2023-2024學(xué)年湘教版必修第二冊(cè) 4-4-2平面與平面垂直第1課時(shí)平面與平面垂直的判定 學(xué)案

第1課時(shí)平面與平面垂直的判定教材要點(diǎn)要點(diǎn)一二面角二面角的定義從一條直線出發(fā)的所組成的圖形叫作二面角二面角的相關(guān)概念這條直線叫作二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫作二面角的面二面角的畫法二面角的記法二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q二面角的平面角定義在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫作二面角的平面角圖形范圍∠AOB的范圍是狀元隨筆（1）二面角的大小可以用它的平面角的大小來度量．（2）二面角的平面角的大小與O點(diǎn)選取無關(guān)．要點(diǎn)二兩個(gè)平面互相垂直的定義1.兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是角，就說這兩個(gè)平面互相垂直．2.平面α，β互相垂直，記作Ｗ．3.畫法：要點(diǎn)三平面與平面垂直的判定定理文字語言圖形語言符號(hào)語言如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的，那么這兩個(gè)平面垂直a⊥βa?狀元隨筆（1）兩個(gè)平面垂直是兩個(gè)平面相交的特殊情況．例如正方體中任意相鄰兩個(gè)面都是互相垂直的．（2）兩個(gè)平面垂直和兩條直線互相垂直的共同點(diǎn)：都是通過所成的角是直角定義的．（3）判定定理的關(guān)鍵詞是“過另一面的垂線”，所以應(yīng)用的關(guān)鍵是在平面內(nèi)尋找另一個(gè)面的垂線．基礎(chǔ)自測(cè)1.思考辨析（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）二面角的平面角所確定的平面與二面角的棱垂直．（）（2）對(duì)于確定的二面角而言，平面角的大小與頂點(diǎn)在棱上的位置有關(guān)．（）（3）已知一條直線垂直于某一個(gè)平面，則過該直線的任意一個(gè)平面與該平面都垂直．（）（4）平面α和β分別過兩條互相垂直的直線，則α⊥β.（）2.在二面角α-l-β的棱l上任選一點(diǎn)O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，則必須具有的條件是（）A．AO⊥BO，AO?α，BO?βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO?α，BO?βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO?α，BO?β3.如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則圖中互相垂直的平面有對(duì)．題型1二面角及其平面角的概念例1（多選）下列命題正確的是（）A．兩個(gè)相交平面組成的圖形叫做二面角B．異面直線a，b分別和一個(gè)二面角的兩個(gè)面垂直，則a，b所成的角與這個(gè)二面角的平面角相等或互補(bǔ)C．二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作射線所成的角的最小角D．二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置沒有關(guān)系方法歸納（1）要注意區(qū)別二面角與兩相交平面所成的角并不一致．（2）要注意二面角的平面角與頂點(diǎn)在棱上且角兩邊分別在二面角面內(nèi)的角的聯(lián)系與區(qū)別．（3）可利用實(shí)物模型，作圖幫助判斷．跟蹤訓(xùn)練1若一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，那么這兩個(gè)二面角（）A．相等B．互補(bǔ)C．相等或互補(bǔ)D．關(guān)系無法確定題型2求二面角的大小例2如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中：（1）求二面角D′-AB-D的大小；（2）求二面角A′-AB-D的大?。椒w納（1）求二面角的關(guān)鍵是要找出二面角的平面角，而找平面角的關(guān)鍵是要找到二面角的棱上一點(diǎn)并分別在兩個(gè)面內(nèi)與棱垂直的兩條射線．（2）由于二面角的平面角的大小與棱上一點(diǎn)的位置無關(guān)，所以在具體問題中，這個(gè)點(diǎn)經(jīng)常選在一些特殊的位置，如線段的中點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練2在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，其他四個(gè)側(cè)面是腰長為3的等腰三角形，則二面角V-AB-C的余弦值的大小為（）A．23B．C．73D．題型3平面與平面垂直的證明角度1利用面面垂直的定義證明例3如圖，四面體A-BCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.證明：平面ACD⊥平面ABC.方法歸納證明二面角的平面角為直角，其判定的方法是：（1）找出兩相關(guān)平面的平面角；（2）證明這個(gè)平面角是直角；（3）根據(jù)定義，這兩個(gè)相交平面互相垂直．角度2利用面面垂直的判定定理證明例4如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1（側(cè)棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，AC＝CC1＝6，M是棱CC1的中點(diǎn)．求證：平面AB1M⊥平面ABB1A1.方法歸納利用判定定理證明面面垂直的一般方法：先從已知條件的直線中尋找平面的垂線，若這樣的垂線存在，則可通過線面垂直來證明面面垂直；若這樣的垂線不存在，則需通過作輔助線來解決．跟蹤訓(xùn)練3如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面四邊形ABCD是平行四邊形，SC⊥平面ABCD，E為SA的中點(diǎn)．求證：平面EBD⊥平面ABCD.eq\a\vs4\al(易錯(cuò)辨析)判斷面面位置關(guān)系時(shí)主觀臆斷例5如圖所示，已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，試問截面ACB1與對(duì)角面BB1D1D垂直嗎？試說明理由．