福州教育學(xué)院附屬中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末達標測試試題含解析

福州教育學(xué)院附屬中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末達標測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．2．我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無丈芻，草也；甍，屋蓋也”翻譯為：“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱芻甍字面意思為茅草屋頂”如圖，為一芻甍的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側(cè)視圖為等腰三角形則它的體積為A． B．160 C． D．643．如圖，一環(huán)形花壇分成四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為（）A．96 B．84 C．60 D．484．觀察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根據(jù)上述規(guī)律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝()A．192 B．202 C．212 D．2225．在平面直角坐標系xOy中，圓C1：經(jīng)過伸縮變換后得到線C2，則曲線C2的方程為（）A．4x2+y2＝1 B．x2+4y2＝1 C．1 D．x216．已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和圖2所示．為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取4%的學(xué)生進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為()A．400，40 B．200，10 C．400，80 D．200，207．定義：如果一個向量列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常向量，那么這個向量列做等差向量列，這個常向量叫做等差向量列的公差.已知向量列是以為首項，公差的等差向量列.若向量與非零向量）垂直，則（）A． B． C． D．8．近年來隨著我國在教育科研上的投入不斷加大，科學(xué)技術(shù)得到迅猛發(fā)展，國內(nèi)企業(yè)的國際競爭力得到大幅提升．某品牌公司一直默默拓展海外市場，在海外設(shè)了多個分支機構(gòu)，現(xiàn)需要國內(nèi)公司外派大量中青年員工．該企業(yè)為了解這兩個年齡層員工是否愿意被外派工作的態(tài)度，按分層抽樣的方式從中青年員工中隨機調(diào)查了位，得到數(shù)據(jù)如下表：愿意被外派不愿意被外派合計中年員工青年員工合計由并參照附表，得到的正確結(jié)論是附表：0.100.010.0012.7066.63510.828A．在犯錯誤的概率不超過10%的前提下，認為“是否愿意外派與年齡有關(guān)”；B．在犯錯誤的概率不超過10%的前提下，認為“是否愿意外派與年齡無關(guān)”；C．有99%以上的把握認為“是否愿意外派與年齡有關(guān)”；D．有99%以上的把握認為“是否愿意外派與年齡無關(guān)”．9．如圖：在直棱柱中，，，分別是A1B1,BC,CC1的中點，則直線PQ與AM所成的角是（）A． B． C． D．10．把邊長為的正方形沿對角線折起，使得平面⊥平面，形成三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，則側(cè)視圖的面積為()A． B．C． D．11．已知拋物線的焦點為，準線為，是上一點，是直線與的一個交點，若，則（）A．8 B．4 C．6 D．312．“不等式成立”是“不等式成立”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某次考試結(jié)束后，甲、乙、丙三位同學(xué)討論考試情況.甲說：“我的成績一定比丙高”.乙說：“你們的成績都沒有我高”.丙說：“你們的成績都比我高”成績公布后，三人成績互不相同且三人中恰有一人說得不對，則這三人中成績最高的是______.14．已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點，則實數(shù)的最小值是__________.15．已知雙曲線：的右焦點到漸近線的距離為4，且在雙曲線上到的距離為2的點有且僅有1個，則這個點到雙曲線的左焦點的距離為______.16．______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝m，點M是棱CD的中點．（1）求異面直線B1C與AC1所成的角的大小；（2）是否存在實數(shù)m，使得直線AC1與平面BMD1垂直？說明理由；（3）設(shè)P是線段AC1上的一點（不含端點），滿足λ，求λ的值，使得三棱錐B1﹣CD1C1與三棱錐B1﹣CD1P的體積相等．18．（12分）若數(shù)列的前項和為，且，.（1）求，，；（2）猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.19．（12分）在平面直角坐標系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，直線與曲線交于兩點.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；(2)已知點的極坐標為，的值.20．（12分）用數(shù)學(xué)歸納法證明：．21．（12分）已知命題函數(shù)是上的奇函數(shù)，命題函數(shù)的定義域和值域都是，其中.（1）若命題為真命題，求實數(shù)的值；（2）若“且”為假命題，“或”為真命題，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知數(shù)列{}滿足，且.（I）證明：數(shù)列{}是等差數(shù)列；（II）求數(shù)列{}的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

令分離常數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性和極值，結(jié)合與有三個交點，求得的取值范圍.【題目詳解】方程可化為，令，有，令可知函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為、，則，，當時，，則若函數(shù)有3個零點，實數(shù)的取值范圍為．故選A.【題目點撥】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.2、A【解題分析】

分析：由三視圖可知該芻甍是一個組合體，它由成一個直三棱柱和兩個全等的四棱錐組成，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可得其體積.詳解：由三視圖可知該芻甍是一個組合體，它由成一個直三棱柱和兩個全等的四棱錐組成，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)，求出棱錐與棱柱的體積相加即可，，故選A.點睛：本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.3、B【解題分析】解：分三類：種兩種花有種種法；種三種花有2種種法；種四種花有種種法．共有2++=1．故選B4、C【解題分析】∵所給等式左邊的底數(shù)依次分別為1，2；1，2，3；1，2，3，4；

