2024屆甘肅省師大附中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆甘肅省師大附中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．定義：如果一個向量列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常向量，那么這個向量列做等差向量列，這個常向量叫做等差向量列的公差.已知向量列是以為首項，公差的等差向量列.若向量與非零向量）垂直，則（）A． B． C． D．2．已知A（2，0），B（0，1）是橢圓的兩個頂點，直線與直線AB相交于點D，與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點，若，則斜率k的值為（）A． B． C．或 D．或3．設(shè)函數(shù)，記，若函數(shù)至少存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．4．在去年的足球甲聯(lián)賽上，一隊每場比賽平均失球數(shù)是1.5，全年比賽失球個數(shù)的標準差為1.1；二隊每場比賽平均失球數(shù)是2.1，全年失球個數(shù)的標準差是0.4，你認為下列說法中正確的個數(shù)有（）①平均來說一隊比二隊防守技術(shù)好；②二隊比一隊防守技術(shù)水平更穩(wěn)定；③一隊防守有時表現(xiàn)很差，有時表現(xiàn)又非常好；④二隊很少不失球.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．現(xiàn)有男、女學(xué)生共8人，從男生中選2人，從女生中選1人分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科競賽，共有90種不同方案，那么男、女生人數(shù)分別是（）A．男生2人，女生6人B．男生3人，女生5人C．男生5人，女生3人D．男生6人，女生2人6．由直線，曲線以及軸所圍成的封閉圖形的面積是（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則的值為（）A．0 B．1 C． D．8．某程序框圖如圖所示，若運行該程序后輸出（）A． B． C． D．9．下列函數(shù)中，滿足“且”的是()A． B．C． D．10．某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為A．10 B．12C．14 D．1611．已知復(fù)數(shù)z=2+i，則A． B． C．3 D．512．己知變量x，y的取值如下表：x3456y2.5344.5由散點圖分析可知y與x線性相關(guān)，且求得回歸方程為，據(jù)此預(yù)測：當時，y的值約為A．5.95 B．6.65 C．7.35 D．7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在長方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為__________．14．若雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離等于焦距的，則該雙曲線的漸近線方程是__________15．已知實數(shù)且，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍構(gòu)成的集合為__________．16．總體由編號為01，02，…，19，20的20個個體組成．利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法從隨機數(shù)表的第1行第4列數(shù)由左到右由上到下開始讀取，則選出來的第5個個體的編號為____．第1行78166571023060140102406090280198第2行32049234493582003623486969387481三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，且在兩種坐標系中取相同的長度單位.曲線的極坐標方程是.（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）設(shè)曲線與軸正半軸及軸正半軸交于點，在第一象限內(nèi)曲線上任取一點，求四邊形面積的最大值.18．（12分）在平面直角坐標系中，直線經(jīng)過點，其傾斜角為，以原點為極點，以軸為非負半軸為極軸，與坐標系取相同的長度單位，建立極坐標系，設(shè)曲線的極坐標方程為.(1)若直線與曲線有公共點，求傾斜角的取值范圍；(2)設(shè)為曲線上任意一點，求的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù).（1）若關(guān)于的不等式的解集不是空集，求的取值范圍；（2）設(shè)的最小值為，若正實數(shù)，，滿足.證明：.20．（12分）己知直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C的極坐標方程為，直線與曲線C交于A、B兩點，點．（1）求直線的普通方程和曲線C的直角坐標方程；（2）求的值．21．（12分）設(shè)函數(shù)，其中.已知.（1）求；（2）將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求在上的最值.22．（10分）全民健身倡導(dǎo)全民做到每天參加一次以上的體育健身活動，旨在全面提高國民體質(zhì)和健康水平.某市的體育部門對某小區(qū)的4000人進行了“運動參與度”統(tǒng)計評分（滿分100分），得到了如下的頻率分布直方圖：（1）求這4000人的“運動參與度”的平均得分（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點作代表）；（2）由直方圖可認為這4000人的“運動參與度”的得分服從正態(tài)分布，其中，分別取平均得分和方差，那么選取的4000人中“運動參與度”得分超過84.81分（含84.81分）的人數(shù)估計有多少人？（3）如果用這4000人得分的情況來估計全市所有人的得分情況，現(xiàn)從全市隨機抽取4人，記“運動參與度”的得分不超過84.81分的人數(shù)為，求.（精確到0.001）附：①，；②，則，；③.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

先根據(jù)等差數(shù)列通項公式得向量，再根據(jù)向量垂直得遞推關(guān)系，最后根據(jù)累乘法求結(jié)果.【題目詳解】由題意得，因為向量與非零向量）垂直，所以因此故選：D【題目點撥】本題考查等差數(shù)列通項公式、向量垂直坐標表示以及累乘法，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.2、C【解題分析】

