞y軸旋轉一周所得為旋轉體的體積為，滿足，，的點組成的圖形繞y軸旋一周所得旋轉體的體積為，則（）A． B． C． D．4．定義在上的函數(shù)若滿足：①對任意、，都有；②對任意，都有，則稱函數(shù)為“中心捺函數(shù)”，其中點稱為函數(shù)的中心.已知函數(shù)是以為中心的“中心捺函數(shù)”，若滿足不等式，當時，的取值范圍為（）A． B． C． D．5．已知是空間中兩條不同的直線，是兩個不同的平面，有以下結論：①②③④.其中正確結論的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．36．為了落實中央提出的精準扶貧政策，永濟市人力資源和社會保障局派人到開張鎮(zhèn)石橋村包扶戶貧困戶，要求每戶都有且只有人包扶，每人至少包扶戶，則不同的包扶方案種數(shù)為（）A． B． C． D．7．設△ABC的三邊長分別為a，b，c，△ABC的面積為S，則△ABC的內(nèi)切圓半徑為.將此結論類比到空間四面體：設四面體的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，體積為V，則四面體的內(nèi)切球半徑為r＝（）A． B．C． D．8．已知隨機變量，若，則（）A． B． C． D．9．下列運算正確的為（）A．（為常數(shù)） B．C． D．10．5名同學在“五一”的4天假期中，隨便選擇一天參加社會實踐，不同的選法種數(shù)是（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)=2x-3A．-1 B．1 C．-2 D．212．若隨機變量服從正態(tài)分布在區(qū)間上的取值概率是0.2，則在區(qū)間上的取值概率約是()A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)=______.14．集合,集合,若,則實數(shù)_________.15．將4個不同的小球任意放入3個不同的盒子中，則每個盒子中至少有1個小球的概率為________．16．已知，且復數(shù)是純虛數(shù),則_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知海島與海岸公路的距離為，，間的距離為，從到，需先乘船至海岸公路上的登陸點，船速為，再乘汽車至，車速為，設.（1）用表示從海島到所用的時間，并指明的取值范圍；（2）登陸點應選在何處，能使從到所用的時間最少？18．（12分）某高中高二年級1班和2班的學生組隊參加數(shù)學競賽，1班推薦了2名男生1名女生，2班推薦了3名男生2名女生.由于他們的水平相當，最終從中隨機抽取4名學生組成代表隊.（Ⅰ）求1班至少有1名學生入選代表隊的概率；（Ⅱ）設表示代表隊中男生的人數(shù)，求的分布列和期望.19．（12分）在直角坐標系中，以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.(1)求曲線的直角坐標方程；曲線的極坐標方程。(2)當曲線與曲線有兩個公共點時，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線交于，兩點，求.21．（12分）“節(jié)約用水”自古以來就是中華民族的優(yōu)良傳統(tǒng)．某市統(tǒng)計局調(diào)查了該市眾多家庭的用水量情況，繪制了月用水量的頻率分布直方圖，如下圖所示．將月用水量落入各組的頻率視為概率，并假設每天的用水量相互獨立．（l）求在未來連續(xù)3個月里，有連續(xù)2個月的月用水量都不低于12噸且另1個月的月用水量低于4噸的概率；（2）用表示在未來3個月里月用水量不低于12噸的月數(shù)，求隨杌變量的分布列及數(shù)學期望．22．（10分）對于給定的常數(shù),設隨機變量.（1）求概率.①說明它是二項式展開式中的第幾項；②若,化簡：；（2）設，求，其中為隨機變量的數(shù)學期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

先作分類，甲在左邊第一位，有；甲在左邊第二位，有；甲在左邊第三位，有；甲在左邊第四位，有；甲在左邊第五位，有；然后直接相加求解即可【題目詳解】甲在左邊第一位，有；甲在左邊第二位，有；甲在左邊第三位，有；甲在左邊第四位，有甲在左邊第五位，有；不同的站法有種，選C.【題目點撥】本題考查排列問題，屬于基礎題2、A【解題分析】

求導，并解不等式可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間?！绢}目詳解】，，令，得或，因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，故選：A?！绢}目點撥】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間有以下幾種方法：（1）基本性質法；（2）圖象法；（3）復合函數(shù)法；（4）導數(shù)法。同時要注意，函數(shù)同類單調(diào)區(qū)間不能合并，中間用逗號隔開。3、C【解題分析】

由題意可得旋轉體夾在兩相距為8的平行平面之間，用任意一個與軸垂直的平面截這兩個旋轉體，設截面與原點距離為，求出所得截面的面積相等，利用祖暅原理知，兩個幾何體體積相等．【題目詳解】解：如圖，兩圖形繞軸旋轉所得的旋轉體夾在兩相距為8的平行平面之間，用任意一個與軸垂直的平面截這兩個旋轉體，設截面與原點距離為，所得截面面積，，由祖暅原理知，兩個幾何體體積相等，故選：．【題目點撥】本題主要考查祖暅原理的應用，求旋轉體的體積的方法，體現(xiàn)了等價轉化、數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于基礎題．4、C【解題分析】

