2024屆湖南省漣源一中數(shù)學高二下期末聯(lián)考模擬試題含解析

2024屆湖南省漣源一中數(shù)學高二下期末聯(lián)考模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一個盒子里有7個紅球，3個白球，從盒子里先取一個小球，然后不放回的再從盒子里取出一個小球，若已知第1個是紅球的前提下，則第2個是白球的概率是（）A． B． C． D．2．已知二項式的展開式的第二項的系數(shù)為，則（）A． B． C．或 D．或3．如圖，由函數(shù)的圖象，直線及x軸所圍成的陰影部分面積等于（）A． B．C． D．4．在橢圓中，分別是其左右焦點，若，則該橢圓離心率的取值范圍是()A． B． C． D．5．已知拋物線上一動點到其準線與到點M（0，4）的距離之和的最小值為，F(xiàn)是拋物線的焦點，是坐標原點，則的內(nèi)切圓半徑為A． B． C． D．6．有6名學生，其中有3名會唱歌，2名會跳舞，1名既會唱歌又會跳舞，現(xiàn)從中選出2名會唱歌的，1名會跳舞的，去參加文藝演出，求所有不同的選法種數(shù)為()A．18 B．15 C．16 D．257．用反證法證明命題：“若，且，則a，b全為0”時，要做的假設是（）A．且 B．a(chǎn)，b不全為0C．a(chǎn)，b中至少有一個為0 D．a(chǎn)，b中只有一個為08．從1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2個數(shù)，事件A為“第一次取到的是奇數(shù)”，B為“第二次取到的是3的整數(shù)倍”，則（）A． B． C． D．9．求函數(shù)的值域（）A．[0，+∞） B．[，+∞） C．[，+∞） D．[，+∞）10．設是平面內(nèi)的兩條不同直線，是平面內(nèi)兩條相交直線，則的一個充分不必要條件是（）A．B．C．D．11．若對任意實數(shù)，有，則（）A． B． C． D．12．下列命題是真命題的為（）A．若,則 B．若,則C．若,則 D．若,則二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若的展開式中第3項和第5項的二項式系數(shù)相等，則展開式中常數(shù)項等于____________.14．三角形中，是邊上一點，，，且三角形與三角形面積之比為，則__________．15．已知直線在矩陣對應的變換作用下變?yōu)橹本€：，則直線的方程為__________．16．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有2個零點，則實數(shù)的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).(Ⅰ)證明：；(Ⅱ)若直線為函數(shù)的切線，求的最小值.18．（12分）已知函數(shù)當時，求函數(shù)的極值；求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；當時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．19．（12分）已知函數(shù)的最小值為M.（1）求M；（2）若正實數(shù)，，滿足，求：的最小值.20．（12分）如圖為某一幾何體的展開圖，其中是邊長為的正方形，，點及共線.(1)沿圖中虛線將它們折疊起來，使四點重合，請畫出其直觀圖，試問需要幾個這樣的幾何體才能拼成一個棱長為的正方體?(2)設正方體的棱的中點為，求平面與平面所成二面角(銳角)的余弦值.(3)在正方體的邊上是否存在一點，使得點到平面的距離為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.21．（12分）已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b∈R)是復平面上的四個點,且向量對應的復數(shù)分別為z1,z2.(1)若z1+z2=1+i,求z1,z2;(2)若|z1+z2|=2,z1-z2為實數(shù),求a,b的值.22．（10分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將圓上每一個點的橫坐標不變，縱坐標伸長到原來的2倍，得到曲線.（1）求直線的普通方程及曲線的參數(shù)方程；（2）設點在直線上，點在曲線上，求的最小值及此時點的直角坐標.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：設已知第一次取出的是紅球為事件，第二次是白球為事件，先求出的概率，然后利用條件概率公式進行計算即可．詳解：設已知第一次取出的是紅球為事件，第二次是白球為事件．

則由題意知，所以已知第一次取出的是白球，則第二次也取到白球的概率為．

故選：B．點睛：本題主要考查條件概率的求法，熟練掌握條件概率的概率公式是關鍵．2、A【解題分析】分析：根據(jù)第二項系數(shù)，可求出；由定積分基本性質(zhì)，求其原函數(shù)為，進而通過微積分基本定理求得定積分值。詳解：展開式的第二項為所以系數(shù)，解得所以所以選A點睛：本題考查了二項式定理和微積分基本定理的綜合應用，通過方程確定參數(shù)的取值，綜合性強，屬于中檔題。3、A【解題分析】

