2024屆天津市河西區(qū)新華中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

2024屆天津市河西區(qū)新華中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末達(dá)標(biāo)檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)?商功》中記載了一種名為“塹堵”的幾何體：“邪解立方得二塹堵邪解塹堵”鏨堵是一個(gè)長方體沿不在同一表面上的相對兩棱斜截所得的立體圖形其正視圖和俯視圖（直角三角形）如圖所示，則該“塹堵”的外接球的大圓面積為（）A． B． C． D．2．某人有3個(gè)電子郵箱，他要發(fā)5封不同的電子郵件，則不同的發(fā)送方法有（）A．8種 B．15種 C．種 D．種3．若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知，則（）A． B．3 C． D．5．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋擲四次，設(shè)為正面向上的次數(shù)，則等于（）A． B． C． D．6．已知分別為內(nèi)角的對邊，且成等比數(shù)列，且，則=（）A． B． C． D．7．若，則m等于()A．9 B．8 C．7 D．68．若，則“復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限”是“”（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，△ABC的面，則a=（）A．1 B． C． D．10．已知PA，PB是圓C:的兩條切線(A，B是切點(diǎn))，其中P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，那么四邊形PACB的面積的最小值為()A． B． C． D．11．內(nèi)接于半徑為的半圓且周長最大的矩形的邊長為（）．A．和 B．和 C．和 D．和12．設(shè)函數(shù)，則（）A．為的極大值點(diǎn) B．為的極小值點(diǎn)C．為的極大值點(diǎn) D．為的極小值點(diǎn)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．觀察下面一組等式：，，，，根據(jù)上面等式猜測，則__________．14．設(shè)為曲線上的點(diǎn),且曲線在點(diǎn)處切線傾斜角的取值范圍為，則點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為__________．15．展開式中項(xiàng)的系數(shù)為__________．16．?dāng)?shù)列{an}滿足，若{an}單調(diào)遞增，則首項(xiàng)a1的范圍是_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某投資公司對以下兩個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行前期市場調(diào)研:項(xiàng)目:通信設(shè)備.根據(jù)調(diào)研,投資到該項(xiàng)目上，所有可能結(jié)果為:獲利、損失、不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為；項(xiàng)目:新能源汽車.根據(jù)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，所有可能結(jié)果為:獲利、虧損，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為.經(jīng)測算，當(dāng)投入兩個(gè)項(xiàng)目的資金相等時(shí)，它們所獲得的平均收益(即數(shù)學(xué)期望)也相等.(1)求的值;(2)若將萬元全部投到其中的一個(gè)項(xiàng)目，請你從投資回報(bào)穩(wěn)定性考慮，為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說明理由.18．（12分）某生產(chǎn)企業(yè)研發(fā)了一種新產(chǎn)品，該新產(chǎn)品在某網(wǎng)店試銷一個(gè)階段后得到銷售單價(jià)和月銷售量之間的一組數(shù)據(jù)，如下表所示：銷售單價(jià)（元）99.51010.511月銷售量（萬件）1110865（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸直線方程，并預(yù)測月銷售量不低于12萬件時(shí)銷售單價(jià)的最大值；（2）生產(chǎn)企業(yè)與網(wǎng)店約定：若該新產(chǎn)品的月銷售量不低于10萬件，則生產(chǎn)企業(yè)獎(jiǎng)勵(lì)網(wǎng)店1萬元；若月銷售量不低于8萬件且不足10萬件，則生產(chǎn)企業(yè)獎(jiǎng)勵(lì)網(wǎng)店5000元；若月銷售量低于8萬件，則沒有獎(jiǎng)勵(lì).現(xiàn)用樣本估計(jì)總體，從上述5個(gè)銷售單價(jià)中任選2個(gè)銷售單價(jià)，下個(gè)月分別在兩個(gè)不同的網(wǎng)店進(jìn)行銷售，求這兩個(gè)網(wǎng)店下個(gè)月獲得獎(jiǎng)勵(lì)的總額的分布列及其數(shù)學(xué)期望.參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.參考數(shù)據(jù)：，.19．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）將的方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）為上一動(dòng)點(diǎn)，求到直線的距離的最大值和最小值.20．（12分）甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球3次均未命中的概率為，甲投球未命中的概率恰是乙投球未命中的概率的2倍．（Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）若甲投球１次，乙投球２次，兩人共命中的次數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．21．（12分）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）若，求的最小值；（2）若，證明：.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），兩曲線相交于，兩點(diǎn).（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（2）若，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

