高三數(shù)學(xué)特殊與一般的思想方法

2010屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)系列課件

04《思想方法－特殊與一般的思想方法》考題剖析＞＞規(guī)律總結(jié)＞＞知識概要＞＞030521特殊與一般的思想方法1.由特殊到一般再由一般到特殊反復(fù)認(rèn)識的過程是人們認(rèn)識世界的根本過程之一.數(shù)學(xué)研究也不例外，這種由特殊到一般，由一般到特殊的研究數(shù)學(xué)問題的根本認(rèn)識過程就是數(shù)學(xué)研究中特殊與一般的思想.知識概要←返回目錄特殊與一般的思想方法2.由特殊到一般的思想的運(yùn)用水平，能反映出考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和一般能力，所以考查特殊與一般的思想在高考中占有重要位置.在高考中，有意設(shè)計一些能集中表達(dá)特殊與一般思想的試題，突出表達(dá)了特殊化方法的意義與作用.如通過構(gòu)造特殊函數(shù)、特殊數(shù)列，尋找特殊位置，利用特殊值、特殊方程等方法解決一般問題、抽象問題、運(yùn)動變化問題、不確定問題等等.←返回目錄知識概要特殊與一般的思想方法考題剖析←返回目錄1.數(shù)列{an}中，假設(shè)a1=,an=(n≥2,n∈N),那么a2009的值為〔〕A.－1B.C.1D.2考題剖析←返回目錄D［解析］∵a1=,an=(n≥2,n∈N)那么當(dāng)n＝２時，a2===2，當(dāng)n＝３時，a3===－1，當(dāng)n＝４時，a4===，同理a5=2,a6=－1,…所以數(shù)列{an}是一個周期數(shù)列且T＝３，故a2009＝a2=2.特殊與一般的思想方法［點評］此題考查歸納、猜測思想方法.要求考生結(jié)合試題領(lǐng)悟“特殊與一般〞的思想，首先通過特例探索，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后利用這一規(guī)律來解題.對于求遞推關(guān)系給出的數(shù)列某一項的問題，常見解法一是直接求通項再用通項來求某一項，二是直接將數(shù)列按順序?qū)懗?，三是寫出局部項發(fā)現(xiàn)規(guī)律用規(guī)律得出結(jié)論.←返回目錄考題剖析特殊與一般的思想方法［解析］解法1：因為函數(shù)f(x)＝sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x=－對稱，那么f(x)=f(－－x)即sin2x+acos2x＝sin2(－－x)+acos2(－－x)得sin2x+acos2x＝－cos2x－asin2x恒成立所以〔１＋a〕(sin2x+cos2x)=0恒成立，那么必有１＋a＝０所以a＝－１2.〔2007·江蘇常州市〕如果函數(shù)y＝sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x=－對稱，那么a＝.←返回目錄考題剖析特殊與一般的思想方法解法2：因為函數(shù)f(x)＝sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x=－對稱，所以f(x)=f(－－x)，取x＝0,那么f(０)=f(－)即有a＝－１解法3：函數(shù)y＝sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x=－對稱，那么函數(shù)在x=－處取得極值，又y′=2cos2x－2asin2x所以y′|x=－=2cos2(－)－2asin2(－)＝０得a＝－１←返回目錄考題剖析［點評］此題主要考查三角函數(shù)的對稱性問題，假設(shè)函數(shù)f〔x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱，那么恒有f(x)=f(2a－x)成立，但作為填空題，可以取特值進(jìn)行運(yùn)算.特殊與一般的思想方法3.〔2007·湖南雅禮三月模擬〕某地區(qū)的一種特色水果上市時間僅能持續(xù)5個月，預(yù)測上市初期和后期會因供不應(yīng)求使價格呈連續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價格連續(xù)下跌,現(xiàn)有三種價格模擬函數(shù).①f(x)=p·qx；②f(x)=px2+qx+1；③f(x)=x(x－q)2+p.〔以上三式中p,q均為常數(shù)，且q>1〕.(Ⅰ)為準(zhǔn)確研究其價格走勢，應(yīng)選哪種價格模擬函數(shù)，為什么？(Ⅱ)假設(shè)f(0)=4,f(2)=6，求出所選函數(shù)f(x)的解析式〔注：函數(shù)的定義域是［0,5］，其中x=0表示4月1日，x=1表示5月1日，…，以此類推〕；〔Ⅲ〕為保證果農(nóng)的收益，打算在價格下跌期間積極拓寬外銷，請你預(yù)測該果品在哪幾個月份內(nèi)價格下跌.考題剖析特殊與一般的思想方法←返回目錄

