任意角三角函數(shù)公開(kāi)課

1.2.1任意角的三角函數(shù)

東升西落照蒼穹，影短影長(zhǎng)角不同。晝夜循環(huán)潮起伏，冬春更替草枯榮。新課引入日出日落，冬去春來(lái)，自然界中存在許多“按一定規(guī)律周而復(fù)始”的現(xiàn)象，我們把它們稱為周期現(xiàn)象，用怎樣的數(shù)學(xué)模型來(lái)刻畫(huà)周期現(xiàn)象呢？周期現(xiàn)象與周期運(yùn)動(dòng)有關(guān)，一個(gè)簡(jiǎn)單的例子就是：圓周上一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng).請(qǐng)看下面實(shí)例.新課引入問(wèn)題探索問(wèn)題1：如圖，摩天輪的半徑為10m，中心O離地面為20m，現(xiàn)在小明坐上了摩天輪，并從點(diǎn)P開(kāi)始以每秒1度的速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)30秒后小明離地面的高度是多少？.10m20m300P1M問(wèn)題探索問(wèn)題2：設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)度后小明離地面的高度為h,

為00～900,試著寫(xiě)出h和的關(guān)系式。P1問(wèn)題3：當(dāng)推廣到任意角后，你覺(jué)得上述關(guān)系式還能適用嗎？MP2在初中階段,我們對(duì)在直角三角形中銳角的三角函數(shù)定義如下：cba①正弦函數(shù)：②余弦函數(shù)③正切函數(shù)：BAC┏復(fù)習(xí)回顧你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示銳角三角函數(shù)嗎？我們先在平面上建立一個(gè)直角坐標(biāo)系xoy,將銳角α的頂點(diǎn)放在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊放在x軸的非負(fù)半軸上,設(shè)OP為它的終邊,如右圖：xyo知識(shí)建構(gòu)用坐標(biāo)形式表示銳角三角函數(shù):y答案P（x,y)Ox的終邊M設(shè)點(diǎn)P(x,y)是銳角α終邊上的任意一點(diǎn)，記OP=r（r≠0）則：【探究】比值是否因?yàn)镻(x,y)點(diǎn)在終邊上的位置發(fā)生變化而變化？結(jié)論:三個(gè)比值都不會(huì)隨點(diǎn)P在α終邊上的位置變化而改變.xyoPM

的終邊r=1當(dāng)點(diǎn)P(x,y)滿足x2+y2=1時(shí),正弦、余弦、正切函數(shù)值會(huì)有什么樣的結(jié)果？xA(1,0)yOP(x,y)αM結(jié)論：

銳角三角函數(shù)可以用終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示。yxO設(shè)α是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)，則:y

叫做α的正弦x

叫做α的余弦叫做α的正切推廣——任意角三角函數(shù)的定義任意角三角函數(shù)的定義:正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)。

————三角函數(shù)定義域：R定義域：R定義域：如何求α角的三角函數(shù)值?關(guān)鍵：

求出α角的終邊與單位圓的交點(diǎn)。思考:例1：求的正弦,余弦和正切值.ABO練習(xí)：摩天輪有個(gè)美麗的傳說(shuō)，當(dāng)摩天輪轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)時(shí)許下的愿望一般能實(shí)現(xiàn)，你能求出小明第一次到達(dá)最高點(diǎn)許愿時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角

的正弦、余弦、正切值嗎?問(wèn)題回顧問(wèn)題2：設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)度后小明離地面的高度為h,

為00～900,試著寫(xiě)出h和的關(guān)系式。.P1問(wèn)題3：當(dāng)推廣到任意角后，你覺(jué)得上述關(guān)系式還能適用嗎？PM20m10m角轉(zhuǎn)到第二象限時(shí)：PM20m10m角轉(zhuǎn)到第三象限時(shí)：當(dāng)角轉(zhuǎn)到第四象限的時(shí)候，同學(xué)們可以證明，該式也一定成立?，F(xiàn)代三角學(xué)的確認(rèn)

直到十八世紀(jì)，所有的三角量：正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，都始終被認(rèn)為是已知圓內(nèi)與同一條弧有關(guān)的某些線段，即三角學(xué)是以幾何的面貌表現(xiàn)出來(lái)的，這也可以說(shuō)是三角學(xué)的古典面貌．三角學(xué)的現(xiàn)代特征，是把三角量看作為函數(shù)，即看作為是一種與角相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值．這方面的工作是由歐拉作出的．1748年，歐拉發(fā)表著名的《無(wú)窮小分析引論》一書(shū)，指出：“三角函數(shù)是一種函數(shù)線與圓半徑的比值”．具體地說(shuō)，任意一個(gè)角的三角函數(shù)，都可以認(rèn)為是以這個(gè)角的頂點(diǎn)為圓心，以某定長(zhǎng)為半徑作圓，由角的一邊與圓周的交點(diǎn)P向另一邊作垂線PM后，所得的線段OP、OM、MP（即函數(shù)線）相互之間所取的比值．若令半徑為單位長(zhǎng)，那么所有的六個(gè)三角函數(shù)又可大為簡(jiǎn)化．

歐拉的這個(gè)定義是極其科學(xué)的，它使三角學(xué)從靜態(tài)地只是研究三角形解法的狹隘天地中解脫了出來(lái)，使它有可能去反映運(yùn)動(dòng)和變化的過(guò)程，從而使三角學(xué)成為一門(mén)具有現(xiàn)代特征的分析性學(xué)科．正如歐拉所說(shuō)，引進(jìn)三角函數(shù)以后，原來(lái)意義下的正弦等三角量，都可以脫離幾何圖形去進(jìn)行自由的運(yùn)算．一切三角關(guān)系式也將很容易地從三角函數(shù)的定義出發(fā)直接得出．這樣，就使得從希帕克起許多數(shù)學(xué)家為之奮斗而得出的三角關(guān)系式，有了堅(jiān)實(shí)的理論依據(jù)，而且大大地豐富了．嚴(yán)格地說(shuō)，這時(shí)才是三角學(xué)的真正確立．

談一下你的收獲!任意角三角函數(shù)的定義