試題分析：因為，=0時，x=1，所以，由函數(shù)的圖象，直線及x軸所圍成的陰影部分面積等于，故選A．考點：本題主要考查定積分的幾何意義及定積分的計算．點評：簡單題，圖中陰影面積，是函數(shù)在區(qū)間[1,2]的定積分．4、B【解題分析】解：根據(jù)橢圓定義|PF1|+|PF2|=2a，將設|PF1|=2|PF2|代入得|PF2|=根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，|PF2|≥a-c，故≥a-c，即a≤3ce≥，又e＜1，故該橢圓離心率的取值范圍故選B．5、D【解題分析】

由拋物線的定義將到準線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點的距離，到其準線與到點M（0，4）的距離之和的最小值，也即為最小，當三點共線時取最小值．所以，解得，由內(nèi)切圓的面積公式，解得．故選D．6、B【解題分析】名會唱歌的從中選出兩個有種,名會跳舞的選出名有種選法,但其中一名既會唱歌又會跳舞的有一個,兩組不能同時用他,共有種，故選B.7、B【解題分析】

根據(jù)反證法的定義，第一步要否定結(jié)論，即反設，可知選項.【題目詳解】根據(jù)反證法的定義，做假設要否定結(jié)論，而a，b全為0的否定是a，b不全為0，故選B.【題目點撥】本題主要考查了反證法，命題的否定，屬于中檔題.8、B【解題分析】

由條件概率的定義，分別計算即得解.【題目詳解】由題意事件為“第一次取到的是奇數(shù)且第二次取到的是3的整數(shù)倍”：若第一次取到的為3或9，第二次有2種情況；若第一次取到的為1，5，7，第二次有3種情況，故共有個事件由條件概率的定義：故選：B【題目點撥】本題考查了條件概率的計算，考查了學生概念理解，分類討論，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.9、D【解題分析】

設t，t≥0，則x＝t2+1，y＝2t2﹣t+2，由此再利用配方法能求出函數(shù)y＝2x的值域．【題目詳解】解：設t，t≥0，則x＝t2+1，∴y＝2t2﹣t+2＝2（t）2，故選：D．【題目點撥】本題考查函數(shù)的值域的求法，是基礎題，解題時要注意換元法的合理運用．10、B【解題分析】試題分析：A．不能得出，所以本題條件是的不充分條件；B．，當時，不一定有故本命題正確；C．不能得出，故不滿足充分條件；D．不能得出，故不滿足充分條件；故選B.考點：平面與平面垂直的方法.11、B【解題分析】分析：根據(jù)，按二項式定理展開，和已知條件作對比，求出的值，即可求得答案.詳解：，且，.故選：B.點睛：本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù).12、A【解題分析】試題分析：B若，則，所以錯誤；C．若，式子不成立．所以錯誤；D．若，此時式子不成立．所以錯誤，故選擇A考點：命題真假二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)題意先計算，再用展開式的通項公式計算常數(shù)項.【題目詳解】若的展開式中第3項和第5項的二項式系數(shù)相等.當時為常數(shù)項，為故答案為：【題目點撥】本題考查了二項式的計算，先判斷是解題的關鍵.14、【解題分析】分析：為的平分線，從而，根據(jù)余弦定理可得到，兩者結(jié)合可解出并求出，在中，由余弦定理可求出的長度．詳解：因為為的平分線，故．又，整理得，所以，故．又，故．填．點睛：（1）在中，若為的平分線（為上一點），則有；（2）在解三角形中，我們有時需要找出不同三角形之間相關聯(lián)的邊或角，由它們溝通分散在不同三角形的幾何量．15、【解題分析】分析：用相關點法求解，設直線上的點為直線上的點為，所以，，代入直線的方程詳解：設直線上的點為直線上的點為，直線在矩陣對應的變換作用下所以：，代入直線的方程整理可得直線的方程為。點睛：理解矩陣的計算規(guī)則和相互之間的轉(zhuǎn)換。16、【解題分析】

由題意可得有兩個不等實根，作出，，，的圖象，結(jié)合導數(shù)求得極值，考慮極小值與的關系，計算可得所求范圍．【題目詳解】函數(shù)恰有2個零點，

可得有兩個不等實根，

由的導數(shù)為，

當時，，當或時，，當時，，

可得處取得極大值，取得極小值，

且過，，作出，，，的圖象，

以及直線，如圖，此時與有兩個交點,只需滿足，即，又，所以，當時，在處取得極小值，取得極大值a，如圖，

只需滿足，解得，又，所以時，與有兩個交點，當時，顯然與有兩個交點，滿足題意，綜上可得a的范圍是，故答案為：.

