2024屆北京市西城外國語學校數(shù)學高二第二學期期末復習檢測試題含解析

2024屆北京市西城外國語學校數(shù)學高二第二學期期末復習檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知滿足，則（）A． B． C． D．2．數(shù)學40名數(shù)學教師，按年齡從小到大編號為1,2，…40?，F(xiàn)從中任意選取6人分成兩組分配到A,B兩所學校從事支教工作，其中三名編號較小的教師在一組，三名編號較大的教師在另一組，那么編號為8,12,28的數(shù)學教師同時入選并被分配到同一所學校的方法種數(shù)是A．220 B．440 C．255 D．5103．設定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，若，，則不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（）A． B．C． D．4．函數(shù)是定義在區(qū)間上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（）A． B．C． D．5．若正整數(shù)除以正整數(shù)后的余數(shù)為，則記為，例如.如圖程序框圖的算法源于我國古代聞名中外的《中國剩余定理》.執(zhí)行該程序框圖，則輸出的等于()A．4 B．8 C．16 D．326．若對于實數(shù)x，y有1-x?2,y+1?1A．5 B．6 C．7 D．87．設aR，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．某工廠生產(chǎn)的零件外直徑（單位：）服從正態(tài)分布，今從該廠上午、下午生產(chǎn)的零件中各隨機取出一個，測得其外直徑分別為和，則可認為（）A．上、下午生產(chǎn)情況均正常 B．上午生產(chǎn)情況異常，下午生產(chǎn)情況正常C．上、下午生產(chǎn)情況均異常 D．上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常9．設集合A={1,3,5}，B={-3,1,5}，則A∩B=（A．{1} B．{3} C．{1,3} D．{1,5}10．設函數(shù)，若的值域為，則實數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．11．已知關于的方程，，若對任意的，該方程總存在唯一的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．設，函數(shù)的導函數(shù)是，若是偶函數(shù)，則曲線在原點處的切線方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設離散型隨機變量的概率分布如下：則的值為__________．14．若復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則__________．15．用數(shù)學歸納法證明，在第二步證明從到成立時，左邊增加的項數(shù)是_____項．16．對任意實數(shù)a，b定義運算“⊙”：⊙設，若函數(shù)的圖象與x軸恰有三個交點，則k的取值范圍是___________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，點到直線：的距離比到點的距離大2.（1）求點的軌跡的方程；（2）請指出曲線的對稱性，頂點和范圍，并運用其方程說明理由.18．（12分）在平面直角坐標系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.(Ⅰ)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；(Ⅱ)若曲線上的點到直線的最大距離為6，求實數(shù)的值.19．（12分）某校為“中學數(shù)學聯(lián)賽”選拔人才，分初賽和復賽兩個階段進行，規(guī)定：分數(shù)不小于本次考試成績中位數(shù)的具有復賽資格，某校有900名學生參加了初賽，所有學生的成績均在區(qū)間內，其頻率分布直方圖如圖．（1）求獲得復賽資格應劃定的最低分數(shù)線；（2）從初賽得分在區(qū)間的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機抽取7人參加學校座談交流，那么從得分在區(qū)間與各抽取多少人？（3）從（2）抽取的7人中，選出4人參加全市座談交流，設表示得分在中參加全市座談交流的人數(shù)，學校打算給這4人一定的物質獎勵，若該生分數(shù)在給予500元獎勵，若該生分數(shù)在給予800元獎勵，用Y表示學校發(fā)的獎金數(shù)額，求Y的分布列和數(shù)學期望。20．（12分）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：）有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量（單位：瓶）的分布列；（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量（單位：瓶）為多少時，的數(shù)學期望達到最大值？21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，且.（1）求證：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.22．（10分）已知函數(shù)．（1）若，證明：；（2）若只有一個極值點，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】，選A.2、D【解題分析】分析：根據(jù)題意，分析可得“編號為8,12,28的數(shù)學教師同時入選并被分配到同一所學校”，則除8,12,28之外的另外三人的編號必須都大于28或都小于8，則先分另外三人的編號必須“都大于28”或“都小于8”這兩種情況討論選出其他三人的情況，再將選出2組進行全排列，最后由分步計數(shù)原理計算可得答案.詳解：根據(jù)題意，要確保“編號為8,12,28的數(shù)學教師同時入選并被分配到同一所學?！?，則除8,12,28之外的另外三人的編號必須都大于28或都小于8，則分2種情況討論選出的情況：①如果另外三人的編號都大于28，則需要在29—40的12人中，任取3人，有種情況；②如果另外三人的編號都小于8，則需要在1—7的7人中，任取3人，有種情況.即選出剩下3人有種情況，再將選出的2組進行全排列，有種情況，則編號為8,12,28的數(shù)學教師同時入選并被分配到同一所學校的方法種數(shù)是種.故選：D.點睛：本題考查排列組合的應用，解題的關鍵是分析如何確?！熬幪枮?,12,28的數(shù)學教師同時入選并被分配到同一所學校”，進而確定分步，分類討論的依據(jù).3、A【解題分析】

