2024屆天津市河西區(qū)新華中學數(shù)學高二下期末達標檢測試題含解析

2024屆天津市河西區(qū)新華中學數(shù)學高二下期末達標檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．中國古代數(shù)學名著《九章算術?商功》中記載了一種名為“塹堵”的幾何體：“邪解立方得二塹堵邪解塹堵”鏨堵是一個長方體沿不在同一表面上的相對兩棱斜截所得的立體圖形其正視圖和俯視圖（直角三角形）如圖所示，則該“塹堵”的外接球的大圓面積為（）A． B． C． D．2．某人有3個電子郵箱，他要發(fā)5封不同的電子郵件，則不同的發(fā)送方法有（）A．8種 B．15種 C．種 D．種3．若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知，則（）A． B．3 C． D．5．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋擲四次，設為正面向上的次數(shù)，則等于（）A． B． C． D．6．已知分別為內(nèi)角的對邊，且成等比數(shù)列，且，則=（）A． B． C． D．7．若，則m等于()A．9 B．8 C．7 D．68．若，則“復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限”是“”（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，△ABC的面，則a=（）A．1 B． C． D．10．已知PA，PB是圓C:的兩條切線(A，B是切點)，其中P是直線上的動點，那么四邊形PACB的面積的最小值為()A． B． C． D．11．內(nèi)接于半徑為的半圓且周長最大的矩形的邊長為（）．A．和 B．和 C．和 D．和12．設函數(shù)，則（）A．為的極大值點 B．為的極小值點C．為的極大值點 D．為的極小值點二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．觀察下面一組等式：，，，，根據(jù)上面等式猜測，則__________．14．設為曲線上的點,且曲線在點處切線傾斜角的取值范圍為，則點橫坐標的取值范圍為__________．15．展開式中項的系數(shù)為__________．16．數(shù)列{an}滿足，若{an}單調(diào)遞增，則首項a1的范圍是_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某投資公司對以下兩個項目進行前期市場調(diào)研:項目:通信設備.根據(jù)調(diào)研,投資到該項目上，所有可能結果為:獲利、損失、不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為；項目:新能源汽車.根據(jù)調(diào)研，投資到該項目上，所有可能結果為:獲利、虧損，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為.經(jīng)測算，當投入兩個項目的資金相等時，它們所獲得的平均收益(即數(shù)學期望)也相等.(1)求的值;(2)若將萬元全部投到其中的一個項目，請你從投資回報穩(wěn)定性考慮，為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由.18．（12分）某生產(chǎn)企業(yè)研發(fā)了一種新產(chǎn)品，該新產(chǎn)品在某網(wǎng)店試銷一個階段后得到銷售單價和月銷售量之間的一組數(shù)據(jù)，如下表所示：銷售單價（元）99.51010.511月銷售量（萬件）1110865（1）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，求出關于的回歸直線方程，并預測月銷售量不低于12萬件時銷售單價的最大值；（2）生產(chǎn)企業(yè)與網(wǎng)店約定：若該新產(chǎn)品的月銷售量不低于10萬件，則生產(chǎn)企業(yè)獎勵網(wǎng)店1萬元；若月銷售量不低于8萬件且不足10萬件，則生產(chǎn)企業(yè)獎勵網(wǎng)店5000元；若月銷售量低于8萬件，則沒有獎勵.現(xiàn)用樣本估計總體，從上述5個銷售單價中任選2個銷售單價，下個月分別在兩個不同的網(wǎng)店進行銷售，求這兩個網(wǎng)店下個月獲得獎勵的總額的分布列及其數(shù)學期望.參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.參考數(shù)據(jù)：，.19．（12分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系中，以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線的方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）將的方程化為直角坐標方程；（2）為上一動點，求到直線的距離的最大值和最小值.20．（12分）甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球3次均未命中的概率為，甲投球未命中的概率恰是乙投球未命中的概率的2倍．（Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）若甲投球１次，乙投球２次，兩人共命中的次數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學期望．21．（12分）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）若，求的最小值；（2）若，證明：.22．（10分）在平面直角坐標系中，以為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線的極坐標方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），兩曲線相交于，兩點.（1）寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；（2）若，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

