遼寧省大連市普蘭店區(qū)第二中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

遼寧省大連市普蘭店區(qū)第二中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．年平昌冬奧會期間，名運動員從左到右排成一排合影留念，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法種數(shù)為（）A． B． C． D．2．若將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，則平移后圖像的一個對稱中心可以為（）A． B． C． D．3．中，若，則該三角形一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形4．設(shè)，則=A．2 B． C． D．15．定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則（）A． B．2 C． D．6．展開式中的系數(shù)為（）A．30 B．15 C．0 D．-157．把67化為二進制數(shù)為A．1100001(2) B．1000011(2)C．110000(2) D．1000111(2)8．已知函數(shù)，設(shè)，則A． B．C． D．9．已知，函數(shù)，若對任意給定的，總存在，使得，則的最小值為（）A． B． C．5 D．610．已知函數(shù)，若是函數(shù)的唯一極值點，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．11．設(shè)是可導(dǎo)函數(shù),且滿足,則曲線在點處的切線斜率為()A．4 B．-1 C．1 D．-412．已知A,B為平面內(nèi)兩定點,過該平面內(nèi)動點M作直線AB的垂線,垂足為.若,其中為常數(shù),則動點M的軌跡不可能是（）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，若，則的外接圓半徑，將此結(jié)論拓展到空間，可得出的正確結(jié)論是：在四面體中，若兩兩垂直，，則四面體的外接球半徑______________．14．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_________.15．課本中，在形如……的展開式中，我們把）叫做二項式系數(shù)，類似地在…的展開式中，我們把叫做三項式系數(shù)，則……的值為______.16．己知復(fù)數(shù)和均是純虛數(shù)，則的模為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某村計劃建造一個室內(nèi)面積為800平米的矩形蔬菜溫室，在溫室內(nèi)沿左右兩側(cè)與后墻內(nèi)側(cè)各保留1米的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3米寬的空地，當(dāng)矩形溫室的邊長各為多少時，蔬菜的種植面積最大？最大的種植面積是多少？18．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.19．（12分）選修4-5：不等式選講設(shè)的最小值為.（1）求實數(shù)的值；（2）設(shè)，，，求證：.20．（12分）如圖，正方形的邊長為2，點，分別為，的中點，將，分別沿，折起，使，兩點重合于點，連接.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求與平面所成角的余弦值.21．（12分）在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為＝（＞0），過點的直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線與曲線C相交于A，B兩點．（Ⅰ）寫出曲線C的直角坐標方程和直線的普通方程；（Ⅱ）若，求的值．22．（10分）從6名男生和4名女生中任選4人參加比賽，設(shè)被選中女生的人數(shù)為隨機變量，求：(1)的分布列；(2)所選女生不少于2人的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：根據(jù)題意，分兩種情況討論：①最左邊排甲；②最左邊排乙，分別求出每一種情況的安排方法數(shù)目，由分類計數(shù)原理計算即可得到答案.詳解：根據(jù)題意，最左端只能排甲或乙，則分兩種情況討論：①最左邊排甲，則剩下4人進行全排列，有種安排方法；②最左邊排乙，則先在剩下的除最右邊的3個位置選一個安排甲，有3種情況，再將剩下的3人全排列，有種情況，此時有種安排方法，則不同的排法種數(shù)為種.故選：C.點睛：解決排列類應(yīng)用題的策略(1)特殊元素(或位置)優(yōu)先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置．(2)分排問題直排法處理．(3)“小集團”排列問題中先集中后局部的處理方法．2、A【解題分析】

通過平移得到，即可求得函數(shù)的對稱中心的坐標，得到答案.【題目詳解】向左平移個單位長度后得到的圖像，則其對稱中心為,或?qū)⑦x項進行逐個驗證,選A.【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，以及熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力.3、D【解題分析】

利用余弦定理角化邊后，經(jīng)過因式分解變形化簡可得結(jié)論.【題目詳解】因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以或，所以或，所以三角形是等腰三角形或直角三角形.故選：D【題目點撥】本題考查了利用余弦定理角化邊，考查了利用余弦定理判斷三角形的形狀，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】

先由復(fù)數(shù)的除法運算（分母實數(shù)化），求得，再求．【題目詳解】因為，所以，所以，故選C．【題目點撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運算，復(fù)數(shù)模的計算．本題也可以運用復(fù)數(shù)模的運算性質(zhì)直接求解．5、D【解題分析】