［解析］(Ⅰ)應(yīng)選f(x)=x(x－q)2+p.因為①f(x)=p·qx是單調(diào)函數(shù)；②f(x)=px2+qx+1的圖象不具有先升再降后升特征；③f(x)=x(x－q)2+p中,f′(x)=3x2－4qx+q2,

令f′(x)=0，得x=q,x=,f(x)有兩個零點.可以出現(xiàn)兩個遞增區(qū)間和一個遞減區(qū)間.考題剖析特殊與一般的思想方法←返回目錄(Ⅱ)由f(0)=4,f(2)=6得：解之得〔其中q=1舍去〕.∴函數(shù)f(x)=x(x－3)2+4，即f(x)=x3－6x2+9x+4〔0≤x≤5〕考題剖析〔Ⅲ〕由f′(x)＜0，解得1＜x＜3,∴函數(shù)f(x)=x3－6x2+9x+4在區(qū)間〔1，3〕上單調(diào)遞減，∴這種果品在5月，6月份價格下跌.［點評］此題是一個簡單的數(shù)學(xué)建模問題，主要考查函數(shù)知識在實際生活中的運(yùn)用，也是特殊與一般思想在生活中的運(yùn)用.特殊與一般的思想方法←返回目錄４.〔2007·河北省唐山市〕設(shè)函數(shù)fn(x)=1－x+－+…－,n∈N*〔Ⅰ〕研究函數(shù)f2(x)的單調(diào)性；〔Ⅱ〕判斷fn(x)=0的實數(shù)解的個數(shù)，并加以證明.考題剖析［解析］〔Ⅰ〕f2(x)=1－x+－,f′2(x)=－1+x－x2=－(x－)2－<0所以f2(x)在(－∞,+∞)單調(diào)遞減.特殊與一般的思想方法←返回目錄〔Ⅱ〕f1(x)=1－x有唯一實數(shù)解x=1.由f2(0)=1>0,f2(2)=1－2+－<0，以及f2(x)在(－∞,+∞)單調(diào)遞減，知f2(x)在(0,2)有唯一實數(shù)解，從而f2(x)在(－∞,+∞)有唯一實數(shù)解.推斷fn(x)在(－∞,+∞)有唯一實數(shù)解當(dāng)n≥2時，由fn(x)=1－x+－+…－,n∈N*，得：f′n(x)=－1+x－x2+…+x2n－3－x2n－2考題剖析假設(shè)x=－1，那么f′n(x)=f′n(－1)=－(2n－1)<0假設(shè)x=0，那么f′n(x)=f′n(0)=－1<0假設(shè)x≠－1且x≠0時，那么f′n(x)=－特殊與一般的思想方法←返回目錄當(dāng)x<－1時，x+1<0,x2n－1+1<0,f′n(x)<0當(dāng)x>－1時，x+1>0,x2n－1+1>0,f′n(x)<0總之f′n(x)<0，fn(x)在(－∞,+∞)單調(diào)遞減.

fn(0)=1，又

==<0

所以fn(x)在(0,2)有唯一實數(shù)解，從而fn(x)在(－∞,+∞)有唯一實數(shù)解.

綜上，fn(x)=0有唯一實數(shù)解.考題剖析特殊與一般的思想方法←返回目錄［點評］此題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)及連續(xù)函數(shù)的圖象與x軸的交點個數(shù)問題.用特殊的函數(shù)開路尋找到解題方法,即判斷函數(shù)是單調(diào)的且圖象與x軸有交點，然后用一般方法來解題.考題剖析特殊與一般的思想方法←返回目錄５.(2008年江蘇啟東中學(xué)高三測試二)(1)求證：函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點〔0.5，－0.5〕對稱；(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值;

考題剖析［解析］(1)設(shè)P(x,y)是y=f(x)的圖象上任意一點，關(guān)于(0.5，－0.5)對稱點的坐標(biāo)為:(1-x,-1-y)

