金昌市重點(diǎn)中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測試題含解析

金昌市重點(diǎn)中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，則（）A． B．186 C．240 D．3042．已知函數(shù)，則的值是（）A． B． C． D．3．從中任取個(gè)不同的數(shù)，事件“取到的個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件“取到兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則()A． B． C． D．4．若是極坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，則四個(gè)點(diǎn)中與點(diǎn)重合的點(diǎn)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．設(shè)，，，則下列正確的是A． B． C． D．6．若，則（）A．2 B．4 C． D．87．已知,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．B．．C．D．8．若,則等于()A．9 B．8 C．7 D．69．已知函數(shù)的圖像為曲線C，若曲線C存在與直線垂直的切線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A． B． C． D．10．定義在上的奇函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.C.D.11．以下四個(gè)命題，其中正確的個(gè)數(shù)有（）①由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，有的把握認(rèn)為物理成績與數(shù)學(xué)成績有關(guān)，某人數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，則他有99%的可能物理優(yōu)秀.②兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1；③在線性回歸方程中，當(dāng)解釋變量每增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量平均增加0.2個(gè)單位；④對分類變量與，它們的隨機(jī)變量的觀測值來說，越小，“與有關(guān)系”的把握程度越大.A．1 B．2 C．3 D．412．若過點(diǎn)可作兩條不同直線與曲線相切，則（）A．既有最大值又有最小值 B．有最大值無最小值C．有最小值無最大值 D．既無最大值也無最小值二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)列{an}滿足，若{an}單調(diào)遞增，則首項(xiàng)a1的范圍是_____．14．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，若且，設(shè)，則的值是__________．15．周長為的矩形，繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個(gè)圓柱，則圓柱體積的最大值為_______.16．設(shè)函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，則a取值范圍為_______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（1）已知，是虛數(shù)單位，若，是純虛數(shù)，寫出一個(gè)以為其中一根的實(shí)系數(shù)一元二次方程；（2）求純虛數(shù)的平方根．18．（12分）完成下列各題.(1)求的展開式;(2)化簡.19．（12分）為豐富市民的文化生活，市政府計(jì)劃在一塊半徑為200m，圓心角為的扇形地上建造市民廣場，規(guī)劃設(shè)計(jì)如圖：內(nèi)接梯形區(qū)域?yàn)檫\(yùn)動(dòng)休閑區(qū)，其中A，B分別在半徑，上，C，D在圓弧上，；上，；區(qū)域?yàn)槲幕箙^(qū)，長為，其余空地為綠化區(qū)域，且長不得超過200m.(1)試確定A，B的位置，使的周長最大？(2)當(dāng)?shù)闹荛L最長時(shí)，設(shè)，試將運(yùn)動(dòng)休閑區(qū)的面積S表示為的函數(shù)，并求出S的最大值.20．（12分）已知，是雙曲線：（、為常數(shù)，）上的兩個(gè)不同點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且，（1）若是等腰三角形，且它的重心是雙曲線的右頂點(diǎn)，求雙曲線的漸近線方程；（2）求面積的最小值.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)曲線與曲線的交點(diǎn)分別為，求的最大值及此時(shí)直線的傾斜角.22．（10分）已知函數(shù),函數(shù)⑴當(dāng)時(shí),求函數(shù)的表達(dá)式;⑵若,函數(shù)在上的最小值是2,求的值;⑶在⑵的條件下,求直線與函數(shù)的圖象所圍成圖形的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

首先令，這樣可以求出的值，然后把因式分解，這樣可以變成兩個(gè)二項(xiàng)式的乘積的形式，利用兩個(gè)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，就可以求出的會(huì)下，最后可以計(jì)算出的值.【題目詳解】令，由已知等式可得：，，設(shè)的通項(xiàng)公式為：，則常數(shù)項(xiàng)、的系數(shù)、的系數(shù)分別為：；設(shè)的通項(xiàng)公式為：，則常數(shù)項(xiàng)、的系數(shù)、的系數(shù)分別為：，，所以，故本題選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，正確求出通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵.2、C【解題分析】

首先計(jì)算出，再把的值帶入計(jì)算即可．【題目詳解】根據(jù)題意得，所以，所以選擇C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了分段函數(shù)求值的問題，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解題分析】