【題目點撥】本題考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查導數(shù)的運用：求單調(diào)性和極值，考查圖象變換，屬于難題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析.(2).【解題分析】

（1）由即為，令，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可得到結(jié)論；（2）求得函數(shù)的導數(shù)，設出切點，可得的值和切線方程，令，求得，令，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，即可求解．【題目詳解】(Ⅰ)證明：整理得令，當，，所以在上單調(diào)遞增；當，，所以在上單調(diào)遞減，所以，不等式得證.(Ⅱ)，設切點為，則，函數(shù)在點處的切線方程為，令，解得，所以，令，因為，，所以，，當，，所以在上單調(diào)遞減；當，，所以在上單調(diào)遞增，因為，.【題目點撥】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．18、（1）的極小值是，無極大值；（2）答案不唯一，具體見解析；（3）.【解題分析】

代入a值，求函數(shù)的導數(shù)，解導數(shù)不等式得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求極值；求函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，解導數(shù)不等式得函數(shù)的遞增區(qū)間；問題轉(zhuǎn)化為，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最大值，從而求a的范圍．【題目詳解】解：時，，，令，解得：或，令，解得：，故在遞增，在遞減，在遞增，而在處無定義，故的極小值是，無極大值；，當時，解得：或，故函數(shù)在，遞增，當時，解得：，故函數(shù)在遞增；，，令，則，，令，解得：，在遞增，在遞減，即，故．【題目點撥】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，綜合性較強．19、（1）（2）3.【解題分析】

將絕對值函數(shù)寫成分段函數(shù)形式，分別求出各段的最小值，最小的即為函數(shù)的最小值。由（1）知，直接利用公式：平方平均數(shù)算數(shù)平均數(shù)，即可解出最小值?！绢}目詳解】（1）如圖所示∴(2)由（1）知∴∴∴∴當且僅當，是值最小∴的最小值為3.【題目點撥】本題考查絕對值函數(shù)及平方平均數(shù)與算數(shù)平均數(shù)的大小關系，屬于基礎題.20、（1）直觀圖見解析，3個；（2）；（3）不存在．【解題分析】

（1）先還原為一個四棱錐，在正方體中觀察；（2）延長與延長線交于點，連接，則為平面與平面的交線，作出二面角的平面角，計算即可；（3）假設點存在，作出點到平面的垂線段，然后計算的長，若，則點在邊上，否則不在邊上．【題目詳解】（1）圖1圖1左邊是所求直觀圖，放到圖1右邊正方體中，觀察發(fā)現(xiàn)要3個這樣的四棱錐才能拼成一個正方體．（2）圖2如圖（2）延長與延長線交于點，連接，則為平面與平面的交線，作于，連接，∵平面，平面，∴，又，∴平面，∴，∴是二面角的平面角．∵，是中點，即，∴是中點，正方體棱長為6，∴，，中，，．（3）假設存在點滿足題意，圖3如圖3，作于，∵平面，∴，而，∴平面．的長就是點到平面的距離．．∴，由，得，∴∽，∴，，不在線段上，∴假設錯誤，滿足題意的點不存在．【題目點撥】本題考查多面體的展開圖，考查二面角、點到平面的距離．立體幾何中求角時要作出這個角的“平面角”，并證明，然后計算．點到平面的距離可能通過作以平面的垂線段計算，也可通過體積法求解．21、（1）；（2）【解題分析】

（1）向量對應的復數(shù)分別為，，利用，即可得出；（2）為實數(shù)，可得，即可得出結(jié)論.【題目詳解】(1)∵=(a-1,-1),=(-3,b-3),∴z1=(a-1)-i,z2=-3+(b-3)i,∴z1+z2=(a-4)+(b-4)i=1+i,∴a-4=1,b-4=1,解得a=b=5,∴z1=4-i,z2=-3+2i.(2)∵|z1+z2|=2,z1-z2為實數(shù),z1+z2=(a-4)+(b-4)i,z1-z2=(a+2)+(2-b)i,∴=2,2-b=0,∴a=4,b=2.【題目點撥】本題主要考查復數(shù)的幾何意義，復數(shù)的模以及