初三數(shù)學(xué)扇形面積公式、圓柱、圓錐側(cè)面展開圖知識精講

圓錐的底面是一個圓，側(cè)面是一個曲面，這個曲面在一個平面上展開后是一個扇形，這個扇形的半徑是圓錐的母線，扇形的弧長是圓錐底面的周長。因此，圓錐的側(cè)面積是圓錐的...&初三數(shù)學(xué)扇形面積公式、圓柱、圓錐側(cè)面展開圖知識精講一.本周教學(xué)內(nèi)容：扇形面積公式、圓柱、圓錐側(cè)面展開圖［學(xué)習(xí)目標］1.掌握基本概念：正多邊形，正多邊形的中心角、半徑、邊心距以及平面鑲嵌等。2.扇形面積公式：n是圓心角度數(shù)，R是扇形半徑，l是扇形中弧長。3.圓柱是由矩形繞一邊旋轉(zhuǎn)360°形成的幾何體，側(cè)面展開是矩形，長為底面圓周長，寬為圓柱的高r底面半徑h圓柱高4.圓錐側(cè)面積圓錐是由直角三角形繞一直角邊旋轉(zhuǎn)360°形成的幾何體。側(cè)面展開是扇形，扇形半徑是圓錐的母線，弧長是底面圓周長。5.了解圓柱由兩平行圓面和一曲面圍成，明確圓柱的高和母線，它們相等。6.了解圓錐由一個曲面和一個底面圓圍成，明確圓錐的高和母線，知道可以通過解高、母線、底面半徑所圍直角三角形，解決圓錐的有關(guān)問題。7.圓柱圓柱的側(cè)面展開圖是兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱底面周長的矩形。圓柱的側(cè)面積等于底面周長乘以圓柱的高。如圖所示，若圓柱的底面半徑為r，高為h，則：，。8.圓錐圓錐是由一個底面和一個側(cè)面組成的。圓錐的底面是一個圓，側(cè)面是一個曲面，這個曲面在一個平面上展開后是一個扇形，這個扇形的半徑是圓錐的母線，扇形的弧長是圓錐底面的周長。因此，圓錐的側(cè)面積是圓錐的母線與底面周長積的一半。如圖所示，若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則。［重點、難點］扇形面積公式及圓柱、圓錐側(cè)面積公式的理解和靈活應(yīng)用。例1.已知如圖1，矩形ABCD中，AB＝1cm，BC＝2cm，以B為圓心，BC為半徑作圓弧交AD于F，交BA延長線于E，求扇形BCE被矩形所截剩余部分的面積。圖1解：∵AB＝1，BC＝2，F(xiàn)點在以B為圓心，BC為半徑的圓上，∴BF＝2，∴在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，∠ABF＝60°∴例2.已知扇形的圓心角150°，弧長為，則扇形的面積為____________。解：設(shè)扇形的面積為S，弧長為l，所在圓的半徑為R，由弧長公式，得：∴由扇形面積公式，，故填。點撥：本題主要考查弧長公式和扇形面積公式。例3.已知弓形的弦長等于半徑R，則此弓形的面積為__________。（弓形的弧為劣?。＝猓骸吖蜗议L等于半徑R∴弓形的弧所對的圓心角為60°∴扇形的面積為。三角形的面積為?！喙蔚拿娣e為。即。故應(yīng)填。點撥：注意弓形面積的計算方法，即弓形的面積等于扇形面積與三角形面積的和或差。本題若沒有括號里的條件，則有兩種情況。例4.若圓錐的母線與底面直徑都等于a，這個圓錐的側(cè)面積為_____________。解：∵圓錐的底面直徑等于a。∴底面半徑為，∴底面圓的周長為。又∵圓錐的母線長為a，∴圓錐的側(cè)面積為。故應(yīng)填點撥：圓錐的側(cè)面積即展開圖的扇形面積，可利用扇形的面積公式求得。例5.如圖2所示，OA和OO1是⊙O中互相垂直的半徑，B在上，弧的圓心是O1，半徑是OO1，⊙O2與⊙O、⊙O1、OA都相切，OO1＝6，求圖中陰影部分的面積。圖2解：設(shè)⊙O2與⊙O、⊙O1、OA分別切于點D、C、E，設(shè)⊙O2的半徑為r，連結(jié)O1O2，O2E，過點O2作O2F⊥O1O于F，連結(jié)O1B、OB、OO2∵O1O＝6，∴∴又∵，∴，，，∴（舍去）又∵是等邊三角形，∴扇形和扇形的面積相等且都等于?！嗨M成的圖形面積為扇形O1BO和扇形OO1B的面積之和減去三角形O1OB的面積，即：又∵扇形OAO1的面積為：∴陰影部分的面積為：點撥：本題比較復(fù)雜，考查的知識面比較多，要正確作輔助線，找出解題的思路。例6.在半徑為2的圓內(nèi)，引兩條平行弦，它們所對的弧分別為120°和60°，求兩弦間所夾圖形的面積及周長。解：分兩條弦在圓心的同側(cè)或兩側(cè)這兩種情況：①如圖3所示，由題意，圖3則∠AOB＝120°，∠COD＝60°又∵AB∥CD，∴，∴∠AOC＝∠BOD又∵∠AOC＋∠BOD＝180°∴∠AOC＝∠BOD＝90°∴又∵故所求面積為又∵∠AOC＝90°，∴，同理又∵△OCD是等邊三角形，∴CD＝OC＝OD＝2又∵∴所求的周長②如圖4所示，由第一種情況，得所求面積：圖4所求周長點撥：要注意本題的兩種情況，另外，弧長公式和扇形以及弓形的面積求法要求正確掌握，熟練運用。例7.