先求得和的值，然后利用條件概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求的概率.【題目詳解】依題意,,故.故選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查條件概型的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】

分別將各點(diǎn)化為直角坐標(biāo)即可判斷【題目詳解】P（2，）化直角坐標(biāo)為，即為同理化直角坐標(biāo)分別為則與點(diǎn)P重合的點(diǎn)有3個(gè)．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．5、B【解題分析】

根據(jù)得單調(diào)性可得；構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)可確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得，得到，進(jìn)而得到結(jié)論.【題目詳解】由的單調(diào)遞增可知：，即令，則令，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即，即：綜上所述：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較大小的問題，難點(diǎn)在于比較指數(shù)與對數(shù)大小時(shí)，需要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性；需要注意的是，在得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)后，需驗(yàn)證零點(diǎn)與之間的大小關(guān)系，從而確定所屬的單調(diào)區(qū)間.6、D【解題分析】

通過導(dǎo)數(shù)的定義，即得答案.【題目詳解】根據(jù)題意得，，故答案為D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的定義，難度不大.7、C【解題分析】試題分析：，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，同理當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，顯然不等式有正數(shù)解（如，（當(dāng)然可以證明時(shí)，）），即存在，使，因此C錯(cuò)誤．考點(diǎn)：存在性量詞與全稱量詞，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值、函數(shù)的單調(diào)性．8、B【解題分析】分析：根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算公式，即可求解答案.詳解：由題意且，，解得，故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查了組合數(shù)的計(jì)算公式的應(yīng)用，其中熟記組合數(shù)的計(jì)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力.9、A【解題分析】

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線垂直的等價(jià)條件，轉(zhuǎn)化為有解，即可得到結(jié)論.【題目詳解】由題意，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若曲線C存在與直線垂直的切線，則切線的斜率為，滿足，即有解，因?yàn)橛薪?，又因?yàn)?，即，所以?shí)數(shù)的取值范圍是，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，以及方程的有解問題，其中解答中把曲線存在與直線垂直的切線，轉(zhuǎn)化為有解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.10、D【解題分析】試題分析：由可得：，所以函數(shù)的周期，又因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以，又在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，因此，，所以?？键c(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì)。11、B【解題分析】對于命題①認(rèn)為數(shù)學(xué)成績與物理成績有關(guān)，不出錯(cuò)的概率是99%，不是數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，物理成績就有99%的可能優(yōu)秀，不正確；對于④，隨機(jī)變量K2的觀測值k越小，說明兩個(gè)相關(guān)變量有關(guān)系的把握程度越小，不正確；容易驗(yàn)證②③正確，應(yīng)選答案B。12、C【解題分析】

數(shù)形結(jié)合分析臨界條件再判斷即可.【題目詳解】對求導(dǎo)有,當(dāng)時(shí),此時(shí)切線方程為,此時(shí).此時(shí)剛好能夠作出兩條切線,為臨界條件,畫出圖像有：又當(dāng)時(shí)為另一臨界條件,故.故有最小值無最大值.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運(yùn)用,需要數(shù)形結(jié)合分析臨界條件進(jìn)行求解.屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【解題分析】

先表示出，結(jié)合{an}單調(diào)遞增可求首項(xiàng)a1的范圍.【題目詳解】因?yàn)椋?，解得或，則有或由于，所以或解得或，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)列的單調(diào)性，數(shù)列的單調(diào)性一般通過相鄰兩項(xiàng)差的符號來確定，側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).14、【解題分析】

根據(jù)是等比數(shù)列得出，利用數(shù)列項(xiàng)與和的關(guān)系，求得，從而得出，利用裂項(xiàng)相消法求出答案.【題目詳解】由可知，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以.時(shí)，..時(shí),.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識點(diǎn)有等比數(shù)列通項(xiàng)公式，數(shù)列項(xiàng)與和的關(guān)系，裂項(xiàng)相消法求和，屬于簡單題目.15、【解題分析】

設(shè)矩形的一邊長為,則另一邊長為,,再利用圓柱的體積公式求得體積的解析式,然后利用基本不等式可求得最大值.【題目詳解】設(shè)矩形的一邊長為,則另一邊長為,,則圓柱的體積==,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號成立.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓柱的體積公式和基本不等式,屬中檔題.16、【解題分析】試題分析：的定義域?yàn)?，由，得，所?①若，由，得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，所以是的極大值點(diǎn)；②若，由，得或.因?yàn)槭堑臉O大值點(diǎn)，所以，解得，綜合①②：的取值范圍是，故答案為.考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解題分析】