構造函數(shù)，則可判斷，故是上的增函數(shù)，結合即可得出答案.【題目詳解】解：設，則，∵，，∴，∴是上的增函數(shù)，又，∴的解集為，即不等式的解集為.故選A.【題目點撥】本題考查導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，構造函數(shù)是解題的關鍵.4、D【解題分析】

構造函數(shù)，對函數(shù)求導得到函數(shù)的單調性，進而將原不等式轉化為，，進而求解.【題目詳解】根據(jù)題意，設，則導數(shù)；函數(shù)在區(qū)間上，滿足，則有，則有，即函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；，則有，解可得：；即不等式的解集為；故選：D．【題目點撥】這個題目考查了函數(shù)的單調性的應用，考查了解不等式的問題；解函數(shù)不等式問題，可以直接通過函數(shù)的表達式得到結果，如果直接求解比較繁瑣，可以研究函數(shù)的單調性，零點等問題，將函數(shù)值大小問題轉化為自變量問題.5、C【解題分析】初如值n=11,i=1,i=2,n=13,不滿足模3余2.i=4,n=17,滿足模3余2,不滿足模5余1.i=8,n=25,不滿足模3余2,i=16,n=41,滿足模3余2,滿足模5余1.輸出i=16.選C．6、C【解題分析】

將2x+3y+1【題目詳解】2當x=3,y=0或x=-1,y=2是等號成立.故答案選C【題目點撥】本題考查了絕對值三角不等式，將2x+3y+17、A【解題分析】試題分析：運用兩直線平行的充要條件得出l1與l2平行時a的值，而后運用充分必要條件的知識來解決即可．解：∵當a=1時，直線l1：x+2y﹣1=0與直線l2：x+2y+4=0，兩條直線的斜率都是﹣，截距不相等，得到兩條直線平行，故前者是后者的充分條件，∵當兩條直線平行時，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要條件．故選A．考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；直線的一般式方程與直線的平行關系．8、D【解題分析】

根據(jù)生產(chǎn)的零件外直徑符合正態(tài)分布，根據(jù)原則，寫出零件大多數(shù)直徑所在的范圍，把所得的范圍，同兩個零件的外直徑進行比較，得到結論.【題目詳解】解：∵零件外直徑，

∴根據(jù)原則，在與之外時為異常.

∵上、下午生產(chǎn)的零件中各隨機取出一個，測得其外直徑分別為和，，

∴下午生產(chǎn)的產(chǎn)品異常，

故選：D.【題目點撥】本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查原則，屬于基礎題.9、D【解題分析】

根據(jù)交集定義求解．【題目詳解】由題意A∩B={1,5}．故選D．【題目點撥】本題考查集合的交集運算，屬于基礎題．10、B【解題分析】很明顯，且應滿足當時，類指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值不大于一次函數(shù)的函數(shù)值，即，解得：，即實數(shù)的取值范圍是.本題選擇B選項.點睛：(1)問題中參數(shù)值影響變形時，往往要分類討論，需有明確的標準、全面的考慮；(2)求解過程中，求出的參數(shù)的值或范圍并不一定符合題意，因此要檢驗結果是否符合要求．11、B【解題分析】由成立，得，設，，則則時，，函數(shù)單調遞減；時，，函數(shù)單調遞增；且，使得對于任意，對任意的，方程存在唯一的解，則，即，即，所以，所以實數(shù)得取值范圍是，故選B．點睛：本題主要考查了導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用問題，其中解得中涉及到利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值和函數(shù)與方程等知識點的綜合應用，試題有一定的難度，屬于難題，解答中把方程存在唯一的解轉化為函數(shù)的最值問題是解答的關鍵．12、C【解題分析】

先由求導公式求出，根據(jù)偶函數(shù)的性質求出，然后利用導函數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進而寫出切線方程．【題目詳解】，因為是偶函數(shù)，所以，即解得，所以，，則，所以切線方程為故選C【題目點撥】本題主要考查利用導函數(shù)求曲線上一點的切線方程，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：離散型隨機變量的概率之和為1詳解：解得：。點睛：離散型隨機變量的概率之和為1，是分布列的性質。14、【解題分析】分析：先設,再代入，利用復數(shù)相等的概念得到z,再求.詳解：設，代入得所以，故答案為.點睛：（1）本題主要考查復數(shù)的計算和復數(shù)的模，考查復數(shù)相等的概念，意在考查學生對這些知識的掌握水平和基本的計算能力.(2)求復數(shù)z可以利用直接法和待定系數(shù)法，本題利用的是待定系數(shù)法.15、【解題分析】