首先根據(jù)題意得到“塹堵”是半個(gè)長方體的直三棱柱，再求其外接球的大圓面積即可.【題目詳解】由題知：“塹堵”是半個(gè)長方體的直三棱柱，如圖所示：設(shè)外接球大圓的半徑為，.，所以外接球的大圓面積為.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三棱柱的外接球，同時(shí)考查三視圖的直觀圖，屬于中檔題.2、C【解題分析】由題意得，每一封不同的電子郵件都有三種不同的投放方式，所以把封電子郵件投入個(gè)不同的郵箱，共有種不同的方法，故選C.3、B【解題分析】分析：求出導(dǎo)函數(shù)，求得極值點(diǎn)，函數(shù)在含有極值點(diǎn)的區(qū)間內(nèi)不單調(diào)．詳解：，此函數(shù)在上是增函數(shù)，又，因此是的極值點(diǎn)，它在含有的區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，此區(qū)間為B．故選B．點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，函數(shù)在不含極值點(diǎn)的區(qū)間內(nèi)一定是單調(diào)函數(shù)，因此此只要求出極值點(diǎn)，含有極值點(diǎn)的區(qū)間就是正確的選項(xiàng)．4、D【解題分析】

根據(jù)正弦的倍角公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，化為齊次式，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，可得，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正弦的倍角公式，以及三角函數(shù)的基本關(guān)系式的化簡、求值，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解題分析】分析：先確定隨機(jī)變量得取法，再根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求概率.詳解：因?yàn)樗赃xC.點(diǎn)睛：次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)事件A恰好發(fā)生次得概率為.其中為1次試驗(yàn)種A發(fā)生得概率.6、C【解題分析】因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以,利用正弦定理化簡得：,又，所以原式=所以選C.點(diǎn)睛：此題考察正弦定理的應(yīng)用，要注意求角度問題時(shí)盡量將邊的條件轉(zhuǎn)化為角的等式，然后根據(jù)三角函數(shù)間的關(guān)系及三角形內(nèi)角和的關(guān)系進(jìn)行解題.7、C【解題分析】分析：根據(jù)排列與組合的公式，化簡得出關(guān)于的方程，解方程即可.詳解：，，即，解得，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查排列公式與組合公式的應(yīng)用問題，意在考查對基本公式掌握的熟練程度，解題時(shí)應(yīng)熟記排列與組合的公式，屬于簡單題.8、C【解題分析】

先將復(fù)數(shù)化簡成形式，得其共軛復(fù)數(shù)，通過對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限求出的取值范圍，即可判斷與的關(guān)系．【題目詳解】，所以共軛復(fù)數(shù)，因?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限所以，解得所以“復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限”是“”充要條件，故選C【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算與充要關(guān)系，解題的關(guān)鍵是先通過條件求出的取值范圍，屬于一般題．9、A【解題分析】

根據(jù)三角形面積公式可得,利用正余弦平方關(guān)系,即可求得正余弦值,由余弦定理可得.【題目詳解】因?yàn)?，，面積，所以.所以.所以，.所以.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查正余弦定理,面積公式,基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】

配方得圓心坐標(biāo)，圓的半徑為1，由切線性質(zhì)知，而的最小值為C點(diǎn)到的距離，由此可得結(jié)論．【題目詳解】由題意圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∴圓心為，半徑為．又，到直線的距離為，∴．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查圓切線的性質(zhì)，考查面積的最小值，解題關(guān)鍵是把四邊形面積用表示出來，而的最小值為圓心到直線的距離，從而易得解．11、D【解題分析】

作出圖像,設(shè)矩形,圓心為,,再根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系表達(dá)矩形的長寬,進(jìn)而列出周長的表達(dá)式,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【題目詳解】如圖所示：設(shè)矩形,,由題意可得矩形的長為,寬為,故矩形的周長為,其中,.故矩形的周長的最大值等于,此時(shí),.即,再由可得,故矩形的長為,寬為,故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了根據(jù)角度表達(dá)幾何中長度的關(guān)系再求最值的問題,需要根據(jù)題意設(shè)角度,結(jié)合三角函數(shù)與圖形的關(guān)系求出邊長,再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.屬于中檔題.12、D【解題分析】試題分析：因?yàn)椋裕?，所以為的極小值點(diǎn)．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則．點(diǎn)評：極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】由已知可得，因此，從而．點(diǎn)睛：歸納推理是通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同本質(zhì)，從已知相同本質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題，本題是數(shù)的歸納，它包括數(shù)字歸納和式子歸納，解決此類問題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系有關(guān)的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等．14、【解題分析】