(1)先求出的值，再寫出一個(gè)以為其中一根的實(shí)系數(shù)一元二次方程；(2)設(shè)，求出即得解.【題目詳解】(1)所以，所以.所以.一個(gè)以為其中一根的實(shí)系數(shù)一元二次方程是.(2)設(shè)，所以所以，所以或.故純虛數(shù)的平方根為或.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查純虛數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的平方根的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.18、（1）；（2）【解題分析】分析：（1）根據(jù)二項(xiàng)定理，即可得到二項(xiàng)時(shí)的展開式；（2）根據(jù)二項(xiàng)式定理的逆用，即可得到相應(yīng)的二項(xiàng)式.詳解：（1）.（2）原式.點(diǎn)睛：本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，其中熟記二項(xiàng)式定理的展開式的結(jié)果形式是解答此類問題的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力.19、（1）、都為50m；（2）；；最大值為.【解題分析】

對于（1），設(shè)，，m，，在△OAB中，利用余弦定理可得，整理得，結(jié)合基本不等式即可得出結(jié)論；對于（2），當(dāng)△AOB的周長最大時(shí)，梯形ACBD為等腰梯形，過O作OF⊥CD交CD于F，交AB于E，則E、F分別為AB，CD的中點(diǎn)，利用已知可表示出相關(guān)線段；然后利用梯形的面積公式可知，，，令，，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出S的最大值．【題目詳解】解：（1）設(shè)，，m，，在中，，即.所以.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)周長取得最大值.答：當(dāng)、都為50m時(shí)，的周長最大.（2）當(dāng)?shù)闹荛L最大時(shí)，梯形為等腰梯形.如上圖所示，過O作交于F，交于E，則E、F分別為、的中點(diǎn)，所以.由，得.在中，，.又在中，，故.所以，.令，，，.又及在上均為單調(diào)遞減函數(shù)，故在上為單調(diào)遞減函數(shù).因，故在上恒成立，于是，在上為單調(diào)遞增函數(shù).所以當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)S有最大值為.答：當(dāng)時(shí)，梯形面積有最大值，且最大值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了余弦定理、基本不等式以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，在（2）中得到后，利用導(dǎo)數(shù)得到求出，結(jié)合函數(shù)在公共區(qū)間上，減函數(shù)+減函數(shù)等于減函數(shù)，從而確定在上為單調(diào)遞減函數(shù).屬于難題.20、(1);(2)【解題分析】

(1)根據(jù)三角形重心的性質(zhì)與是等腰三角形可求得的坐標(biāo),再代入雙曲線方程求解即可.

(2)將雙曲線：用極坐標(biāo)表達(dá),可直接設(shè),再利用,代入求得關(guān)于的表達(dá)式再求最值即可.【題目詳解】(1)當(dāng)是等腰三角形,且它的重心是雙曲線的右頂點(diǎn)時(shí),可知在雙曲線的右支上,且.設(shè),則由重心性質(zhì)有,故在雙曲線上,故,可得,即.故雙曲線的漸近線方程為.(2)由雙曲線:,轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)則有,化簡得,設(shè)則有,故,故,當(dāng)且僅當(dāng),即,即時(shí)等號成立.故面積的最小值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了圓錐曲線中面積的最值問題,因?yàn)轭}中有,故在求面積的最小值時(shí),可以考慮用極坐標(biāo)的方法做進(jìn)行簡化計(jì)算,屬于難題.21、（1）（2）最大值為8，此時(shí)直線的傾斜角為【解題分析】

（1）先將曲線的參數(shù)方程化為代數(shù)方程，再將此平面直角坐標(biāo)系的代數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的代數(shù)方程，得出當(dāng)取最大值時(shí)直線的參數(shù).【題目詳解】（1）因?yàn)榍€的參數(shù)方程為，所以曲線的普通方程為，即，所以曲線的極坐標(biāo)方程為，即.（2）設(shè)直線上的點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為，將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，可得，即所以，.故，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為8，此時(shí)直線的傾斜角為.【題目點(diǎn)撥】本題考查曲線的參數(shù)方程與普通方程的互化，