依題可得橢圓的方程，設(shè)直線AB，EF的方程分別為，，，且滿足方程，進而求得的表達式，根據(jù)，求得的表達式，由D在AB上知，進而求得的另一個表達式，兩個表達式相等即可求得k．【題目詳解】依題設(shè)得橢圓的方程為，直線AB，EF的方程分別為，．設(shè)，其中，且滿足方程，故，由，知，得，由D在AB上知，得．所以，化簡得，解得或．故選C．【題目點撥】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，同時考查直線和橢圓聯(lián)立，求交點，以及向量共線的坐標表示，考查運算能力，屬于中檔題．3、A【解題分析】試題分析：函數(shù)定義域是，，，設(shè)，則，設(shè)，則，，易知，即也即在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，因此是的唯一零點，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，，函數(shù)至少有一個零點，則，．故選B．考點：函數(shù)的零點，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)．【名師點睛】本題考查函數(shù)的零點的知識，考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，題意只要函數(shù)的最小值不大于0，因此要確定的正負與零點，又要對求導(dǎo)，得，此時再研究其分子，于是又一次求導(dǎo)，最終確定出函數(shù)的最小值，本題解題時多次求導(dǎo)，考查了學(xué)生的分析問題與解決問題的能力，難度較大．4、D【解題分析】在（1）中，一隊每場比賽平均失球數(shù)是1.5，二隊每場比賽平均失球數(shù)是2.1，

∴平均說來一隊比二隊防守技術(shù)好，故（1）正確；

在（2）中，一隊全年比賽失球個數(shù)的標準差為1.1，二隊全年比賽失球個數(shù)的標準差為0.4，

∴二隊比一隊技術(shù)水平更穩(wěn)定，故（2）正確；

在（3）中，一隊全年比賽失球個數(shù)的標準差為1.1，二隊全年比賽失球個數(shù)的標準差為0.4，

∴一隊有時表現(xiàn)很差，有時表現(xiàn)又非常好，故（3）正確；

在（4）中，二隊每場比賽平均失球數(shù)是2.1，全年比賽失球個數(shù)的標準差為0.4，

∴二隊很少不失球，故（4）正確.故選：D．5、B【解題分析】試題分析：設(shè)男學(xué)生有x人，則女學(xué)生有8-x人，從男生中選2人，從女生中選1人分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科競賽，共有90種不同方案,，∴x(x-1)(8-x)=30=2×3×5，∴x=3,故選B．考點：排列、組合的實際應(yīng)用．6、C【解題分析】

作出圖象，確定被積函數(shù)以及被積區(qū)間，再利用定積分公式可計算出所圍成封閉圖形的面積?！绢}目詳解】如下圖所示，聯(lián)立，得，則直線與曲線交于點，結(jié)合圖形可知，所求區(qū)域的面積為，故選：C?！绢}目點撥】本題考查利用定積分求曲邊多邊形區(qū)域的面積，確定被積函數(shù)與被積區(qū)間是解這類問題的關(guān)鍵，考查計算能力與數(shù)形結(jié)合思想，屬于中等題。7、D【解題分析】

根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的計算公式求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將代入導(dǎo)數(shù)的解析式，計算可得答案．【題目詳解】解：根據(jù)題意，，則，則；故選：．【題目點撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的計算，關(guān)鍵是掌握導(dǎo)數(shù)的計算公式，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解題分析】

通過分析可知程序框圖的功能為計算，根據(jù)最終輸出時的值，可知最終賦值時，代入可求得結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)程序框圖可知其功能為計算：初始值為，當時，輸出可知最終賦值時本題正確選項：【題目點撥】本題考查根據(jù)程序框圖的功能計算輸出結(jié)果，關(guān)鍵是能夠明確判斷出最終賦值時的取值.9、C【解題分析】

根據(jù)題意知，函數(shù)在上是減函數(shù)，根據(jù)選項判斷即可?！绢}目詳解】根據(jù)題意知，函數(shù)在上是減函數(shù)。選項A，在上是增函數(shù)，不符合；選項B，在上不單調(diào)，不符合；選項C，在上是減函數(shù)，符合；選項D，在上是增函數(shù)，不符合；綜上，故選C?！绢}目點撥】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的定義應(yīng)用以及常見函數(shù)的單調(diào)性的判斷。10、B【解題分析】由題意該幾何體的直觀圖是由一個三棱錐和三棱柱構(gòu)成，如下圖，則該幾何體各面內(nèi)只有兩個相同的梯形，則這些梯形的面積之和為，故選B.點睛:三視圖往往與幾何體的體積、表面積以及空間線面關(guān)系、角、距離等問題相結(jié)合，解決此類問題的關(guān)鍵是由三視圖準確確定空間幾何體的形狀及其結(jié)構(gòu)特征并且熟悉常見幾何體的三視圖.11、D【解題分析】

題先求得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算法則即得.【題目詳解】∵故選D.【題目點撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算法則，共軛復(fù)數(shù)的定義等知識，屬于基礎(chǔ)題..12、B【解題分析】

