2024屆北京市房山區(qū)房山實驗中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試試題含解析

2024屆北京市房山區(qū)房山實驗中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知變量x，y之間的一組數(shù)據(jù)如表：由散點圖可知變量x，y具有線性相關(guān)，則y與x的回歸直線必經(jīng)過點（）A．（2，2.5） B．（3，3） C．（4，3.5） D．（6，4.8）2．如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，給出下列命題：①-2是函數(shù)的極值點；②是函數(shù)的極值點；③在處取得極大值；④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.則正確命題的序號是A．①③ B．②④ C．②③ D．①④3．若二項式的展開式中二項式系數(shù)的和是64，則展開式中的常數(shù)項為A． B． C．160 D．2404．已知的展開式中的系數(shù)為，則（）A．1 B． C． D．5．設(shè)集合，，，則圖中陰影部分所表示的集合是（）A． B． C． D．6．如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是A． B． C． D．7．將兩枚骰子各擲一次，設(shè)事件{兩個點數(shù)都不相同}，{至少出現(xiàn)一個3點}，則（）A． B． C． D．8．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，，則的公差為（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知是定義在上的偶函數(shù)，且當時，都有成立，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．10．已知雙曲線與雙曲線，給出下列說法，其中錯誤的是（）A．它們的焦距相等 B．它們的焦點在同一個圓上C．它們的漸近線方程相同 D．它們的離心率相等11．設(shè)，隨機變量X，Y的分布列分別為X123Y123PP當X的數(shù)學(xué)期望取得最大值時，Y的數(shù)學(xué)期望為（）A．2 B． C． D．12．若，則=（）A．-1 B．1 C．2 D．0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某次考試結(jié)束后，甲、乙、丙三位同學(xué)討論考試情況.甲說：“我的成績一定比丙高”.乙說：“你們的成績都沒有我高”.丙說：“你們的成績都比我高”成績公布后，三人成績互不相同且三人中恰有一人說得不對，則這三人中成績最高的是______.14．將4個相同的白球、5個相同的黑球、6個相同的紅球放入4個不同盒子中的3個中，使得有1個空盒且其他3個盒子中球的顏色齊全的不同放法共有種.（用數(shù)字作答）15．設(shè)當x=θ時，函數(shù)f（x）=2sinx+cosx取得最小值，則cos（）=______．16．若函數(shù)是偶函數(shù),且在上是增函數(shù),若,則滿足的實數(shù)的取值范圍是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值18．（12分）某區(qū)組織部為了了解全區(qū)科級干部“黨風廉政知識”的學(xué)習情況，按照分層抽樣的方法，從全區(qū)320名正科級干部和1280名副科級干部中抽取40名科級干部預(yù)測全區(qū)科級干部“黨風廉政知識”的學(xué)習情況.現(xiàn)將這40名科級干部分為正科級干部組和副科級干部組，利用同一份試卷分別進行預(yù)測.經(jīng)過預(yù)測后，兩組各自將預(yù)測成績統(tǒng)計分析如下表：分組人數(shù)平均成績標準差正科級干部組806副科級干部組704（1）求；（2）求這40名科級干部預(yù)測成績的平均分和標準差；（3）假設(shè)該區(qū)科級干部的“黨風廉政知識”預(yù)測成績服從正態(tài)分布，用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值.利用估計值估計：該區(qū)科級干部“黨風廉政知識”預(yù)測成績小于60分的約為多少人？附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則；；.19．（12分）老況、老王、老顧、小周、小郭和兩位王女士共7人要排成一排拍散伙紀念照.（1）若兩位王女士必須相鄰，則共有多少種排隊種數(shù)？（2）若老王與老況不能相鄰，則共有多少種排隊種數(shù)？（3）若兩位王女士必須相鄰，若老王與老況不能相鄰，小郭與小周不能相鄰，則共有多少種排隊種數(shù)？20．（12分）已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，.（Ⅰ）證明：當時，；（Ⅱ）若曲線過點的切線有兩條，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）設(shè)數(shù)列滿足，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和.22．（10分）若,且（1）求的最小值；（2）是否存在，使得？并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