由等式可得函數(shù)的周期，得到，再由奇函數(shù)的性質(zhì)得，根據(jù)解析式求出，從而得到的值.【題目詳解】因為，所以的周期，所以，故選D.【題目點撥】由等式得函數(shù)的周期，其理由是：為函數(shù)自變量的一個取值，為函數(shù)自變量的另一個取值，這兩個自變量的差始終為4，函數(shù)值始終相等，所以函數(shù)的周期為4.6、C【解題分析】

根據(jù)的展開式的通項公式找出中函數(shù)含項的系數(shù)和項的系數(shù)做差即可．【題目詳解】的展開式的通項公式為，故中函數(shù)含項的系數(shù)是和項的系數(shù)是所以展開式中的系數(shù)為-=0【題目點撥】本題考查了二項式定理的應(yīng)用，熟練掌握二項式定理是解本題的關(guān)鍵．7、B【解題分析】如圖：所以把67化為二進制數(shù)為1000011(2)．故選B.考點：二進制法.8、D【解題分析】

對函數(shù)求導(dǎo)，得出函數(shù)在上單調(diào)遞減，利用中間值法比較、、的大小關(guān)系，利用函數(shù)的單調(diào)性得出、、三個數(shù)的大小關(guān)系．【題目詳解】，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，即，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，，故選D.【題目點撥】本題考查函數(shù)值的大小比較，這類問題需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及自變量的大小，其中單調(diào)性可以利用導(dǎo)數(shù)來考查，本題中自變量的結(jié)構(gòu)不相同，可以利用中間值法來比較，考查推理能力，屬于中等題．9、D【解題分析】分析：先化簡函數(shù)的解析式得，再解方程f(x)=0得到，再分析得到，再討論a=0的情況得到w的范圍，再綜合即得w的最小值.詳解：當(dāng)a≠0時，，由f(x)=0得，因為所以，根據(jù)三角函數(shù)的圖像得只要coswx=1滿足條件即可，這時，所以當(dāng)a=0時，，令f(x)=0，所以coswx=0，須滿足綜合得故答案為：D.點睛：（1）本題主要考查三角恒等變換，考查函數(shù)的零點和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力數(shù)形結(jié)合思想方法.(2)解答本題的難點在討論a≠0時，分析推理出.10、A【解題分析】

由的導(dǎo)函數(shù)形式可以看出，需要對k進行分類討論來確定導(dǎo)函數(shù)為0時的根．【題目詳解】解：∵函數(shù)的定義域是∴，∵是函數(shù)的唯一一個極值點∴是導(dǎo)函數(shù)的唯一根，∴在無變號零點，即在上無變號零點，令，因為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以的最小值為，所以必須，故選：A．【題目點撥】本題考查由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)確定極值問題．對參數(shù)需要進行討論．11、D【解題分析】

由已知條件推導(dǎo)得到f′（1）=-4，由此能求出曲線y=f（x）在（1，f（1））處切線的斜率．【題目詳解】由，得，∴曲線在點處的切線斜率為-4，故選：D.【題目點撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及運算，求解問題的關(guān)鍵，在于對所給極限表達式進行變形，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線上的點的切線斜率，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解題分析】試題分析：以AB所在直線為x軸，AB中垂線為y軸，建立坐標系，設(shè)M（x，y），A（-a，0）、B（a，0）；因為，所以y2=λ（x+a）（a-x），即λx2+y2=λa2，當(dāng)λ=1時，軌跡是圓．當(dāng)λ＞0且λ≠1時，是橢圓的軌跡方程；當(dāng)λ＜0時，是雙曲線的軌跡方程;當(dāng)λ=0時，是直線的軌跡方程；綜上，方程不表示拋物線的方程．故選C．考點：軌跡方程的求法,圓錐曲線方程。點評：中檔題，判斷軌跡是什么，一般有兩種方法，一是定義法，二是求軌跡方程后加以判斷。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

通過條件三條棱兩兩垂直，可將其補為長方體，從而求得半徑.【題目詳解】若兩兩垂直,可將四面體補成一長方體，從而長方體的外接球即為四面體的外接球，于是半徑，故答案為.【題目點撥】本題主要考查外接球的半徑，將四面體轉(zhuǎn)化為長方體求解是解決本題的關(guān)鍵.14、【解題分析】

