2024屆湖南省、江西省等十四校高二數(shù)學第二學期期末預測試題含解析

2024屆湖南省、江西省等十四校高二數(shù)學第二學期期末預測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設a=log20.3，b=10lg0.3，c=100.3，則A．a(chǎn)<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．c<b<a2．,若,則的值等于（）A．B．C．D．3．對于函數(shù),“的圖象關于軸對稱”是“=是奇函數(shù)”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要4．函數(shù)，，若，，則的取值范圍為（）A． B． C． D．5．如圖，棱長為1的正方體中，P為線段上的動點（不含端點），則下列結(jié)論錯誤的是A．平面平面B．的取值范圍是（0，]C．的體積為定值D．6．設為虛數(shù)單位，復數(shù)為純虛數(shù)，則（）．A．2 B．-2 C． D．7．已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復數(shù)的虛部等于（）A．1 B．-1 C．2 D．-28．已知函數(shù)的圖象關于點對稱，則在上的值域為（）A． B． C． D．9．下面是利用數(shù)學歸納法證明不等式（，且的部分過程：“……，假設當時，＋＋…＋，故當時，有，因為，故＋＋…＋，……”，則橫線處應該填（）A．＋＋…＋+＜，B．＋＋…＋，C．2＋＋…＋+，D．2＋＋…＋，10．在的展開式中，項的系數(shù)為（）A． B．40 C． D．8011．下列隨機試驗的結(jié)果，不能用離散型隨機變量表示的是()A．將一枚均勻正方體骰子擲兩次，所得點數(shù)之和B．某籃球運動員6次罰球中投進的球數(shù)C．電視機的使用壽命D．從含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取2件，其中抽到次品的件數(shù)12．已知復平面內(nèi)的圓：，若為純虛數(shù)，則與復數(shù)對應的點（）A．必在圓外 B．必在上 C．必在圓內(nèi) D．不能確定二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預設的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪．假設某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結(jié)果相互獨立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率等于（）．14．如圖，兩條距離為4的直線都與軸平行，它們與拋物線和圓分別交于，和，，且拋物線的準線與圓相切，則的最大值為______.15．關于的不等式恒成立，則的取值范圍為________16．若函數(shù)的反函數(shù)為，且，則的值為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（I）若，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）若函數(shù)在上是減函數(shù)，即在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）央視傳媒為了解央視舉辦的“朗讀者”節(jié)目的收視時間情況，隨機抽取了某市名觀眾進行調(diào)查，其中有名男觀眾和名女觀眾，將這名觀眾收視時間編成如圖所示的莖葉圖（單位：分鐘），收視時間在分鐘以上（包括分鐘）的稱為“朗讀愛好者”，收視時間在分鐘以下（不包括分鐘）的稱為“非朗讀愛好者”.（1）若采用分層抽樣的方法從“朗讀愛好者”和“非朗讀愛好者”中隨機抽取名，再從這名觀眾中任選名，求至少選到名“朗讀愛好者”的概率；（2）若從收視時間在40分鐘以上（包括40分鐘）的所有觀眾中選出男、女觀眾各1名，求選出的這兩名觀眾時間相差5分鐘以上的概率.19．（12分）在二項式的展開式中.（1）若展開式后三項的二項式系數(shù)的和等于67，求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）若為滿足的整數(shù)，且展開式中有常數(shù)項，試求的值和常數(shù)項.20．（12分）已知函數(shù)（，e為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）若，求的最大值；（2）若在R上單調(diào)遞減，①求a的取值范圍；②當時，證明：.21．（12分）在直角坐標系中，斜率為k的動直線l過點，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為.（1）若直線l與曲線C有兩個交點，求這兩個交點的中點P的軌跡關于參數(shù)k的參數(shù)方程；（2）在條件（1）下，求曲線的長度.22．（10分）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：）有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量（單位：瓶）的分布列；（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量（單位：瓶）為多少時，的數(shù)學期望達到最大值？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

求出三個數(shù)值的范圍，即可比較大小.【題目詳解】，，，，，的大小關系是：.故選：A.【題目點撥】對數(shù)函數(shù)值大小的比較一般有三種方法：①單調(diào)性法，在同底的情況下直接得到大小關系，若不同底，先化為同底．②中間值過渡法，即尋找中間數(shù)聯(lián)系要比較的兩個數(shù)，一般是用“0”，“1”或其他特殊值進行“比較傳遞”．③圖象法，根據(jù)圖象觀察得出大小關系．2、D【解題分析】試題分析：考點：函數(shù)求導數(shù)3、B【解題分析】