根據(jù)等式時，考慮和時，等式左邊的項，再把時等式的左端減去時等式的左端，即可得到答案．【題目詳解】解：當時，等式左端，當時，等式左端，所以增加的項數(shù)為：即增加了項．故答案為：．【題目點撥】此題主要考查數(shù)學歸納法的問題，解答的關鍵是明白等式左邊項的特點，再把時等式的左端減去時等式的左端，屬于基礎題．16、【解題分析】

由，得，根據(jù)定義化簡函數(shù)的解析式，作出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)與的圖象有3個交點，利用數(shù)形結合即可得到結論．【題目詳解】解：令當時，解得，，，當時，解得或，，或，函數(shù)的圖象如圖所示：由圖象得：，函數(shù)與的圖象有3個交點，即函數(shù)的圖象與軸恰有三個公共點；故答案為：．【題目點撥】本題主要考查根據(jù)函數(shù)的解析式作出函數(shù)的圖象，體現(xiàn)了化歸與轉化、數(shù)形結合的數(shù)學思想，根據(jù)定義求出的表達式是解決本題的關鍵，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）對稱性：曲線關于軸對稱；頂點：；范圍：曲線在直線右側，且右上方和右下方無限延伸.理由見解析【解題分析】

（1）設，根據(jù)題意列出等量關系，化簡整理，即可得出結果；（2）根據(jù)由拋物線向右平移一個單位得到，結合拋物線的性質，即可得出結果.【題目詳解】（1）由題意可得：動點到直線的距離與到的距離相等，設，則，化簡整理，可得，所以點的軌跡的方程為；（2）由（1）得的方程為；即由拋物線向右平移一個單位得到；所以曲線也關于軸對稱，頂點為，范圍為，.【題目點撥】本題主要考查求軌跡方程，以及軌跡的性質，熟記軌跡方程的求法，以及拋物線的性質即可，屬于常考題型.18、(Ⅰ)直線的普通方程為.曲線的直角坐標方程為;(Ⅱ).【解題分析】分析：(Ⅰ)消去參數(shù)m可得直線的普通方程為.極坐標方程化為直角坐標方程可得曲線的直角坐標方程為．(Ⅱ)由題意結合直線與圓的位置關系整理計算可得．詳解：(Ⅰ)由得，消去,得，所以直線的普通方程為.由,得,代入,得,所以曲線的直角坐標方程為．(Ⅱ)曲線:的圓心為,半徑為,圓心到直線的距離為,若曲線上的點到直線的最大距離為6,則,即,解得．點睛：求解與極坐標有關的問題的主要方法：（1）直接利用極坐標系求解，可與數(shù)形結合思想配合使用；（2）轉化為直角坐標系，用直角坐標求解.使用后一種方法時，應注意若結果要求的是極坐標，還應將直角坐標化為極坐標.19、（1）本次考試復賽資格最低分數(shù)線應劃為100分；（2）5人，2人；（3）元.【解題分析】

（1）求獲得復賽資格應劃定的最低分數(shù)線，即是求考試成績中位數(shù)，只需滿足中位數(shù)兩側的頻率之和均為0.5即可；（2）先確定得分在區(qū)間與的頻率之比，即可求解；（3）先確定的可能取值，再求出其對應的概率，即可求出分布列和期望.【題目詳解】（1）由題意知的頻率為：，的頻率為：所以分數(shù)在的頻率為：，從而分數(shù)在的，假設該最低分數(shù)線為由題意得解得．故本次考試復賽資格最低分數(shù)線應劃為100分。（2）在區(qū)間與，，在區(qū)間的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機抽取7人，分在區(qū)間與各抽取5人，2人，結果是5人，2人．（3）的可能取值為2，3，4，則：，從而Y的分布列為Y260023002000(元)．【題目點撥】本題主要考查頻率分布直方圖求中位數(shù)，以及分層抽樣和超幾何分布等問題，熟記相關概念，即可求解，屬于常考題型.20、（1）分布列見解析；（2）520.【解題分析】分析：（1）根據(jù)題意所有的可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知，，；（2）分兩種情況：當時，當時，分別得到利潤表達式.詳解：（1）由題意知，所有的可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知，，.因此的分布列為0.20.40.4（2）由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮當時，若最高氣溫不低于25，則；若最高氣溫位于區(qū)間，則；若最高氣溫低于20，則因此當時，若最高氣溫不低于20，則，若最高氣溫低于20，則，因此所以時，的數(shù)學期望達到最大值，最大值為520元.方法點睛：求解離散型隨機變量的數(shù)學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式求得.21、（1）見解析；（2）.【解題分析】

（1）先根據(jù)計算得線線線線垂直，再根據(jù)線面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得結論，（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求二面角.【題目詳解】（1）證明：取中點，連結，，，因為底面為菱形，，所以．因為為的中點，所以．在△中，，為的中點，所以．設,則，，因為，所以．在△中，，為的中點，所以．在△和△中，因為，，，所以△△．所以．所以．因為，平面，平面，所以平面．因為平面，