右邊的底數(shù)依次分別為3，6，10，（注意：這里，），

∴由底數(shù)內(nèi)在規(guī)律可知：第五個等式左邊的底數(shù)為1，2，3，4，5，6，

右邊的底數(shù)為，又左邊為立方和，右邊為平方的形式，

故有，故選C.點睛：本題考查了，所謂歸納推理，就是從個別性知識推出一般性結(jié)論的推理．它與演繹推理的思維進程不同．歸納推理的思維進程是從個別到一般，而演繹推理的思維進程不是從個別到一般，是一個必然地得出的思維進程．解答此類的方法是從特殊的前幾個式子進行分析找出規(guī)律．觀察前幾個式子的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)每一個等式左邊為立方和，右邊為平方的形式，且左邊的底數(shù)在增加，右邊的底數(shù)也在增加．從中找規(guī)律性即可.5、C【解題分析】

根據(jù)條件所給的伸縮變換，反解出和的表達式，然后代入到中，從而得到曲線.【題目詳解】因為圓，經(jīng)過伸縮變換所以可得，代入圓得到整理得，即故選C項.【題目點撥】本題考查通過坐標伸縮變換求曲線方程，屬于簡單題.6、A【解題分析】

由扇形圖能得到總數(shù)，利用抽樣比較能求出樣本容量；由分層抽樣和條形圖能求出抽取的高中生近視人數(shù).【題目詳解】用分層抽樣的方法抽取的學(xué)生進行調(diào)查，樣本容量為：，抽取的高中生近視人數(shù)為：，故選A.【題目點撥】該題考查的是有關(guān)概率統(tǒng)計的問題，涉及到的知識點有扇形圖與條形圖的應(yīng)用，以及分層抽樣的性質(zhì)，注意對基礎(chǔ)知識的靈活應(yīng)用，屬于簡單題目.7、D【解題分析】

先根據(jù)等差數(shù)列通項公式得向量，再根據(jù)向量垂直得遞推關(guān)系，最后根據(jù)累乘法求結(jié)果.【題目詳解】由題意得，因為向量與非零向量）垂直，所以因此故選：D【題目點撥】本題考查等差數(shù)列通項公式、向量垂直坐標表示以及累乘法，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.8、A【解題分析】

由公式計算出的值，與臨界值進行比較，即可得到答案?！绢}目詳解】由題可得：故在犯錯誤的概率不超過10%的前提下，認為“是否愿意外派與年齡有關(guān)”，有90%以上的把握認為“是否愿意外派與年齡有關(guān)，所以答案選A;故答案選A【題目點撥】本題主要考查獨立性檢驗，解題的關(guān)鍵是正確計算出的值，屬于基礎(chǔ)題。9、D【解題分析】

建立空間直角坐標系，結(jié)合直線的方向向量確定異面直線所成的角即可.【題目詳解】以點A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則，據(jù)此可得：，，故，即直線PQ與AM所成的角是.本題選擇D選項.【題目點撥】本題主要考查空間向量的應(yīng)用，異面直線所成的角的求解等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.10、C【解題分析】取BD的中點E，連結(jié)CE，AE，∵平面ABD⊥平面CBD，∴CE⊥AE，∴三角形直角△CEA是三棱錐的側(cè)視圖，∵BD=,∴CE=AE=，∴△CEA的面積S=××=，故選C.11、D【解題分析】

設(shè)點、，由，可計算出點的橫坐標的值，再利用拋物線的定義可求出.【題目詳解】設(shè)點、，易知點，，，，解得，因此，，故選D.【題目點撥】本題考查拋物線的定義，解題的關(guān)鍵在于利用向量共線求出相應(yīng)點的坐標，考查計算能力，屬于中等題．12、A【解題分析】

分別求解不等式與再判定即可.【題目詳解】可得,解得.又解得.故“不等式成立”是“不等式成立”的充分不必要條件.故選：A【題目點撥】本題主要考查了分式與二次不等式的求解以及充分必要條件的判定.屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、甲【解題分析】

分別假設(shè)說對的是甲，乙，丙，由此分析三個人的話，能求出結(jié)果.【題目詳解】若甲對，則乙丙可能都對，可能都錯，可能丙對，乙錯，符合；若乙對，則甲丙可能都對，可能都錯，不符；若丙對，則甲乙可能都對，可能甲對，乙錯，符合，綜上，甲丙對，乙錯，則這三人中成績最高的是甲.故答案為：甲.【題目點撥】本題考查合情推理的問題，考查分類與討論思想，是基礎(chǔ)題.14、【解題分析】由題意可得：在區(qū)間上有解，即：在區(qū)間上有解，整理可得：在區(qū)間上有解，令，則，導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，則，，即的最小值是.15、8【解題分析】