首先根據(jù)題意得到“塹堵”是半個長方體的直三棱柱，再求其外接球的大圓面積即可.【題目詳解】由題知：“塹堵”是半個長方體的直三棱柱，如圖所示：設外接球大圓的半徑為，.，所以外接球的大圓面積為.故選：B【題目點撥】本題主要考查三棱柱的外接球，同時考查三視圖的直觀圖，屬于中檔題.2、C【解題分析】由題意得，每一封不同的電子郵件都有三種不同的投放方式，所以把封電子郵件投入個不同的郵箱，共有種不同的方法，故選C.3、B【解題分析】分析：求出導函數(shù)，求得極值點，函數(shù)在含有極值點的區(qū)間內(nèi)不單調(diào)．詳解：，此函數(shù)在上是增函數(shù)，又，因此是的極值點，它在含有的區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，此區(qū)間為B．故選B．點睛：本題考查用導數(shù)研究函數(shù)的極值，函數(shù)在不含極值點的區(qū)間內(nèi)一定是單調(diào)函數(shù)，因此此只要求出極值點，含有極值點的區(qū)間就是正確的選項．4、D【解題分析】

根據(jù)正弦的倍角公式和三角函數(shù)的基本關系式，化為齊次式，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，可得，故選D．【題目點撥】本題主要考查了正弦的倍角公式，以及三角函數(shù)的基本關系式的化簡、求值，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．5、C【解題分析】分析：先確定隨機變量得取法，再根據(jù)獨立重復試驗求概率.詳解：因為所以選C.點睛：次獨立重復試驗事件A恰好發(fā)生次得概率為.其中為1次試驗種A發(fā)生得概率.6、C【解題分析】因為成等比數(shù)列，所以,利用正弦定理化簡得：,又，所以原式=所以選C.點睛：此題考察正弦定理的應用，要注意求角度問題時盡量將邊的條件轉(zhuǎn)化為角的等式，然后根據(jù)三角函數(shù)間的關系及三角形內(nèi)角和的關系進行解題.7、C【解題分析】分析：根據(jù)排列與組合的公式，化簡得出關于的方程，解方程即可.詳解：，，即，解得，故選C.點睛：本題主要考查排列公式與組合公式的應用問題，意在考查對基本公式掌握的熟練程度，解題時應熟記排列與組合的公式，屬于簡單題.8、C【解題分析】

先將復數(shù)化簡成形式，得其共軛復數(shù)，通過對應的點在第二象限求出的取值范圍，即可判斷與的關系．【題目詳解】，所以共軛復數(shù)，因為共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限所以，解得所以“復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限”是“”充要條件，故選C【題目點撥】本題考查復數(shù)的基本運算與充要關系，解題的關鍵是先通過條件求出的取值范圍，屬于一般題．9、A【解題分析】

根據(jù)三角形面積公式可得,利用正余弦平方關系,即可求得正余弦值,由余弦定理可得.【題目詳解】因為，，面積，所以.所以.所以，.所以.故選A.【題目點撥】本題考查正余弦定理,面積公式,基礎題.10、C【解題分析】

配方得圓心坐標，圓的半徑為1，由切線性質(zhì)知，而的最小值為C點到的距離，由此可得結論．【題目詳解】由題意圓的標準方程為，∴圓心為，半徑為．又，到直線的距離為，∴．故選C．【題目點撥】本題考查圓切線的性質(zhì)，考查面積的最小值，解題關鍵是把四邊形面積用表示出來，而的最小值為圓心到直線的距離，從而易得解．11、D【解題分析】

作出圖像,設矩形,圓心為,,再根據(jù)三角函數(shù)關系表達矩形的長寬,進而列出周長的表達式,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【題目詳解】如圖所示：設矩形,,由題意可得矩形的長為,寬為,故矩形的周長為,其中,.故矩形的周長的最大值等于,此時,.即,再由可得,故矩形的長為,寬為,故選：D.【題目點撥】本題主要考查了根據(jù)角度表達幾何中長度的關系再求最值的問題,需要根據(jù)題意設角度,結合三角函數(shù)與圖形的關系求出邊長,再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.屬于中檔題.12、D【解題分析】試題分析：因為，所以．又，所以為的極小值點．考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；導數(shù)的運算法則．點評：極值點的導數(shù)為0，但導數(shù)為0的點不一定是極值點．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】由已知可得，因此，從而．點睛：歸納推理是通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同本質(zhì)，從已知相同本質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題，本題是數(shù)的歸納，它包括數(shù)字歸納和式子歸納，解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關系，同時還要聯(lián)系有關的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等．14、【解題分析】