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考題剖析特殊與一般的思想方法←返回目錄∴－1-ｙ＝f〔1－ｘ〕，即函數(shù)ｙ＝f〔ｘ〕的圖象關(guān)于點〔0.5，－0.5〕對稱.(2)由(Ⅰ)有f(1-x)=-1-f(x)即f(x)+f(1-x)=-1∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1那么f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n=1時，左＝3，右＝1，3＞1不等式成立當(dāng)n=2時，左＝9，右＝4，9＞4不等式成立令n=k(k≥2〕不等式成立即3ｋ＞ｋ2那么ｎ＝ｋ＋1時，左＝3ｋ＋1＝3·3ｋ＞3·ｋ2,右＝〔ｋ＋1〕2＝ｋ2＋2ｋ＋1∵3ｋ2－〔ｋ2＋2ｋ＋1〕＝2ｋ2－2ｋ－1＝2〔ｋ－0.5〕2－1.5當(dāng)ｋ≥2，ｋ∈N時，上式恒為正值那么左＞右，即3ｋ＋1＞〔ｋ＋1〕2，所以對任何自然數(shù)n，總有3ｎ＞ｎ2成立，即對任何自然數(shù)n，總有［點評]此題主要考查函數(shù)的有關(guān)知識和數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用.數(shù)學(xué)歸納法往往用于一些與自然數(shù)有關(guān)問題的解答，觀察－歸納－猜測－證明是一個從特殊到一般的思考過程，也是一個嚴(yán)格而科學(xué)的探索問題和解決問題的過程，是思考問題的通常方法，對這種方法在高考中考查十分常見.考題剖析特殊與一般的思想方法←返回目錄規(guī)律總結(jié)←返回目錄1.特殊與一般的思想方法是廣泛適用的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，對于一般性問題、抽象問題、運(yùn)動變化問題和不確定問題都可考慮運(yùn)用特殊與一般的思想方法去探求解題途徑.2.對于遞推數(shù)列問題，采用“歸納——猜測——證明〞的方法去解決問題，首先通過特例探索、發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，然后再用這個規(guī)律來解決其他特殊問題，這是特殊與一般思想最常見的應(yīng)用之一.3.對于某些特殊的問題，如求值、比較大小等，要注意研究其數(shù)量特征，發(fā)現(xiàn)一般模型，再由一般解決特殊.←返回目錄規(guī)律總結(jié)特殊與一般的思想方法←返回目錄4.抽象函數(shù)問題，一是常聯(lián)想具體的、熟知的函數(shù)，實現(xiàn)抽象向具體的轉(zhuǎn)化，二是通過賦值，把抽象問題具體化.5.對于某些“信息遷移題〞，常從簡單情形做起，通過觀察、歸納和類比，進(jìn)行符合邏輯的推理，得到一般的規(guī)律，再用來解決相應(yīng)問題.這種題型對閱讀理解能力要求較高，對“一般與特殊〞的辯證關(guān)系的理解和掌握要到達(dá)較高的層次.規(guī)律總結(jié)特殊與一般的思想方法再見;://91fuzhou算卦hnq913dgk下軍工廠一樣、陰森恐怖?！斑@些都是……后酵罐。〞張鋼鐵介紹到，這里的空氣略顯稀薄，張鋼鐵有些微微氣喘，馬啟明更是氣喘如牛，宛如拉風(fēng)箱一樣。沿著仄仄的過道，走到發(fā)酵罐的最西頭。張鋼鐵與馬啟明便到了一個窄窄的鐵梯前，張鋼鐵說：“從這里上去。〞因為洞口較小，剛好一個人能鉆上去。上面樓層較矮，大個子需貓著腰才能前進(jìn)，轉(zhuǎn)了幾道彎后仍未到頭。馬啟明覺得由鐵條焊接的通道就像地道戰(zhàn)中的暗道一樣，似乎總沒有盡頭，也像迷宮一樣，他完全迷失了方向，又迷迷糊糊地爬了一個洞，上去，最后迷迷登登終于走到一間有許多長方形水泥池、光線很昏暗的大房間內(nèi)。在昏黃燈光的映照下，可以看見池子兩邊排列著許多銅管，有的池子是空的，有的池內(nèi)潔白細(xì)膩的泡沫正在上下翻涌著。盡管在房間墻壁上有一排換氣扇不停地轉(zhuǎn)動著往外鼓風(fēng)，室內(nèi)仍舊讓人有種呼吸不暢、快要窒息的感覺，這是因為啤酒發(fā)酵產(chǎn)生的二氧化碳釋放到空氣當(dāng)中的緣故，馬啟明知道?！斑@些是……前酵池。〞張鋼鐵有些氣喘地介紹道，“冷卻麥汁……先在這發(fā)酵……8天左右后，再打入剛剛看見的……后酵罐進(jìn)行后熟冷貯30天以上，成