計算出，結(jié)合回歸直線方程經(jīng)過樣本中心點，得出正確選項.【題目詳解】本題主要考查線性回歸方程的特征，回歸直線經(jīng)過樣本中心點.，故選C【題目點撥】本小題主要考查回歸直線方程過樣本中心點，考查平均數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】分析：由條件利用導(dǎo)函數(shù)的圖象特征，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論．詳解：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象可得，y=f′（x）在（﹣∞，﹣2）上大于零，在（﹣2，2）、（2，+∞）上大于零，且f′（﹣2）=0，故函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣2）上為減函數(shù)，在（﹣2，+∞）、（2，+∞）上為增函數(shù)．故﹣2是函數(shù)y=f（x）的極小值點，故①正確；故1不是函數(shù)y=f（x）的極值點，故②不正確；根據(jù)函數(shù)-1的兩側(cè)均為單調(diào)遞增函數(shù)，故-1不是極值點.根據(jù)y=f（x）=在區(qū)間（﹣2，2）上的導(dǎo)數(shù)大于或等于零，故f（x）在區(qū)間（﹣2，2）上單調(diào)遞增，故④正確，故選：D.點睛：本題主要考查命題真假的判斷，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，屬于中檔題．導(dǎo)函數(shù)的正負代表了原函數(shù)的單調(diào)性，極值點即導(dǎo)函數(shù)的零點，但是必須是變號零點，即在零點兩側(cè)正負相反；極值即將極值點代入原函數(shù)取得的函數(shù)值，注意分清楚這些概念.3、D【解題分析】

由二項式定義得到二項展開式的二項式系數(shù)和為，由此得到，然后求通項，化簡得到常數(shù)項，即可得到答案.【題目詳解】由已知得到，所以，所以展開式的通項為，令，得到，所以展開式的常數(shù)項為，故選D.【題目點撥】本題主要考查了二項展開式的二項式系數(shù)以及特征項的求法，其中熟記二項展開式的系數(shù)問題和二項展開式的通項是解答此類問題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】

由題意可得展開式中x2的系數(shù)為前一項中常數(shù)項與后一項x的二次項乘積，加上第一項x的系數(shù)與第二項x的系數(shù)乘積的和，由此列方程求得a的值．【題目詳解】根據(jù)題意知，的展開式的通項公式為，∴展開式中含x2項的系數(shù)為a＝，即10﹣5a＝，解得a＝．故選D．【題目點撥】本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用問題，利用二項式展開式的通項公式是解決此類問題的關(guān)鍵．5、A【解題分析】

陰影部分所表示的集合為：.【題目詳解】由已知可得，陰影部分所表示的集合為：.故選：A.【題目點撥】本題主要考查集合的運算，屬基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】設(shè)正方形邊長為，則圓的半徑為，正方形的面積為，圓的面積為.由圖形的對稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計算公式得，此點取自黑色部分的概率是，選B.點睛:對于幾何概型的計算，首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區(qū)域（長度、面積、體積或時間），其次計算基本事件區(qū)域的幾何度量和事件A區(qū)域的幾何度量，最后計算.7、A【解題分析】分析：利用條件概率求.詳解：由題得所以故答案為：A.點睛：（1）本題主要考查條件概率，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2)條件概率的公式:,=.8、B【解題分析】

根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由條件得，由此可得的值，即可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，即，解得．故選B．【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的前項和，關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列的前項和公式的形式特點，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解題分析】

通過可判斷函數(shù)在上為增函數(shù)，再利用增函數(shù)的性質(zhì)即可得到，，的大小關(guān)系.【題目詳解】由于當時，都有成立，故在上為增函數(shù)，,,而，所以，故答案為B.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)值大小，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力和計算能力，難度中等.10、D【解題分析】