求出導(dǎo)函數(shù)，在上解不等式可得的單調(diào)減區(qū)間．【題目詳解】，其中，令，則，故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，填．【題目點撥】一般地，若在區(qū)間上可導(dǎo)，且，則在上為單調(diào)減函數(shù)；反之，若在區(qū)間上可導(dǎo)且為減函數(shù)，則．注意求單調(diào)區(qū)間前先確定函數(shù)的定義域．15、0【解題分析】

根據(jù)的等式兩邊的項的系數(shù)相同，從而求得要求式子的值.【題目詳解】，其中系數(shù)為……，，而二項式的通項公式，因為2015不是3的倍數(shù)，所以的展開式中沒有項，由代數(shù)式恒成立可得……，故答案為：0.【題目點撥】本題考查二項式定理，考查學(xué)生的分析能力和理解能力，關(guān)鍵在于構(gòu)造并分析其展開式，是一道難題.16、1【解題分析】

通過純虛數(shù)的概念，即可求得，從而得到模長.【題目詳解】根據(jù)題意設(shè)，則，又為虛數(shù)，則，故，則，故答案為1.【題目點撥】本題主要考查純虛數(shù)及模的概念，難度不大.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、當(dāng)矩形溫室的左側(cè)邊長為40m，后側(cè)邊長為20m時，花卉種植面積達到最大，最大面積為648m【解題分析】解：設(shè)溫室的邊長分別為：x，y則：xy=800………………（1分）S=(x-4)(y-2),(x>0)………（3分）=xy-4y-2x+8=800-=808-(3200∵x>0∴3200x+2x≥23200當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立∴S≤648…………………（6分）此時x=40y=20，最大的種植面積為：648m218、（1）；（2）.【解題分析】

（1）分別在、、去除絕對值符號可得到不等式；綜合各個不等式的解集可求得結(jié)果；（2）根據(jù)的范圍可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，通過分離變量可得，通過求解最大值可得到結(jié)果.【題目詳解】（1）當(dāng)時，，解集為當(dāng)時，，解得：當(dāng)時，，解得：綜上所述，的解集為：（2）當(dāng)時，不等式可化為：，即：當(dāng)時，當(dāng)，即時，即的取值范圍為：【題目點撥】本題考查絕對值不等式的求解、含絕對值不等式的恒成立問題的求解；解絕對值不等式的關(guān)鍵是能夠通過分類討論的方式得到函數(shù)在每個區(qū)間上的解析式；常用的恒成立問題的處理方法是通過分離變量的方式將問題轉(zhuǎn)化為所求變量與函數(shù)最值之間的關(guān)系.19、（1）；（2）見詳解.【解題分析】

(1)將函數(shù)表示為分段函數(shù)，再求其最小值.(2)利用已知等式構(gòu)造出可以利用均值不等式的形式.【題目詳解】（1）當(dāng)時，取得最小值，即.（2）證明：依題意，，則.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立.所以.【題目點撥】本題考查求含絕對值函數(shù)的最值，由均值不等式求最值.含絕對值的函數(shù)或不等式問題，一般可以利用零點分類討論法求解.已知或(是正常數(shù)，)的值，求另一個的最值，這是一種常見的題型，解題方法是把兩式相乘展開再利用基本不等式求最值.20、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）由已知易證平面，可得，又由可得證；（Ⅱ）法一：在內(nèi)過點作于點，可證為所求線面角；法二：以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，用空間向量方法求解.【題目詳解】解：（Ⅰ）∵，，∴平面，又平面，∴.由已知可得，∴平面.（Ⅱ）法一：在內(nèi)過點作于點.由（Ⅰ）知平面平面，平面平面，則即為與平面所成角.設(shè)與交于點，連接，則，.又平面，平面，，在，，.∴，即與平面所成角的余弦值.法二：以點為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系.則，，，，設(shè)，則，解得，于是.又平面的一個法向量為，故.因此，與平面所成角的余弦值.【題目點撥】本題考查了線面垂直的證明和線面角的求法，考查了直觀想象能力和數(shù)學(xué)計算能力，屬于中檔題.21、（Ⅰ），（Ⅱ）．【解題分析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)可將曲線C的極坐標方程化為直角坐標，兩式相減消去參數(shù)得直線的普通方程為．（Ⅱ）由直線參數(shù)方程幾何意義有，因此將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程中，得,由韋達定理有．解之得：或（舍去）試題解析：（Ⅰ）由得,∴曲線的直角坐標方程為．直線的普通方程為．（Ⅱ）將直線的