由奇函數(shù)，偶函數(shù)的定義,容易得選項B正確.4、C【解題分析】分析：利用均值定理可得≥2，中的，即≤2，所以a≤0詳解：由均值不等式得≥2，當且僅當x=0取得≤2，，當a≤0時，≥2，≤2故本題選C點晴：本題是一道恒成立問題，恒成立問題即最值問題，本題結(jié)合均值，三角函數(shù)有界性等綜合出題，也可以嘗試特殊值方法進行解答5、B【解題分析】

根據(jù)線面位置關系進行判斷．【題目詳解】∵平面，∴平面平面，A正確；若是上靠近的一個四等分點，可證此時為鈍角，B錯；由于，則平面，因此的底面是確定的，高也是定值，其體積為定值，C正確；在平面上的射影是直線，而，因此，D正確．故選B．【題目點撥】本題考查空間線面間的位置關系，考查面面垂直、線面平行的判定，考查三垂線定理等，所用知識較多，屬于中檔題．6、D【解題分析】

整理得：，由復數(shù)為純虛數(shù)列方程即可得解．【題目詳解】因為又它是純虛數(shù)，所以，解得：故選D【題目點撥】本題主要考查了復數(shù)的除法運算，還考查了復數(shù)的相關概念，考查方程思想，屬于基礎題．7、A【解題分析】由題設可得，則復數(shù)的虛部等于，應選答案A。8、D【解題分析】由題意得，函數(shù)的圖象關于點對稱，則，即，解得，所以，則，令，解得或，當，則，函數(shù)單調(diào)遞減，當，則，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，所以函數(shù)的值域為，故選D.點睛：本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)的應用，其中解答中涉及到利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象關于點對稱，列出方程組，求的得值是解得關鍵，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力.9、A【解題分析】

由歸納假設，推得的結(jié)論，結(jié)合放縮法，便可以得出結(jié)論．【題目詳解】假設當時，＋＋…＋，故當時，＋＋…＋+＜，因為，＋＋…＋，故選A．【題目點撥】本題主要考查數(shù)學歸納法的步驟，以及放縮法的運用，意在考查學生的邏輯推理能力．10、D【解題分析】

通過展開二項式即得答案.【題目詳解】在的展開式中,的系數(shù)為，故答案為D.【題目點撥】本題主要考查二項式定理，難度很小.11、C【解題分析】分析：直接利用離散型隨機變量的定義逐一判斷即可.詳解：隨機取值的變量就是隨機變量，隨機變量分為離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量兩種，隨機變量的函數(shù)仍為隨機變量，有些隨機變量，它全部可能取到的不相同的值是有限個或可列無限多個,這種隨機變量稱為“離散型隨機變量”，題目中都屬于離散型隨機變量，而電視機的使用壽命屬于連續(xù)型隨機變量，故選C.點睛：隨機取值的變量就是隨機變量，隨機變量分為離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量兩種（變量分為定性和定量兩類，其中定性變量又分為分類變量和有序變量；定量變量分為離散型和連續(xù)型），隨機變量的函數(shù)仍為隨機變量，本題考的離散型隨機變量.12、A【解題分析】

設復數(shù),再利用為純虛數(shù)求出對應的點的軌跡方程,再與圓：比較即可.【題目詳解】由題,復平面內(nèi)圓：對應的圓是以為圓心,1為半徑的圓.若為純虛數(shù),則設,則因為為純虛數(shù),可設,.故故,因為,故.當有.當時,兩式相除有,化簡得.故復數(shù)對應的點的軌跡是.則所有的點都在為圓心,1為半徑的圓外.故選：A【題目點撥】本題主要考查復數(shù)的軌跡問題,根據(jù)復數(shù)在復平面內(nèi)的對應的點的關系求解軌跡方程即可.屬于中等題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】試題分析：根據(jù)題意，記該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪為A，若該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪，必有第二個問題回答錯誤，第三、四個回答正確，第一個問題可對可錯；有相互獨立事件的概率乘法公式，可得P（A）=1×0.2×0.8×0.8=0.128，故答案為0.128.法二：根據(jù)題意，記該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪為A，若該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪，必有第二個問題回答錯誤，第三、四個回答正確，第一個問題可對可錯，由此分兩類，第一個答錯與第一個答對；有相互獨立事件的概率乘法公式，可得P（A）=0.8×0.2×0.8×0.8+0.2×0.2×0.8×0.8=0.2×0.8×0.8=0.128考點：相互獨立事件的概率乘法公式14、【解題分析】

