安徽省廬江盛橋中學2024屆高二數學第二學期期末監(jiān)測模擬試題含解析

安徽省廬江盛橋中學2024屆高二數學第二學期期末監(jiān)測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數f(x)=2x3+ax+a.過點M(-1,0)引曲線C:y=f(x)的兩條切線，這兩條切線與y軸分別交于A，B兩點，若|MA|=|MB|，則f(x)A．-324 B．-32．計算=A． B． C． D．3．如果點位于第三象限，那么角所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．若某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積等于（）A．10 B．20 C．30 D．605．已知函數是定義在上的偶函數，且，若對任意的，都有成立，則不等式的解集為（）A． B．C． D．6．已知曲線的一條切線的斜率為2，則切點的橫坐標為()A．1 B．ln2 C．2 D．e7．函數為偶函數，且在單調遞增，則的解集為A． B．或C． D．或8．若均為第二象限角，滿足，，則（）A． B． C． D．9．設隨機變量服從正態(tài)分布，，則（）A． B． C． D．10．方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍是（）A． B． C． D．11．一名法官在審理一起珍寶盜竊案時，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下，甲說:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙說:“我沒有作案，是丙偷的”；丙說：“甲、乙兩人中有一人是小偷”；丁說：乙說的是事實”.經過調查核實，四人中有兩人說的是真話，另外兩人說的是假話，且這四人中只有一人是罪犯，由此可判斷罪犯是（）A．甲B．乙C．丙D．丁12．若雙曲線x2a2-yA．52 B．5 C．62二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數在其極值點處的切線方程為____________.14．若關于的不等式的解集是，則實數的值是__________．15．從集合的子集中選出個不同的子集，需同時滿足以下兩個條件：①、都至少屬于其中一個集合；②對選出的兩個子集、，必有或．那么，共有______種不同的選法．16．，，，，……則根據以上四個等式，猜想第個等式是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設且，函數.（1）當時，求曲線在處切線的斜率；（2）求函數的極值點．18．（12分）已知函數（為自然對數的底數）.（1）當時，求函數的極值；（2）若函數在區(qū)間上單調遞增，求的取值范圍.19．（12分）如圖，已知三棱柱的側棱與底面垂直，，分別是的中點.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）橢圓的左右焦點分別為，與軸正半軸交于點，若為等腰直角三角形，且直線被圓所截得的弦長為2.（1）求橢圓的方程；（2）直線：與橢圓交于點，線段的中點為，射線與橢圓交于點，點為的重心，求證：的面積為定值.21．（12分）設函數．（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）討論函數的單調性．22．（10分）已知拋物線的焦點為拋物線上的兩動點，且，過兩點分別作拋物線的切線，設其交點為.（1）證明：為定值；（2）設的面積為，寫出的表達式，并求的最小值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

設切點的橫坐標為t，利用切點與點M連線的斜率等于曲線C在切點處切線的斜率，利用導數建立有關t的方程，得出t的值，再由MA=MB得出兩切線的斜率之和為零，于此得出a的值，再利用導數求出函數【題目詳解】設切點坐標為(t,2t3+at+a)，∵y'=6解得t=0或t=-32.∵|MA|=|MB|，∴y'則a=-274，f'(x)=6x2-274.當x<-324或x>【題目點撥】本題考查導數的幾何意義，考查利用導數求函數的極值點，在處理過點作函數的切線時，一般要設切點坐標，利用切線與點連線的斜率等于切線的斜率，考查計算能力，屬于中等題。2、B【解題分析】分析：根據復數乘法法則求結果.詳解：選B.點睛：首先對于復數的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復數相關基本概念，如復數的實部為、虛部為、模為、對應點為、共軛為3、B【解題分析】

由二倍角的正弦公式以及已知條件得出和的符號，由此得出角所在的象限.【題目詳解】由于點位于第三象限，則，得，因此，角為第二象限角，故選B.【題目點撥】本題考查角所在象限的判斷，解題的關鍵要結合已知條件判斷出角的三角函數值的符號，利用“一全二正弦，三切四余弦”的規(guī)律判斷出角所在的象限，考查推理能力，屬于中等題.4、B【解題分析】

分析：根據三視圖得到原圖，再由椎體的體積公式得到結果.詳解：由三視圖得到原圖是，底面為直角三角形，高為5的直棱柱，沿面對角線切去一個三棱錐后剩下的部分．體積為：故答案為B.點睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應深刻理解三視圖之間的關系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據三視圖進行調整.5、D【解題分析】

構造函數，判斷函數的單調性和奇偶性，根據其性質解不等式得到答案.【題目詳解】對任意的，都有成立構造函數在上遞增.是偶函數為奇函數，在上單調遞增.當時：當時：故答案選D【題目點撥】本題考查了函數的奇偶性，單調性，解不等式，構造函數是解題的關鍵.6、D【解題分析】

對函數進行求導，然后讓導函數等于2，最后求出切點的橫坐標.【題目詳解】，由題意可知，因此切點的橫坐標為e，故選D.【題目點撥】本題考查了導數的幾何意義，考查了導數的運算法則，考查了數學運算能力.7、D【解題分析】

