吉林省延邊朝鮮族自治州延吉二中2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

吉林省延邊朝鮮族自治州延吉二中2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，且，則A． B．2 C．4 D．82．雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．3．設(shè)集合，，，則中的元素個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．4．已知x,y的取值如下表，從散點(diǎn)圖知，x,y線性相關(guān)，且y=0.6x+a，則下列說(shuō)法正確的是（x1234y1.41.82.43.2A．回歸直線一定過(guò)點(diǎn)(2.2,2.2)B．x每增加1個(gè)單位，y就增加1個(gè)單位C．當(dāng)x=5時(shí)，y的預(yù)報(bào)值為3.7D．x每增加1個(gè)單位，y就增加0.7個(gè)單位5．拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，且不在直線上，則周長(zhǎng)的最小值為A． B． C． D．6．函數(shù)有極值的充要條件是（）A． B． C． D．7．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的解析式可能為A． B． C． D．8．某班級(jí)有6名同學(xué)去報(bào)名參加校學(xué)生會(huì)的4項(xiàng)社團(tuán)活動(dòng)。若甲，乙兩位同學(xué)不參加同一社團(tuán)，每個(gè)社團(tuán)都有人參加，每個(gè)人只參加一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方案數(shù)為A．2160 B．1320 C．2400 D．43209．已知隨機(jī)變量X的分布列：02若，，則（）A． B． C． D．10．某中學(xué)有高中生3500人，初中生1500人，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為n的樣本，已知從高中生中抽取70人，則n為()A．100 B．150C．200 D．25011．若，，，則（）A． B．C． D．12．下列函數(shù)中，值域?yàn)榈呐己瘮?shù)是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．底面是直角三角形的直棱柱的三視圖如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該棱柱的表面積是________14．設(shè)，若，則15．計(jì)算：________.16．已知兩不共線的非零向量滿(mǎn)足,,則向量與夾角的最大值是__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某地區(qū)舉辦知識(shí)競(jìng)答比賽，比賽共有四道題，規(guī)則如下：答題過(guò)程中不論何時(shí)，若選手出現(xiàn)兩題答錯(cuò)，則該選手被淘汰分?jǐn)?shù)記為，其它情況下，選手每答對(duì)一題得分，此外若選手存在恰連續(xù)3次答對(duì)題目，則額外加分，若次全答對(duì)，則額外加分.已知某選手每次答題的正確率都是，且每次答題結(jié)果互不影響.求該選手恰答對(duì)道題的概率；記為該選手參加比賽的最終得分，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.18．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．19．（12分）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；（3）求證：當(dāng)時(shí)，.20．（12分）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，求的最大整數(shù)值．21．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的最小值.22．（10分）已知橢圓E：的離心率為分別是它的左、右焦點(diǎn)，.（1）求橢圓E的方程；（2）過(guò)橢圓E的上頂點(diǎn)A作斜率為的兩條直線AB，AC，兩直線分別與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線BC是否過(guò)定點(diǎn)？若是求出該定點(diǎn)，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由，可得，從而得，解出的值即可得結(jié)果．【題目詳解】實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，故，又由得：，解得：，或舍去，故，，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是指數(shù)的運(yùn)算與對(duì)數(shù)的運(yùn)算，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力，屬于中檔題．2、B【解題分析】

先判斷雙曲線的焦點(diǎn)位置，然后得到漸近線方程的一般形式，再根據(jù)的值直接寫(xiě)出漸近線方程.【題目詳解】因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以雙曲線的漸近線方程為，又因?yàn)?，所以漸近線方程為.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線漸近線方程的求解，難度較易.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為，若焦點(diǎn)在軸上，則漸近線方程為，若焦點(diǎn)在軸上，則漸近線方程為；求解雙曲線漸近線方程的另一種方法：直接將雙曲線方程中的變?yōu)椋纱说玫降年P(guān)系式即為漸近線方程.3、C【解題分析】分析：由題意列表計(jì)算所有可能的值，然后結(jié)合集合元素的互異性確定集合M，最后確定其元素的個(gè)數(shù)即可.詳解：結(jié)合題意列表計(jì)算M中所有可能的值如下：2341234246836912觀察可得：，據(jù)此可知中的元素個(gè)數(shù)為.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查集合的表示方法，集合元素的互異性等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.4、C【解題分析】