如圖5所示，已知正方形的邊長是4cm，求它的內(nèi)切圓與外接圓組成的圓環(huán)的面積。（答案保留）（1999年廣州）圖5解：設(shè)正方形外接圓、內(nèi)切圓的半徑為R、r，面積為?！摺唷３Ｒ婂e誤：此題最容易產(chǎn)生的問題是找不出正方形邊長的一半與兩圓的半徑之間的勾股關(guān)系。即不會運用圓內(nèi)接正方形與圓外切正方形的性質(zhì)來解題。這一點讀者應(yīng)認真體會。例8.如圖6所示，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB＝BC＝CA＝6cm圖6（1）求證：∠OBC＝30°；（2）求OB的長（結(jié)果保留根號）；（3）求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）。解：（1）AB＝BC＝CA，∴∠A＝60°∴∠BOC＝120°，又∵OB＝OC，∴∠OBC（2）過O作OD⊥BC于D，∵OB＝OC，BC＝6cm，∴∵，∴（3）∵∴即陰影部分面積是。常見錯誤：此題常見的問題是不會運用正三角形這一條件，從而無法證明∠OBC＝30°；當然，解直角三角形失誤，求扇形面積時公式記錯產(chǎn)生的錯誤，也是考試中的常見錯誤，應(yīng)引起警惕。例9.一個圓錐的高是10cm，側(cè)面展開圖是半圓，求圓錐的側(cè)面積。點悟：如圖7所示，欲求圓錐的側(cè)面積，即求母線長l，底面半徑r。由圓錐的形成過程可知，圓錐的高、母線和底面半徑構(gòu)成直角三角形即Rt△SOA，且SO＝10，SA＝l，OA＝r，關(guān)鍵找出l與r的關(guān)系，又其側(cè)面展開圖是半圓，可得關(guān)系，即。圖7解：設(shè)圓錐底面半徑為r，扇形弧長為C，母線長為l，由題意得∴①在Rt△SOA中，②由①、②得：?！嗨髨A錐的側(cè)面積為。例10.圓錐的軸截面是等腰△PAB，且PA＝PB＝3，AB＝2，M是AB上一點，且PM＝2，那么在錐面上A、M兩點間的最短距離是多少？點悟：設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形PBB'，A點落在A'點，則所求A'、M之間的最短距離就是側(cè)面展形圖中線段A'M的長度。解：如圖8所示，扇形的圓心角＝360°圖8∴∠A'PB＝60°，在△A'PM中，過A'作A'N⊥PM于N，則∴，（答題時間：40分鐘）一、填表（1）已知：正n邊形邊長為a正n邊形中心角半徑邊心距周長面積n＝3n＝4n＝6（2）已知：正n邊形半徑R正n邊形中心角半徑邊心距周長面積n＝3n＝4n＝6二、填空題：1.如果扇形半徑長3cm，圓心角120°，則它的面積是_____________cm2。2.若圓錐母線長5cm，高3cm，則其側(cè)面展開圖的圓心角是_____________度。3.若圓錐底面半徑為3cm，母線長5cm，則它的側(cè)面展開圖面積是_____________cm2。4.有一圓柱狀玻璃杯，底面半徑3cm，高為8cm，今有一長12cm的吸管斜放入杯中，若不考慮吸管粗細，則吸管最少露出杯口處的長度是_____________cm。5.用一個半徑為30cm，圓心角為120°的扇形紙片做成一圓錐側(cè)面，那么圓錐底面半徑是_____________cm。6.如圖1，正方形ABCD邊長為2，分別以AB、BC為直徑在正方形內(nèi)作半圓，則圖中陰影部分面積為_____________平方單位。圖17.如圖2，AB＝2cm，∠AOB＝90°，AO＝BO，以O(shè)為圓心，OA為半徑作弧AB，以AB為直徑做半圓AmB，則半圓和弧AB所圍陰影部分面積是_____________cm2。圖28.若圓錐側(cè)面積為，母線長5cm，則圓錐的高為_____________cm。9.圓柱表面積為，它的高為2cm，則底面半徑為_____________cm。10.矩形ABCD中，AC＝4cm，∠ACB＝30°，以直線AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到圓柱表面積為_____________cm2。三、解答題：11.已知扇形的半徑為，它的面積恰好等于一個半徑為的圓面積，那么這個扇形的圓心角為多少度？12.如圖3，已知半圓O，以AD為直徑，AD＝2cm，B、C是半圓弧的三等分點，求圖中陰影部分面積。圖313.已知如圖，割線PCD過圓心O，且PD＝3PC，PA、PB切⊙O于點A、B，∠PAB＝60°，PA＝，AB與PD相交于E，求弓形ACB的面積。

[參考答案]一、填表：（1）正n邊形中心角半徑邊心距周長面積n＝3120°3an＝490°4an＝660°a6a（2）正n邊形中心角半徑邊心距周長面積n＝3120°n＝490°n＝660°R6R二、填空題：1. 2.288 3.4.2 5.10 6.7.1 8.4cm 9.3cm10.三、解答題：11.解：由題意，設(shè)所求圓心角為°，則答：所求扇形圓心角