先計算數(shù)據(jù)的中心點，代入回歸方程得到，再代入計算對應(yīng)值.【題目詳解】數(shù)據(jù)中心點為代入回歸方程當時，y的值為故答案選B【題目點撥】本題考查了數(shù)據(jù)的回歸方程，計算數(shù)據(jù)中心點代入方程是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：過作，垂足為，則平面，則即為所求平面角，從而可得結(jié)果.詳解：依題意，畫出圖形，如圖，過作，垂足為，由平面，可得，所以平面，則即為所求平面角，因為，，所以，故答案為.點睛：本題考查長方體的性質(zhì)，以及直線與平面所成的角，屬于中檔題.求直線與平面所成的角由兩種方法：一是傳統(tǒng)法，證明線面垂直找到直線與平面所成的角，利用平面幾何知識解答；二是利用空間向量，求出直線的方向向量以及平面的方向向量，利用空間向量夾角余弦公式求解即可.14、【解題分析】

利用點到直線的距離公式計算出焦點到漸近線的距離，然后根據(jù)對應(yīng)距離等于焦距的求解出的值，即可得到雙曲線的漸近線方程.【題目詳解】因為焦點到漸近線的距離，所以，所以，所以，所以漸近線方程為：.故答案為：.【題目點撥】本題考查雙曲線漸近線方程的求解，難度一般.雙曲線的焦點到漸近線的距離等于虛軸長度的一半.15、.【解題分析】分析：先確定各段單調(diào)遞增，再考慮結(jié)合點處也單調(diào)遞增，解得實數(shù)的取值范圍.詳解：因為在上單調(diào)遞增，所以因此實數(shù)的取值范圍構(gòu)成的集合為.點睛：已知函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)的值或范圍要注意以下兩點：(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上也是單調(diào)的；(2)分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點的取值；（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，不僅要注意內(nèi)外函數(shù)單調(diào)性對應(yīng)關(guān)系，而且要注意內(nèi)外函數(shù)對應(yīng)自變量取值范圍.16、02；【解題分析】

第1行第4列數(shù)是6，由左到右進行讀取10，06，01，09，02.【題目詳解】第1行第4列數(shù)是6，由左到右進行讀取10，06，01，09，02，所以第5個個體的編號為02.【題目點撥】隨機數(shù)表中如果個體編號是2位數(shù)，則從規(guī)定的地方數(shù)起，是每次數(shù)兩位數(shù)，如果碰到超出編號范圍，則不選；如果碰到選過的，也不選.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】分析：（Ⅰ）把整合成，再利用就可以得到曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）因為在橢圓上且在第一象限，故可設(shè)，從而所求面積可用的三角函數(shù)來表示，求出該函數(shù)的最大值即可.詳解：（Ⅰ）由題可變形為，∵，，∴，∴.（Ⅱ）由已知有，，設(shè)，.于是由，由得，于是，∴四邊形最大值.點睛：直角坐標方程轉(zhuǎn)為極坐標方程的關(guān)鍵是利用公式，而極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程的關(guān)鍵是利用公式，后者也可以把極坐標方程變形盡量產(chǎn)生以便轉(zhuǎn)化.另一方面，當動點在圓錐曲線運動變化時，我們可用一個參數(shù)來表示動點坐標，從而利用一元函數(shù)求與動點有關(guān)的最值問題.18、(1).(2).【解題分析】分析：（1）利用互化公式即可把曲線C的極坐標方程ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0化為直角坐標方程．直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入曲線C的直角坐標方程可得t2﹣8tcosα+12=0，根據(jù)直線l與曲線C有公共點，可得△≥0，利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．（2）曲線C的方程x2+y2﹣2x﹣3=0可化為（x﹣1）2+y2=4，參數(shù)方程為，（θ為參數(shù)），設(shè)M（x，y）為曲線上任意一點，可得x+y=1+2cosθ+2sinθ，利用和差公式化簡即可得出取值范圍．詳解：（1）將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將參數(shù)方程代入，整理，∵直線與曲線有公共點，∴，∴，或，∵，∴的取值范圍是（2）曲線的方程可化為，其參數(shù)方程為（為參數(shù)），∵為曲線上任意一點，∴，∴的取值范圍是點睛：解答解析幾何中的最值問題時，對于一些特殊的問題，可根據(jù)幾何法求解，以增加形象性、減少運算量．19、（1）或.（2）見解析【解題分析】

（1）等式的不是空集，等價于的最小值，，解得答案（2）由（1）知，再利用兩次均值不等式得到答案.【題目詳解】（1）不等式的不是空集，等價于的最小值.，可知，所以，解得：或.（2）由（1）可知的最小值為，所以，正實數(shù)，，，由均值不等式可知：，又因為.【題目點撥】本題考查了解絕對值不等式，均值不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.20、（1），；（2）.【解題分析】

（1）直線的參數(shù)方程消去t可求得普通方程．由直角坐標與極坐標互換公式，求得曲線C普通方程．（2）直線的參數(shù)方程改寫為（t為參數(shù)），由t的幾何意義求值．【題目詳解】直線l的參數(shù)方程為