根據函數的奇偶性得到，在單調遞增，得，再由二次函數的性質得到，【題目詳解】函數為偶函數，則，故，因為在單調遞增，所以.根據二次函數的性質可知，不等式，或者，的解集為，故選D.【題目點撥】此題考查了函數的對稱性和單調性的應用，對于抽象函數，且要求解不等式的題目，一般是研究函數的單調性和奇偶性，通過這些性質將要求的函數值轉化為自變量的大小比較，直接比較括號內的自變量的大小即可.8、B【解題分析】

利用同角三角函數的基本關系求得cosα和sinβ的值，兩角和的三角公式求得cos（α+β）的值．【題目詳解】解：∵sinα，cosβ，α、β均為第二象限角，∴cosα，sinβ，∴cos（α+β）＝cosαcosβ-sinαsinβ?（），故答案為B【題目點撥】本題主要考查同角三角函數的基本關系，兩角和的余弦公式，屬于基礎題．9、D【解題分析】分析：由題可知，正態(tài)曲線關于對稱，根據，即可求出詳解：隨機變量服從正態(tài)分布正態(tài)曲線關于對稱故選D.點睛：本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，本題解題的關鍵是正態(tài)曲線的對稱性.10、A【解題分析】

將橢圓方程化為標準方程，根據題中條件列出關于的不等式，解出該不等式可得出實數的取值范圍.【題目詳解】橢圓的標準方程為，由于該方程表示焦點在軸上的橢圓，則，解得，因此，實數的取值范圍是，故選A.【題目點撥】本題考查橢圓的標準方程，考查根據方程判斷出焦點的位置，解題時要將橢圓方程化為標準形式，結合條件列出不等式進行求解，考查運算求解能力，屬于中等題.11、B【解題分析】∵乙、丁兩人的觀點一致，∴乙、丁兩人的供詞應該是同真或同假；若乙、丁兩人說的是真話，則甲、丙兩人說的是假話，由乙說真話推出丙是罪犯的結論；由甲說假話，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的結論，矛盾；∴乙、丁兩人說的是假話，而甲、丙兩人說的是真話；由甲、丙的供述內容可以斷定乙是罪犯．12、A【解題分析】

由垂直關系得出漸近線的斜率，再轉化為離心率e的方程即可．【題目詳解】∵雙曲線的一條漸近線與直線y=2x垂直，∴-bb2a2=c2故選A．【題目點撥】本題考查雙曲線的漸近線，掌握兩直線垂直的充要條件是解題基礎．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】，令，此時函數在其極值點處的切線方程為考點：：導數的幾何意義.14、【解題分析】分析：先根據二次函數圖像得恒成立且的兩根為1，3，再根據韋達定理求實數的值詳解：因為關于的不等式的解集是，所以恒成立且的兩根為1，3，所以.點睛：一元二次方程的根與對應一元二次不等式解集以及對應二次函數零點的關系，是數形結合思想，等價轉化思想的具體體現，注意轉化時的等價性.15、【解題分析】