由已知求得樣本點(diǎn)的中心的坐標(biāo)，代入線性回歸方程即可求得a值，進(jìn)一步求得線性回歸方程，然后逐一分析四個(gè)選項(xiàng)即可得答案．【題目詳解】解：由已知得，x=1+2+3+44=2.5，由回歸直線方程y^=0.6x+a^恒過(guò)樣本中心點(diǎn)（2.5，2.2），得2.2=0.6×2.5+∴回歸直線方程為y?x每增加1個(gè)單位，y就增加1個(gè)單位，故B錯(cuò)誤；當(dāng)x＝5時(shí)，y的預(yù)測(cè)值為3.1，故C正確；x每增加1個(gè)單位，y就增加0.6個(gè)單位，故D錯(cuò)誤．∴正確的是C．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查線性回歸直線方程，解題關(guān)鍵是性質(zhì)：線性回歸直線一定過(guò)點(diǎn)(x5、C【解題分析】

求△MAF周長(zhǎng)的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，設(shè)點(diǎn)M在準(zhǔn)線上的射影為D，根據(jù)拋物線的定義，可知|MF|=|MD|，因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值.根據(jù)平面幾何知識(shí)，可得當(dāng)D，M，A三點(diǎn)共線時(shí)|MA|+|MD|最小，因此最小值為xA﹣（﹣1）=5+1=6，∵|AF|==5，∴△MAF周長(zhǎng)的最小值為11，故答案為：C．6、C【解題分析】因?yàn)?，所以，即，?yīng)選答案C．7、C【解題分析】

依次對(duì)選項(xiàng)求導(dǎo)，再判斷導(dǎo)數(shù)的奇偶性即可得到答案?！绢}目詳解】對(duì)于A，由可得，則為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；故A不滿(mǎn)足題意；對(duì)于B，由可得，則，所以為非奇非偶函數(shù)，不關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故B不滿(mǎn)足題意；對(duì)于C，由可得，則為偶函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故C滿(mǎn)足題意，正確；對(duì)于D，由可得，則，所以為非奇非偶函數(shù)，不關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故D不滿(mǎn)足題意；故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的求法，奇偶函數(shù)的判定，屬于基礎(chǔ)題。8、B【解題分析】

依題意，分和兩組，先分組，后排列，最后求和即可.【題目詳解】依題意，6名同學(xué)可分為兩組，第一組為，利用間接法，有種，第二組為，利用間接法，有,所以分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，可得種，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了排列、組合及簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)原理，著重考查了分類(lèi)討論思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，以及推理與運(yùn)算能力，其中解答中合理分類(lèi)，做到先分組后排列的方式是解答的關(guān)鍵.9、B【解題分析】

由，可得，由隨機(jī)變量分布列的期望、方差公式，聯(lián)立即得解.【題目詳解】由題意，且，又聯(lián)立可得：故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了隨機(jī)變量分布列的期望和方差，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.10、A【解題分析】試題分析：根據(jù)已知可得：，故選擇A考點(diǎn)：分層抽樣11、C【解題分析】

直接由微積分基本定理計(jì)算出可得．【題目詳解】因?yàn)?，，，所以，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查微積分基本定理，掌握基本初等函數(shù)的積分公式是解題關(guān)鍵．12、C【解題分析】試題分析：A中，函數(shù)為偶函數(shù)，但，不滿(mǎn)足條件；B中，函數(shù)為奇函數(shù)，不滿(mǎn)足條件；C中，函數(shù)為偶函數(shù)且，滿(mǎn)足條件；D中，函數(shù)為偶函數(shù)，但，不滿(mǎn)足條件，故選C．考點(diǎn)：1、函數(shù)的奇偶性；2、函數(shù)的值域．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)三視圖,畫(huà)出空間幾何體,即可求得表面積.【題目詳解】根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱柱,畫(huà)出空間結(jié)構(gòu)體如下:該三棱柱的高為2,上下底面為等腰直角三角形,腰長(zhǎng)為所以上下底面的面積為側(cè)面積為所以該三棱柱的表面積為故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查由三視圖還原空間結(jié)構(gòu)體,棱柱表面積的求法,屬于基礎(chǔ)題.14、1【解題分析】