根據(jù)題意，由兩個雙曲線的方程計算出兩個雙曲線的焦點坐標，焦距，漸近線方程以及離心率，進而分析選項即可得到答案?！绢}目詳解】根據(jù)題意，雙曲線，其中，，則，則焦距，焦點坐標，漸近線方程為，離心率；雙曲線，其標準方程為，其中，，則，則焦距，焦點坐標，漸近線為，離心率；據(jù)此依次分析選項：兩個雙曲線的焦距均為，故A正確；雙曲線的焦點坐標，雙曲線的焦點坐標，都在圓上，故B正確；漸近線方程均為，故C正確；雙曲線的離心率，雙曲線的離心率，離心率不相等，故選D【題目點撥】本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，解題時要注意將雙曲線的方程變?yōu)闃藴市问剑瑢儆诨A(chǔ)題。11、D【解題分析】

利用數(shù)學(xué)期望結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解X的期望的最值，然后求解Y的數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】∵，∴當時，EX取得最大值，此時.故選：D【題目點撥】本題主要考查數(shù)學(xué)期望和分布列的求法，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.12、A【解題分析】

將代入，可以求得各項系數(shù)之和；將代入，可求得，兩次結(jié)果相減即可求出答案.【題目詳解】將代入，得，即，將代入，得，即，所以故選A.【題目點撥】本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，若二項式展開式為，則常數(shù)項，各項系數(shù)之和為，奇數(shù)項系數(shù)之和為，偶數(shù)項系數(shù)之和為.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、甲【解題分析】

分別假設(shè)說對的是甲，乙，丙，由此分析三個人的話，能求出結(jié)果.【題目詳解】若甲對，則乙丙可能都對，可能都錯，可能丙對，乙錯，符合；若乙對，則甲丙可能都對，可能都錯，不符；若丙對，則甲乙可能都對，可能甲對，乙錯，符合，綜上，甲丙對，乙錯，則這三人中成績最高的是甲.故答案為：甲.【題目點撥】本題考查合情推理的問題，考查分類與討論思想，是基礎(chǔ)題.14、720【解題分析】試題分析：本題可以分步來做：第一步：首先從4個盒子中選取3個，共有4種取法；第二步：假定選取了前三個盒子，則第四個為空，不予考慮．由于前三個盒子中的球必須同時包含黑白紅三色，所以我們知道，每個盒子中至少有一個白球，一個黑球和一個紅球．第三步：①這樣，白球還剩一個可以自由支配，它可以放在三個盒子中任意一個，共3種放法．②黑球還剩兩個可以自由支配，這兩個球可以分別放入三個盒子中的任意一個，這里有兩種情況：一是兩個球放入同一個盒子，有3種放法；二是兩個球放入不同的兩個盒子，有3種放法．綜上，黑球共6種放法．③紅球還剩三個可以自由支配，分三種情況：一是三個球放入同一個盒子，有3中放法．二是兩個球放入同一個盒子，另外一個球放入另一個盒子，有6種放法．三是每個盒子一個球，只有1種放法．綜上，紅球共10種放法．所以總共有4×3×6×10=720種不同的放法．考點：排列、組合；分布乘法原理；分類加法原理．點評：本題考查排列、組合的運用，注意本題中同色的球是相同的．對于較難問題，我們可以采取分步來做．15、【解題分析】

利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值求出輔助角，再利用兩角和的余弦公式求出的值．【題目詳解】對于函數(shù)f（x）=2sinx+cosx=sin（x+α），其中，cosα=，sinα=，α為銳角．當x=θ時，函數(shù)取得最小值，∴sin（θ+α）=-，即sin（θ+α）=-1，∴cos（θ+α）=1．故可令θ+α=-，即θ=--α，故故答案為．【題目點撥】本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的最值，兩角和的余弦公式，屬于中檔題．16、【解題分析】