由題意可知，集合和可以互換，只需考查，由題意可知，分為二元集、三元集和四元集三種情況，利用真子集的個數公式可得出對應的集合的個數，然后利用分類計數原理可得出答案.【題目詳解】由于或，集合和可以互換，現考查，且，則，由題意知，.①當為二元集時，，，則集合的個數為；②當為三元集時，若，，則集合的個數為；若，同理可知符合條件的集合也有個；③若為四元集時，，，則集合的個數為.綜上所述，共有種.故答案為：.【題目點撥】本題考查了集合的化簡與運算以及集合真子集個數的求法，同時也考查了分類討論思想的應用，屬于難題.16、.【解題分析】分析：根據已知的四個等式知；等式左邊自然對數的指數都是從開始，連續(xù)個正整數的和，右邊都是．詳解：，，，，……由上邊的式子，我們可以發(fā)現：等式左邊自然對數的指數都是從開始，連續(xù)個正整數的和，右邊都是，可猜想，.故答案為.點睛：本題通過觀察幾組等式，歸納出一般規(guī)律來考查歸納推理，屬于中檔題.歸納推理的一般步驟:一、通過觀察個別情況發(fā)現某些相同的性質.二、從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般性命題(猜想）.常見的歸納推理分為數的歸納和形的歸納兩類：(1)數的歸納包括數的歸納和式子的歸納，解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關系，同時還要聯系相關的知識，如等差數列、等比數列等；(2)形的歸納主要包括圖形數目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2)見解析.【解題分析】試題分析：（1）由已知中函數，根據a=2，我們易求出f（3）及f′（3）的值，代入即可得到切線的斜率k=f′（3）．（2）由已知我們易求出函數的導函數，令導函數值為0，我們則求出導函數的零點，根據m＞0，我們可將函數的定義域分成若干個區(qū)間，分別在每個區(qū)間上討論導函數的符號，即可得到函數函數f（x）的極值點．試題解析：(1)由已知得x>0.當a＝2時，f′(x)＝x－3＋，f′(3)＝，所以曲線y＝f(x)在(3，f(3))處切線的斜率為.(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋＝＝.由f′(x)＝0，得x＝1或x＝a.①當0<a<1時，當x∈(0，a)時，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增；當x∈(a,1)時，f′(x)<0，函數f(x)單調遞減；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增．此時x＝a時f(x)的極大值點，x＝1是f(x)的極小值點．②當a>1時，當x∈(0,1)時，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增；當x∈(1，a)時，f′(x)<0，函數f(x)單調遞減；當x∈(a，＋∞)時，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增．此時x＝1是f(x)的極大值點，x＝a是f(x)的極小值點．綜上，當0<a<1時，x＝a是f(x)的極大值點，x＝1是f(x)的極小值點；當a>1時，x＝1是f(x)的極大值點，x＝a是f(x)的極小值點．點睛：本題主要考查利用導數判斷函數的單調性以及函數的極值，屬于中檔題.求函數極值的步驟：(1)確定函數的定義域；(2)求導數；(3)解方程求出函數定義域內的所有根；(4)列表檢查在的根左右兩側值的符號，如果左正右負（左增右減），那么在處取極大值，如果左負右正（左減右增），那么在處取極小值.（5）如果只有一個極值點，則在該處即是極值也是最值.18、（1）極小值為（2）【解題分析】分析：（1）根據利用導數求函數極值的一般步驟求解即可；（2）,由于函數在區(qū)間上是增函數，所以，令，則即在上恒成立，由此可求的取值范圍..詳解：（1）當時，，，令，解得，當變化時，，的變化情況如下表0+單調遞減1單調遞增因此，當時，有極小值，并且極小值為（2）,由于函數在區(qū)間上是增函數所以，令，則即在上恒成立設，則在上為增函數，∴∴，即的取值范圍是．點睛：本題考查利用到時研究函數的單調性，極值，考查分析問題解決問題的能力．是圣.19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）以分別為軸建立空間直角坐標系，計算直線對應向量，根據向量夾角公式得到答案.（2）分別計算兩個平面的法向量，利用法向量的夾角計算二面角余弦值.【題目詳解】（1）如圖，以分別為軸建立空間直角坐標系，則，,異面直線與所成角的余弦值為.（2）平面的一個法向量為．設平面的一個法向量為,由得,，不妨取則，,,二面角的余弦值為.【題目點撥】本題考查了空間直角坐標系的應用，求異面直線夾角和二面角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.20、（1）；（2）【解題分析】分析：（1）由等腰直角三角形的性質分析可得，又由直線與圓的位置關系可得的值，進而可得的值，將的值代入橢圓的方程即可得結論；（2）根據題意，分、兩種情況討論，若直線的斜率不存在，容易求出的面積，若直線的斜率存在，設直線的方程為，設，聯立直線與橢圓的方程，結合一元二次方程中根與系數的關系，求出的面積消去參數，綜合兩種情況可得結論.詳解：（1）由為等腰直角三角形可得，直線：被圓圓所截得的弦長為2，所以，所以橢圓的方程為.（2）若直線的斜率不存在，則.若直線的斜率存在，設直線的方程為，設，即，則，，，由題意點為重心，設，則，所以，，代入橢圓，得，整理得，設坐標原點到直線的距離為，則的面積.綜上可得的面積為定值.點睛：本題主要考查待定待定系數法求拋物線及橢圓標準方程、圓錐曲線的定值問題以及點在曲線上問題，屬于難題.探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據特殊位置和數值求出定值，再證明這個值與變量無關；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）討論見解析【解題分析】

（Ⅰ）利用導數的幾何意義求解即可；（Ⅱ）分類討論參數的范圍，利用導數證明單調性即可.【題目詳解】解：（Ⅰ）當時，所以．所以．所以曲線在點處的切線方程為．（Ⅱ）因為，所以．（1）當時，因為由得，由得，所以在區(qū)間內單調遞增，在區(qū)間內單調遞減．（2）當時，令，得．①當時，由，得；由，得或．所以在區(qū)間內單調遞增，在區(qū)間和內單調遞減．②當時，由得或；由得．所以在區(qū)間和內單調遞增，在區(qū)間內單調遞減．③當時，因為所以在區(qū)間內單調遞增．④當時，由得或；由得．所以在區(qū)間和內單調遞增，在區(qū)間內單調遞減．綜上可知，當時，在區(qū)間內單調遞增，在區(qū)間內單調遞減；當時，在區(qū)間內單調遞增，在區(qū)間和內單調遞減；當時，在區(qū)間和內單調遞增，在區(qū)間內單調遞減；當時，在區(qū)間內單調遞增；當時，在區(qū)間和內單調遞增，在區(qū)間內單調遞減．【題目點撥】本題主要考查了導數的幾何意義以及利用利用導數證明含參函數的單調性，屬于中檔題.22、（Ⅰ）定值為0；（2）S=，S取得最小值1．【解題分析】分析：（1）設A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），根據拋物線方程可得焦點坐標和準線方程，設直線方程與拋物線方程聯立消去y，根據判別式大于0求得和，根據曲線1y=