先結合題中條件得出函數(shù)為減函數(shù)且為奇函數(shù)，由，可得出，化簡后得出，結合可求出，再由結合不等式的性質得出的取值范圍.【題目詳解】由知此函數(shù)為減函數(shù).由函數(shù)是關于的“中心捺函數(shù)”，知曲線關于點對稱，故曲線關于原點對稱，故函數(shù)為奇函數(shù)，且函數(shù)在上遞減，于是得，.，.則當時，令m=x，y=n則：問題等價于點（x，y）滿足區(qū)域，如圖陰影部分，由線性規(guī)劃知識可知為（x，y）與（0，0）連線的斜率，由圖可得，，故選：C.【題目點撥】本題考查代數(shù)式的取值范圍的求解，解題的關鍵就是分析出函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性將題中的不等關系進行轉化，應用到線性規(guī)劃的知識，考查分析問題和解決問題的能力，屬于難題.5、B【解題分析】分析：根據(jù)直線與平面的位置關系的判定定理和性質定理，即可作出判定得到結論.詳解：由題意，對于①中，若，則兩平面可能是平行的，所以不正確；對于②中，若，只有當與相交時，才能得到，所以不正確；對于③中，若，根據(jù)線面垂直和面面垂直的判定定理，可得，所以是正確的；對于④中，若，所以是不正確的，綜上可知，正確命題的個數(shù)只有一個，故選B.點睛：本題考查線面位置關系的判定與證明，熟練掌握空間中線面位置關系的定義、判定、幾何特征是解答的關鍵，其中垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型：(1)證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行；(2)證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直；(3)證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直．6、C【解題分析】

先分組再排序，可得知這人所包扶的戶數(shù)分別為、、或、、，然后利用分步計數(shù)原理可得出所求方案的數(shù)目.【題目詳解】由題意可知，這人所包扶的戶數(shù)分別為、、或、、，利用分步計數(shù)原理知，不同的包扶方案種數(shù)為，故選C.【題目點撥】本題考查排列組合的綜合問題，考查分配問題，求解這類問題遵循先分組再排序的原則，再分組時，要注意平均分組的問題，同時注意分步計數(shù)原理的應用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.7、C【解題分析】

由內(nèi)切圓類比內(nèi)切球，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結合求三角形的面積的方法類比求四面體的體積即可.【題目詳解】設四面體的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個面的距離都是r，所以四面體的體積等于以O為頂點，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和．則四面體的體積為：，所以.故選：C【題目點撥】本題主要考查了類比推理的應用，屬于中檔題.8、D【解題分析】

由二項分布的期望公式，可計算得，由，即得解.【題目詳解】由題意隨機變量，由二項分布的期望公式，可得故選：D【題目點撥】本題考查了二項分布的期望公式及概率公式，考查了學生概念理解，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.9、C【解題分析】分析：由基本初等函數(shù)的導數(shù)公式可得．詳解：，，，．故選C．點睛：本題考查基本初等函數(shù)的導數(shù)，牢記基本初等函數(shù)的導數(shù)公式是解題關鍵．10、D【解題分析】

根據(jù)乘法原理得到答案.【題目詳解】5名同學在“五一”的4天假期中，隨便選擇一天參加社會實踐，不同的選法種數(shù)是答案為D【題目點撥】本題考查了乘法原理，屬于簡單題.11、A【解題分析】

先求出f2，再利用奇函數(shù)的性質得f【題目詳解】由題意可得，f2=22-3=1因此，f-2=-f【題目點撥】本題考查利用函數(shù)的奇偶性求值，解題時要注意結合自變量選擇解析式求解，另外就是靈活利用奇偶性，考查計算能力，屬于基礎題。12、A【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性可知，在區(qū)間上的取值概率是0.2，可得在區(qū)間上的取值概率是0.6，從而可得在區(qū)間上的取值概率?！绢}目詳解】解：據(jù)題設分析知，因為隨機變量服從正態(tài)分布且，根據(jù)對稱性可得，所求概率，故選A.【題目點撥】本題考查了正態(tài)分布的應用，解題的關鍵是熟知正態(tài)曲線是關于對稱，在正態(tài)曲線下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為1等正態(tài)密度曲線圖象的特征.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：純虛數(shù)的表現(xiàn)形式是中，且，根據(jù)這個條件，列出關于的方程組，從而可得結果.詳解：復數(shù)為純虛數(shù)，且，，故答案為.點睛：本題主要考查純虛數(shù)的定義，意在考查對基本概念掌握的熟練程度，屬于簡單題.14、【解題分析】