根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)得出在上是減函數(shù)，由此可得不等式．【題目詳解】∵是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，，∴在上是減函數(shù)，．又，∴，解得且．故答案為．【題目點撥】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，由奇偶性和單調(diào)性結(jié)合起來解函數(shù)不等式，這種問題一類針對偶函數(shù)，一類針對奇函數(shù)，它們有固定的解題格式．如偶函數(shù)在上是增函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為，奇函數(shù)在上是增函數(shù)，首先把不等式轉(zhuǎn)化為再轉(zhuǎn)化為．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）最小正周期增區(qū)間為；（2）最大值和最小值分別為和.【解題分析】

（1）先將函數(shù)化簡整理，得到，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得出結(jié)果；（2）先由的范圍，得到的范圍，進而可得出結(jié)果.【題目詳解】(1)因為所以的最小正周期由，所以，因此，增區(qū)間為(2)因為，所以.所以當，即時，函數(shù)取得最大值當，即時，函數(shù)取得最小值所以在區(qū)間上的最大值和最小值分別為和【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)，熟記正弦函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.18、（1）8,32；（2）72，6；（3）36.【解題分析】

（1）首先求得樣本容量與總體的比為，根據(jù)比例可求得；（2）根據(jù)平均數(shù)計算公式可求得平均數(shù)；根據(jù)正科級和副科級干部組的標準差可分別求得正科級和副科級干部組每個人成績的平方和；代入方差公式可求得總體的方差，進而得到標準差；（3）首先確定的估計值，的估計值；根據(jù)原則求得；根據(jù)正態(tài)分布曲線可求得，從而可求得預(yù)測成績小于分的人數(shù).【題目詳解】（1）樣本容量與總體的比為：則抽取的正科級干部人數(shù)為；副科級干部人數(shù)為，（2）這名科級干部預(yù)測成績的平均分：設(shè)正科級干部組每人的預(yù)測成績分別為，副科級干部組每人的預(yù)測成績分別為則正科級干部組預(yù)測成績的方差為：解得：副科級干部組預(yù)測成績的方差為：解得：這名科級干部預(yù)測成績的方差為這名科級干部預(yù)測成績的平均分為，標準差為（3）由，，得的估計值，的估計值由得：所求人數(shù)為：人【題目點撥】本題考查統(tǒng)計中的頻數(shù)的計算、平均數(shù)和方差、標準差的求解、正態(tài)分布中的概率求解問題，是對統(tǒng)計知識的綜合考查，屬于常規(guī)題型.19、（1）；（2）；（3）；【解題分析】

（1）利用捆綁法即可求出，（2）利用插空法即可求出，（3）利用捆綁和插空法，即可求出．【題目詳解】解：（1）首先把兩位女士捆綁在一起看做一個符合元素，和另外5人全排列，故有種，（2）將老王與老況插入另外5人全排列所形成的6個空的兩個，故有種，（3）先安排老王與老況，在形成的3個空中選2個插入小郭與小周，在形成的5個空中選1個插入老顧，最后將兩位女士捆綁在一起看做一個符合元素，選1個位置插入到其余5人形成的6個空中故有種．【題目點撥】本題考查了簡單的排列組合，考查了相鄰問題和不相鄰問題，屬于中檔題.20、(1)見證明；(2)【解題分析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性，可證得；（2）利用假設(shè)切點的方式寫出切線方程，原問題轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個解；此時可采用零點存在定理依次判斷零點個數(shù)，得到范圍，也可以先利用分離變量的方式，構(gòu)造新的函數(shù)，然后討論函數(shù)圖像，得到范圍.【題目詳解】（1）證明：時，在上遞減，在上遞增（2）當時，，，明顯不滿足要求；當時，設(shè)切點為（顯然），則有，整理得由題意，要求方程在區(qū)間上有兩個不同的實數(shù)解令①當即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減或先單調(diào)遞減再遞增而，，，在區(qū)間上有唯一零點，在區(qū)間上無零點，所以此時不滿足題要求.②當時，在上單調(diào)遞增不滿足在區(qū)間上有兩