雙曲線：的右焦點到漸近線的距離為4,可得的值，由條件以為圓心，2為半徑的圓與雙曲線僅有1個交點.由雙曲線和該圓都是關(guān)于軸對稱的，所以這個點只能是雙曲線的右頂點.即，根據(jù)可求得答案.【題目詳解】由題意可得雙曲線的一條漸近線方程為，由焦點到漸近線的距離為4，即，即.雙曲線上到的距離為2的點有且僅有1個,即以為圓心，2為半徑的圓與雙曲線僅有1個交點.由雙曲線和該圓都是關(guān)于軸對稱的，所以這個點只能是雙曲線的右頂點.所以，又即，即，所以.所以雙曲線的右頂點到左焦點的距離為.所以這個點到雙曲線的左焦點的距離為8.故答案為：8【題目點撥】本題考查雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題.16、【解題分析】

利用指數(shù)和對數(shù)運算，化簡所求表達式.【題目詳解】原式.故答案為：【題目點撥】本小題主要考查指數(shù)和對數(shù)運算，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）90°（2）存在，m，理由見解析（3）λ【解題分析】

（1）根據(jù)題意只需證明平面，即可得到B1C⊥AC1，從而可得答案.（2）存在實數(shù)m，使得直線AC1與平面BMD1垂直．只需證明BM⊥AC1，AC1⊥D1M，即可得到直線AC1⊥平面BMD1；（3）計算，，設(shè)AC1與平面B1CD1的斜足為O，則AO＝2OC1，則P為AO的中點，從而可得答案.【題目詳解】（1）連接BC1，如圖所示：由四邊形BCC1B1為正方形，可得B1C⊥BC1，又ABCD﹣A1B1C1D1為長方體，可得AB⊥B1C，而AB∩BC1＝B，∴B1C⊥平面ABC1，而AC1?平面ABC1，∴B1C⊥AC1，即異面直線B1C與AC1所成的角的大小為90°；（2）存在實數(shù)m，使得直線AC1與平面BMD1垂直．事實上，當m時，CM，∵BC＝1，∴，則Rt△ABC∽Rt△BCM，則∠CAB＝∠MBC，∵∠CAB+∠ACB＝90°，∴∠MBC+∠ACB＝90°，即AC⊥BM，又CC1⊥BM，AC∩CC1＝C，∴BM⊥平面ACC1，則BM⊥AC1，同理可證AC1⊥D1M，又D1M∩BM＝M，∴直線AC1⊥平面BMD1；（3）∵，，設(shè)AC1與平面B1CD1的斜足為O，則AO＝2OC1，∴在線段AC1上取一點P，要使三棱錐B1﹣CD1C1與三棱錐B1﹣CD1P的體積相等，則P為AO的中點，即．【題目點撥】本題考查了直線與平面垂直的判定定理，考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了棱柱和棱錐的體積公式，屬于中檔題.18、（1）；（2），證明見解析【解題分析】

（1）由已知條件分別取，能依次求出，，的值；（2）猜想.證明當是否成立，假設(shè)時，猜想成立，即：，證明當也成立，可得證明【題目詳解】解：（1）由題意：，，當時，可得，可得同理當時：，可得當時：，可得（2）猜想.證明如下：①時，符合猜想，所以時，猜想成立.②假設(shè)時，猜想成立，即：.（），，兩式作差有：，又，所以對恒成立.則時，，所以時，猜想成立.綜合①②可知，對恒成立.【題目點撥】本題主要考查數(shù)列的遞推式及通項公式的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的證明方法的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力與邏輯推理能力，屬于中檔題.19、(1)，.(2).【解題分析】分析：(1)先根據(jù)加減消元法得直線的普通方程，再根據(jù)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）先求P直角坐標，再設(shè)直線的參數(shù)方程標準式，代入曲線的直角坐標方程，根據(jù)參數(shù)幾何意義以及利用韋達定理得結(jié)果.詳解：(1)的普通方程為:；又,即曲線的直角坐標方程為:(2)解法一:在直線上,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),代入曲線的直角坐標方程得，即,.解法二:，，，．點睛：直線的參數(shù)方程的標準形式的應(yīng)用過點M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程是.(t是參數(shù)，t可正、可負、可為0)若M1，M2是l上的兩點，其對應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2，則(1)M1，M2兩點的坐標分別是(x0＋t1cosα，y0＋t1sinα)，(x0＋t2cosα，y0＋t2sinα).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若線段M1M2的中點M所對應(yīng)的參數(shù)為t，則t＝，中點M到定點M0的距離|MM0|＝|t|＝.(4)若M0為線段M1M2的中點，則t1＋t2＝0.20、詳見解析【解題分析】

用數(shù)學(xué)歸納法進行證明，先證明當時，等式成立再假設(shè)當時等式成立，進而證明當時，等式也成立.【題目詳解】當時，左邊右邊，等式成立．假設(shè)當時等式成立，即當時，左邊═2當時，等式也成立．綜合，等式對所有正整數(shù)都成立．【題目點撥】數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個與自然數(shù)集相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的命題，（1）奠基在時成立；（2）歸納在為任意自然數(shù)成立的假設(shè)下可以推出成立，則對一切自然數(shù)都成立．21、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)定義得f(－x)＋f(x)＝0，解得實數(shù)的值；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得轉(zhuǎn)化為對應(yīng)一元二次方程有兩個大于1的不相等實根，利用實根分布解得k的取值范圍，由“p且q”為假命題，“p或