解析：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AC⊥BD，因?yàn)锽B1⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，所以AC⊥BB1，又BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D1D，又AC?截面ACB1，所以截面ACB1⊥平面BB1D1D.易錯(cuò)警示易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得選錯(cuò)直線D1B1，推導(dǎo)出D1B1與平面ACB1不垂直，得到平面BB1D1D與平面ACB1不垂直．判斷兩個(gè)平面垂直，只需說明其中一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線即可，判斷線面、面面位置關(guān)系時(shí)，必須給出嚴(yán)格的推理過程，不能只憑圖形直觀妄加判斷，要全面理解垂直關(guān)系的實(shí)質(zhì)．課堂十分鐘1.已知l⊥α，則過l與α垂直的平面（）A．有1個(gè)B．有2個(gè)C．有無數(shù)個(gè)D．不存在2.空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么有（）A．平面ABC⊥平面ACDB．平面ABC⊥平面ABDC．平面ABC⊥平面BCDD．平面ADC⊥平面BCD3.從空間一點(diǎn)P向二面角α-l-β的兩個(gè)面α，β分別作垂線PE，PF，E，F(xiàn)為垂足，若∠EPF＝30°，則二面角α-l-β的平面角的大小是（）A．30°B．150°C．30°或150°D．不確定4.已知在△ABC中，∠BAC＝90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，且PA＝PB＝PC，則平面PBC與平面ABC的位置關(guān)系是．5.如圖，四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別為PC和BD的中點(diǎn)，且EF⊥CD.證明：平面PCD⊥平面PAD.第1課時(shí)平面與平面垂直的判定新知初探·課前預(yù)習(xí)要點(diǎn)一兩個(gè)半平面[0°，180°]要點(diǎn)二1．直二面2．α⊥β要點(diǎn)三垂線[基礎(chǔ)自測(cè)]1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)×2．解析：由二面角的平面角的定義可知．答案：D3．解析：由PA⊥矩形ABCD知，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD；由AB⊥平面PAD知，平面PAB⊥平面PAD；由BC⊥平面PAB知，平面PBC⊥平面PAB；由DC⊥平面PAD知，平面PDC⊥平面PAD.故題圖中互相垂直的平面有5對(duì)．答案：5題型探究·課堂解透例1解析：由二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，所以A不對(duì)，實(shí)質(zhì)上它共有四個(gè)二面角；由a，b分別垂直于兩個(gè)面，則a，b都垂直于二面角的棱，故B正確；C中所作的射線不一定垂直于二面角的棱，故C不對(duì)；由定義知D正確．答案：BD跟蹤訓(xùn)練1解析：如圖所示，平面EFDG⊥平面ABC，當(dāng)平面HDG繞DG轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，平面HDG始終與平面BCD垂直，所以兩個(gè)二面角的大小關(guān)系不確定，因?yàn)槎娼荋-DG-F的大小不確定．答案：D例2解析：(1)在正方體ABCD-A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD為二面角D′-AB-D的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′-AB-D的大小為45°.(2)因?yàn)锳B⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，∠A′AD為二面角A′-AB-D的平面角．又∠A′AD＝90°，所以二面角A′-AB-D的大小為90°.跟蹤訓(xùn)練2解析：如圖所示，取AB的中點(diǎn)E，連接VE，過V作底面的垂線，垂足為O，連接OE.根據(jù)題意可知，∠VEO是二面角V-AB-C的平面角．因?yàn)镺E＝1，VE＝32-1＝22，所以cos∠VEO＝OEVE＝答案：B例3證明：由題設(shè)可得△ABD≌△CBD，從而AD＝CD.又△ACD是直角三角形，所以∠ADC＝90°.如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接DO，BO，則DO⊥AC，DO＝AO.又因?yàn)椤鰽BC是正三角形，故BO⊥AC，所以∠DOB為二面角D-AC-B的平面角．在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.所以平面ACD⊥平面ABC.例4證明：連接A1B交AB1于O，連接MO，易得O為A1B，AB1的中點(diǎn)，∵CC1⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴CC1⊥AC，又M為CC1的中點(diǎn)，AC＝CC1＝6，∴AM＝32+6同理可得B1M＝35.∴MO⊥AB1.連接MB，同理可得A1M＝BM＝35.∴MO⊥A1B，又AB1∩A1B＝O，AB1，A1B?平面ABB1∴MO⊥平面ABB1A1，又MO?平面AB1M，∴平面AB1M⊥平面ABB1A1.跟蹤訓(xùn)練3證明：如圖，連接AC，與BD交于點(diǎn)F，連接EF.∵F為?ABCD的對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，∴F為AC的中點(diǎn)．∵E為SA的中點(diǎn)，∴EF為△SAC的中位線，∴EF∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.又∵EF?平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.[課堂十分鐘]1．解析：由面面垂直的判定定理知，凡過l的平面都垂直于平面α，這樣的平面有無數(shù)個(gè)．答案：C2．解析：∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD?平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD答案：D3．解析：若點(diǎn)P在二面角內(nèi)，則二面角的平面角為150°；若點(diǎn)P在二面角外，則二面角的平面角為30°.答案：C4．解析：因?yàn)镻A＝PB＝PC，所以P在△ABC所在平面上的投影必落在△ABC