由切線的傾斜角范圍為，得知切線斜率的取值范圍是，然后對曲線對應的函數(shù)求導得，解不等式可得出點的橫坐標的取值范圍.【題目詳解】由于曲線在點處的切線的傾斜角的取值范圍是，則切線斜率的取值范圍是，對函數(shù)求導得，令，即，解不等式，得或；解不等式，即，解得.所以，不等式組的解集為.因此，點的橫坐標的取值范圍是.【題目點撥】本題考查導數(shù)的幾何意義，考查切線的斜率與點的橫坐標之間的關系，考查計算能力，屬于中等題．15、1【解題分析】分析：根據(jù)二項式定理的通項公式，再分情況考慮即可求解．詳解：展開式中x項的系數(shù)：二項式（1+x）5由通項公式當（1﹣x）提供常數(shù)項時：r=1，此時x項的系數(shù)是=2018，當（1﹣x）提供一個x時：r=0，此時x項的系數(shù)是﹣1×=﹣1合并可得（1﹣x）（1+x）5展開式中x項的系數(shù)為1．故答案為：1．點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第r＋1項，再由特定項的特點求出r值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第r＋1項，由特定項得出r值，最后求出其參數(shù).16、（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【解題分析】

先表示出，結合{an}單調(diào)遞增可求首項a1的范圍.【題目詳解】因為，所以，解得或，則有或由于，所以或解得或，故答案為：.【題目點撥】本題主要考查數(shù)列的單調(diào)性，數(shù)列的單調(diào)性一般通過相鄰兩項差的符號來確定，側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)，，；(2)從風險控制角度，建議該投資公司選擇項目.【解題分析】

（1）根據(jù)概率和為1列方程求得的值，再利用分布列和數(shù)學期望列方程組求得、的值；（2）計算均值與方差，比較即可得出結論．【題目詳解】（1）依題意，，，設投入到項目的資金都為萬元，變量和分別表示投資項目和所獲得的利潤，則和的分布列分別為由分布列得，，因為所以，即，又，解得，；，，（2）當投入萬元資金時，由（1）知，所以，，，因為，說明雖然項目和項目的平均收益相等，但項目更穩(wěn)妥，所以，從風險控制角度，建議該投資公司選擇項目.【題目點撥】本題主要考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望和方差的計算問題，是中檔題．18、(1)；月銷售量不低于12萬件時銷售單價的最大值為；(2)分布列見詳解，數(shù)學期望為.1（萬元）.【解題分析】

（1）先計算的平均數(shù)，根據(jù)已知公式，代值計算即可；再根據(jù)所求方程，解不等式即可；（2）根據(jù)題意，求得的可取值，結合題意求得分布列，再根據(jù)分布列求數(shù)學期望即可.【題目詳解】（1）容易知；；又因為，，故可得，，故所求回歸直線方程為：.令，故可得.故月銷售量不低于12萬件時銷售單價的最大值為.（2）容易知可取值為：，（單位為：萬元）故，，，..故其分布列如下所示：則（萬元）.【題目點撥】本題考查線性回歸直線方程的求解，以及離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求解，屬綜合中檔題.19、（1）（2）最大值是和最小值是.【解題分析】分析：（1）利用極坐標公式化成直角坐標方程.(2)先求出直線的直角坐標方程為，再利用圓心到直線的距離求到直線的距離的最大值是和最小值是.詳解：（1）因為曲線的方程為，則，所以的直角坐標方程為，即.（2）因為直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以直線的直角坐標方程為，因為圓心到直線的距離，則直線與圓相離，所以所求到直線的距離的最大值是和最小值是.點睛：(1)本題主要考查極坐標、參數(shù)方程和直角坐標的互化，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2)解答第2問的關鍵是數(shù)形結合.20、（1）（2）分布列見解析，【解題分析】【試題分析】（1）依據(jù)題設條件運用對立事件及獨立事件的概率公式建立方程求解；（2）先求出，，的概率，再寫出概率分布表，運用數(shù)學期望的計算公式計算：解：設“甲投球一次命中”為事件，“乙投球一次命中”為事件.（Ⅰ）由題意得：，解得，所以乙投球的命中率為．（Ⅱ）由題設和（Ⅰ）知，甲投球的命中率為，則有，，，，可能的取值為0，1,2,3，故，，，，的分布列為：0123的數(shù)學期望．點睛：隨機變量的概率及分布是高中數(shù)學中的選修內(nèi)容，也是高考考查的重要考點。解答本題的第一問時，充分依據(jù)題設條件借助方程思想，運用對立事件及獨立事件的概率公式建立方程，然后通過解方程求出其概率是；解答第二問時，