解一元二次方程化簡集合的表示,再根據(jù)可以分類求出實數(shù)的值.【題目詳解】.因為,所以.當時,這時說明方程無實根,所以；當時,這時說明是方程的實根,故；當時,這時說明是方程的實根,故；因為方程最多有一個實數(shù)根,故不可能成立.故答案為：15、【解題分析】試題分析：將個不同的小球任意放入個不同的盒子中，每個小球有種不同的放法，共有種放法，每個盒子中至少有個小球的放法有種，故所求的概率.考點：1、排列組合；2、隨機變量的概率.16、【解題分析】

由復數(shù)的運算法則可得，結合題意得到關于的方程，解方程即可確定實數(shù)的值.【題目詳解】由復數(shù)的運算法則可得：，復數(shù)為純虛數(shù)，則：，據(jù)此可得：.故答案為．【題目點撥】本題主要考查復數(shù)的運算法則，純虛數(shù)的概念及其應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），.（2）登陸點與的距離為時，從海島到的時間最少.【解題分析】

求出AD，CD，從而可得出的解析式；

利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性得出最小值對應的夾角.【題目詳解】（1）在中，∵，，∴，，∴，∴，即.∵，∴，∴(若寫成開區(qū)間不扣分).（2），，當時，，當時，，所以時，取最小值，即從海島到的時間最少，此時.答：（1），.（2）登陸點與的距離為時，從海島到的時間最少.【題目點撥】本題考查了解三角形的應用和正弦定理的應用，考查了利用導數(shù)求函數(shù)最值，屬中檔題．18、（I）（II）見解析【解題分析】

（Ⅰ）用1減去沒有1班同學入選的概率得到答案.（Ⅱ）的所有可能取值為1，2，3，4，分別計算對應概率得到分布列，再計算期望.【題目詳解】（I）設1班至少有1名學生入選代表隊為事件則（II）的所有可能取值為1，2，3，4，，，.因此的分布列為1234.【題目點撥】本題考查了概率的計算，分布列和數(shù)學期望，意在考查學生的應用能力和計算能力.19、(1)見解析;(2).【解題分析】

（1）利用極坐標與平面直角坐標之間的轉換關系，得到曲線的直角坐標方程與曲線的極坐標方程，注意題中所給的角的范圍，從而得到其為上半圓，注意范圍；（2）利用直線與圓的位置關系由圓心到直線的距離來約束，此時注意是上半圓，從而求得結果.【題目詳解】（1）由得，即：，∴曲線為以（1,0）為圓心，1為半徑的圓的上半部分，從而直角坐標方程為：.-曲線的極坐標方程為(2)直線的普通方程為：，當直線與半圓相切時，解得（舍去）或，當直線過點（2,0）時，，故實數(shù)的取值范圍為.【題目點撥】該題考查的是有關坐標系與參數(shù)方程的問題，在解題的過程中，涉及到的知識點有平面直角坐標與極坐標的轉換關系，曲線的極坐標方程與平面直角坐標方程的轉換，直線與曲線有兩個公共點的條件，思路清晰是正確解題的關鍵.20、(1)(2)【解題分析】分析：（1）由參數(shù)方程消去參數(shù)t即可得直線的普通方程，利用直角坐標與極坐標的互化公式即可得曲線的直角坐標方程；（2）由（1）求出圓心坐標和半徑，由點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，代入弦長公式求出.詳解：（1）直線：（為參數(shù)）的普通方程為.因為，所以，所以，又，，故曲線的普通方程為.（2）據(jù)（1）求解知，直線的普通方程為，曲線：為以點為圓心，半徑長為的圓，所以點到直線的距離，所以直線被曲線截得線段的長為.點睛：轉化與化歸思想在參數(shù)方程、極坐標問題中的運用在對坐標系與參數(shù)方程的考查中，最能體現(xiàn)坐標法的解題優(yōu)勢，靈活地利用坐標法可以使問題得到簡捷的解答．例如，將題設條件中涉及的極坐標方程和參數(shù)方程等價轉化為直角坐標方程，然后在直角坐標系下對問題進行求解就是一種常見的解題方法，對應數(shù)學問題求解的“化生為熟”原則，充分體現(xiàn)了轉化與化歸的數(shù)學思想．21、（1）0.027；（2）見解析【解題分析】分析：（1）利用相互獨立事件乘法概率公式和互斥事件加法公式能求出在未來連續(xù)3個月里，有連續(xù)2個月的月用水量都不低于12噸且另1個月的月用水量低于4噸的概率；（2）由題意得X的可能取值為0，1，2，3，且X～（3，0.3），由此能求出隨機變量X的分布列數(shù)學期望E（X）．詳解：（1）