先設直線的方程為，再利用直線與圓錐曲線的位置關系將用表示，再利用導數(shù)求函數(shù)的最值即可得解.【題目詳解】解：由拋物線的準線與圓相切得或7，又，∴.設直線的方程為，則直線的方程為，則.設，，令，得；令，得.即函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故，從而的最大值為，故答案為：.【題目點撥】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，重點考查了運算能力，屬中檔題.15、【解題分析】

由題意得，由絕對值三角不等式求出函數(shù)的最小值，從而可求出實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】由題意得，由絕對值三角不等式得，，因此，實數(shù)的取值范圍是，故答案為：.【題目點撥】本題考查不等式恒成立問題，同時也考查了利用絕對值三角不等式求最值，解題時要結(jié)合題中條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學思想，屬于中等題.16、【解題分析】

根據(jù)反函數(shù)的解析式,求得函數(shù)的解析式,代入即可求得的值.【題目詳解】因為函數(shù)的反函數(shù)為,且令則所以即函數(shù)()所以故答案為:【題目點撥】本題考查了反函數(shù)的求法,求函數(shù)值,屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（1）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f（1），f′（1）的值，寫出切線方程即可（2）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可.【題目詳解】（1）當時，，所以，

所以，又，

所以曲線在點處的切線方程為；

（2）因為函數(shù)f（x）在[1，3]上是減函數(shù)，

所以在[1，3]上恒成立，令，則，解得，故.所以實數(shù)的取值范圍.【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，導數(shù)的應用，恒成立問題，屬于中檔題.18、(1)(2)【解題分析】試題分析：試題解析：（1）根據(jù)莖葉圖，有“朗讀愛好者”人，“非朗讀愛好者”人，用分層抽樣的方法，每個人被抽到的概率是選中的“朗讀愛好者”有人，記為，“非朗讀愛好者”有人，記為；記：至少有一名是“朗讀愛好者”被選中，基本事件有，，，，，，，，，共個；滿足事件的有，，，，，，共個，則（2）收視時間在分鐘以上的男觀眾分別是，，，，，女觀眾分別是，現(xiàn)要各抽一名，則有，，，，，，，，，共種情況.收視時間相差分鐘以上的有，，，，共種情況.故收視時間相差分鐘以上的概率.19、（1）展開式中二項式系數(shù)最大的項為第6和第7項，，（2），常數(shù)項為【解題分析】

（1）根據(jù)條件求出的值，然后判斷第幾項二項式系數(shù)最大，并求之；（2）常數(shù)項其實說明的指數(shù)為，根據(jù)這一特點，利用項數(shù)與第幾項的關系求解出的值.【題目詳解】解：（1）由已知整理得，顯然則展開式中二項式系數(shù)最大的項為第6和第7項（2）設第項為常數(shù)項，為整數(shù)，則有，所以，或當時，；時，（不合題意舍去），所以常數(shù)項為【題目點撥】對于形如的展開式，展開后一共有項，若為奇數(shù)，則二項式系數(shù)最大的項有項，分別為項，為若為偶數(shù)，則二項式系數(shù)最大的項有項，即為項（也可借助楊輝三角的圖分析）.20、（1）1；（2）①，②證明見解析.【解題分析】

（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，利用導函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系當，求出單調(diào)遞增區(qū)間，當，求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，進而可求出最大值.（2）①求出對恒成立，化為對恒成立，記，討論值，求出的最小值即可證出；②由題意可得，即，兩邊取對數(shù)可得，下面采用分析法即可證出.【題目詳解】（1）時，時，，在上單調(diào)遞增時，，在上單調(diào)遞減（2）由①在R上單調(diào)遞減，對恒成立，即對恒成立，記，則對恒成立，當時，，符題當時，時，，在上單調(diào)遞減時，，在上單調(diào)遞增；當時，時，，在上單調(diào)遞減時，，在上單調(diào)遞增；綜上：②當時，在上單調(diào)遞減，，，，.要證，即證下面證明令，，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，得證【題目點撥】本題考查了導函數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性的應用，分析法證明不等式，考查了分類討論的思想，綜合性比較強，屬于難題.21、（1）；（2）【解題分析】

（1）把兩邊同時乘以，然后結(jié)合極坐標與直角坐標的互化公式可得曲線的直角坐標方程，設直線的方程為，與曲線聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系可得兩個交點的中點的軌跡關于參數(shù)的參數(shù)方程；（2）化參數(shù)方程為普通方程，作出圖形，數(shù)形結(jié)合即可求得曲線的長度．【題目詳解】解：（1）曲線C的直角坐標方程為.設直線l的方程為，設直線l與曲線C的交點為，，聯(lián)立直線l與曲線C的方程得解得，，，，設P的坐標為，則，代入l的方程得