15、【解題分析】

計(jì)算出和的值，代入即可計(jì)算出結(jié)果.【題目詳解】由題意得，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)值的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于將特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算出來(lái)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

設(shè)向量夾角為，由余弦定理求得，再利用基本不等式求得取得最小值，即可求得的最大值，得到結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)閮煞橇阆蛄繚M(mǎn)足,,設(shè)向量夾角為，由于非零向量以及構(gòu)成一個(gè)三角形，設(shè)，則由余弦定理可得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以的最大值是，故答案是.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)向量夾角的大小問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有余弦定理，基本不等式，注意當(dāng)什么情況下取得最值，再者就是需要明確角取最大值的時(shí)候其余弦值最小.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、；.【解題分析】

(1)通過(guò)二項(xiàng)分布公式即可得到概率；（2）可能的取值為，分別求出所求概率，于是得到分布列和數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】該選手每次答題的正確率都是，四道題答對(duì)的情況有種恰答對(duì)道題的概率由題可能的取值為，，的分布列如下.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)分布的運(yùn)用，數(shù)學(xué)期望與分布列的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生的分析能力，轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力，難度中等.18、（1）；（2）．【解題分析】

直接利用遞推關(guān)系式，構(gòu)造等比數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

利用的結(jié)論，進(jìn)一步利用分組法求出數(shù)列的和．【題目詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，即，所以，又所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．所以，即．（2）因?yàn)椋裕绢}目點(diǎn)撥】本題考查了利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及分組求和的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．19、（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為；的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）；（3）見(jiàn)解析．【解題分析】【試題分析】（1）直接對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，借助導(dǎo)函數(shù)值的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系求出其單調(diào)區(qū)間；（2）先將不等式中參數(shù)分離分離出來(lái)可得：，再構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)得，借助，推得，從而在上單調(diào)遞減，，進(jìn)而求得；（3）先將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得，由（2）知時(shí)，恒成立，所以，即恒成立，故在上單調(diào)遞增，所以，因此時(shí)，有：解：（1））當(dāng)時(shí)，則，令得，所以有即時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由，分離參數(shù)可得：，設(shè)，，∴，又∵，∴，則在上單調(diào)遞減，∴，∴即的取值范圍為.（3）證明：等價(jià)于設(shè)，∴，由（2）知時(shí)，恒成立，所以，∴恒成立∴在上單調(diào)遞增，∴，因此時(shí)，有.點(diǎn)睛：解答本題的第一問(wèn)時(shí)，先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，借助導(dǎo)函數(shù)值的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系求出其單調(diào)區(qū)間；求解第二問(wèn)時(shí)，先將不等式中參數(shù)分離出來(lái)可得，再構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)得，借助，推得，從而在上單調(diào)遞減，，進(jìn)而求得；第三問(wèn)的證明過(guò)程中，先將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得，由（2）知時(shí)，恒成立，所以，即恒成立，故在上單調(diào)遞增，所以，因此證得當(dāng)時(shí)，不等式成立。20、(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)2.【解題分析】分析：（1）先確定函數(shù)的定義域，再求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，分類(lèi)討論，確定和時(shí)函數(shù)的單調(diào)性.（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為時(shí)，條件下求參數(shù)問(wèn)題.由（1）可知：①當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，且，即成立；②時(shí)，即，分析情況同①；③時(shí)，即，，構(gòu)造關(guān)于的新函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點(diǎn)位置，而；綜上得的最大整數(shù)值為.詳解：解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足題意.由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.若，即，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足題意.若，即，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.即令，，在上單調(diào)遞減，又，，在上存在唯一零點(diǎn)，綜上所述，的取值范圍為，故的最大整數(shù)值為.點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)分析含參函數(shù)單調(diào)性，應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求恒成立問(wèn)題的參數(shù)，考查了分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造函數(shù)法，是一道綜合題.導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)的含參函數(shù)的單調(diào)性分類(lèi)討論步驟：（1）求定義域.（2）討論導(dǎo)數(shù)的最高項(xiàng)系數(shù)，若最高項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)則需分等于零和不等于零進(jìn)行討論；若最高項(xiàng)系數(shù)