由切線的傾斜角范圍為，得知切線斜率的取值范圍是，然后對曲線對應(yīng)的函數(shù)求導(dǎo)得，解不等式可得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.【題目詳解】由于曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角的取值范圍是，則切線斜率的取值范圍是，對函數(shù)求導(dǎo)得，令，即，解不等式，得或；解不等式，即，解得.所以，不等式組的解集為.因此，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查切線的斜率與點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中等題．15、1【解題分析】分析：根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，再分情況考慮即可求解．詳解：展開式中x項(xiàng)的系數(shù)：二項(xiàng)式（1+x）5由通項(xiàng)公式當(dāng)（1﹣x）提供常數(shù)項(xiàng)時(shí)：r=1，此時(shí)x項(xiàng)的系數(shù)是=2018，當(dāng)（1﹣x）提供一個(gè)x時(shí)：r=0，此時(shí)x項(xiàng)的系數(shù)是﹣1×=﹣1合并可得（1﹣x）（1+x）5展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為1．故答案為：1．點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第r＋1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可.(2)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第r＋1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出r值，最后求出其參數(shù).16、（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【解題分析】

先表示出，結(jié)合{an}單調(diào)遞增可求首項(xiàng)a1的范圍.【題目詳解】因?yàn)?，所以，解得或，則有或由于，所以或解得或，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)列的單調(diào)性，數(shù)列的單調(diào)性一般通過相鄰兩項(xiàng)差的符號來確定，側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)，，；(2)從風(fēng)險(xiǎn)控制角度，建議該投資公司選擇項(xiàng)目.【解題分析】

（1）根據(jù)概率和為1列方程求得的值，再利用分布列和數(shù)學(xué)期望列方程組求得、的值；（2）計(jì)算均值與方差，比較即可得出結(jié)論．【題目詳解】（1）依題意，，，設(shè)投入到項(xiàng)目的資金都為萬元，變量和分別表示投資項(xiàng)目和所獲得的利潤，則和的分布列分別為由分布列得，，因?yàn)樗?，即，又，解得，；，，?）當(dāng)投入萬元資金時(shí)，由（1）知，所以，，，因?yàn)?，說明雖然項(xiàng)目和項(xiàng)目的平均收益相等，但項(xiàng)目更穩(wěn)妥，所以，從風(fēng)險(xiǎn)控制角度，建議該投資公司選擇項(xiàng)目.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望和方差的計(jì)算問題，是中檔題．18、(1)；月銷售量不低于12萬件時(shí)銷售單價(jià)的最大值為；(2)分布列見詳解，數(shù)學(xué)期望為.1（萬元）.【解題分析】

（1）先計(jì)算的平均數(shù)，根據(jù)已知公式，代值計(jì)算即可；再根據(jù)所求方程，解不等式即可；（2）根據(jù)題意，求得的可取值，結(jié)合題意求得分布列，再根據(jù)分布列求數(shù)學(xué)期望即可.【題目詳解】（1）容易知；；又因?yàn)椋?，故可得，，故所求回歸直線方程為：.令，故可得.故月銷售量不低于12萬件時(shí)銷售單價(jià)的最大值為.（2）容易知可取值為：，（單位為：萬元）故，，，..故其分布列如下所示：則（萬元）.【題目點(diǎn)撥】本題考查線性回歸直線方程的求解，以及離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解，屬綜合中檔題.19、（1）（2）最大值是和最小值是.【解題分析】分析：（1）利用極坐標(biāo)公式化成直角坐標(biāo)方程.(2)先求出直線的直角坐標(biāo)方程為，再利用圓心到直線的距離求到直線的距離的最大值是和最小值是.詳解：（1）因?yàn)榍€的方程為，則，所以的直角坐標(biāo)方程為，即.（2）因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以直線的直角坐標(biāo)方程為，因?yàn)閳A心到直線的距離，則直線與圓相離，所以所求到直線的距離的最大值是和最小值是.點(diǎn)睛：(1)本題主要考查極坐標(biāo)、參數(shù)方程和直角坐標(biāo)的互化，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.(2)解答第2問的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合.20、（1）（2）分布列見解析，【解題分析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用對立事件及獨(dú)立事件的概率公式建立方程求解；（2）先求出，，的概率，再寫出概率分布表，運(yùn)用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式計(jì)算：解：設(shè)“甲投球一次命中”為事件，“乙投球一次命中”為事件.（Ⅰ）由題意得：，解得，所以乙投球的命中率為．（Ⅱ）由題設(shè)和（Ⅰ）知，甲投球的命中率為，則有，，，，可能的取值為0，1,2,3，故，，，，的分布列為：0123的數(shù)學(xué)期望．點(diǎn)睛：隨機(jī)變量的概率及分布是高中數(shù)學(xué)中的選修內(nèi)容，也是高考考查的重要考點(diǎn)。解答本題的第一問時(shí)，充分依據(jù)題設(shè)條件借助方程思想，運(yùn)用對立事件及獨(dú)立事件的概率公式建立方程，然后通過解方程求出其概率是；解答第二問時(shí)，