2024屆河南省通許縣麗星高級中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試試題含解析

2024屆河南省通許縣麗星高級中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．角的終邊上一點(diǎn)，則（）A． B． C．或 D．或2．設(shè)，，則A． B．C． D．3．已知n元均值不等式為：，其中均為正數(shù)，已知球的半徑為R，利用n元均值不等式求得球的內(nèi)接正四棱錐的體積的最大值為

A． B． C． D．4．已知集合，，則（）A． B． C． D．5．若的二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)和為，為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的運(yùn)算結(jié)果為（）A． B． C． D．6．已知向量滿足，點(diǎn)在線段上，且的最小值為，則的最小值為（）A． B． C． D．27．直線是圓的一條對稱軸，過點(diǎn)作斜率為1的直線，則直線被圓所截得的弦長為（）A． B． C． D．8．雙曲線x2A．y=±23x B．y=±49．已知直線l1：與直線l2：垂直，則的值為（）A．﹣2 B． C．2 D．10．下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．11．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)）上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為（）A． B． C． D．12．設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)等于()A． B．2i C． D．0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．對于三次函數(shù)，定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)“任何一個三次函數(shù)都有‘拐點(diǎn)’；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心；且‘拐點(diǎn)’就是對稱中心.”根據(jù)此發(fā)現(xiàn)，若函數(shù)，計(jì)算__________．14．在的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)的值為__________15．已知不等式對任意恒成立，其中，是與無關(guān)的實(shí)數(shù)，則的最小值是________.16．在長方體中，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為對角線上的動點(diǎn)，點(diǎn)為底面上的動點(diǎn)，則的最小值為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某保險公司擬推出某種意外傷害險，每位參保人交付元參保費(fèi)，出險時可獲得萬元的賠付，已知一年中的出險率為，現(xiàn)有人參保.（1）求保險公司獲利在（單位：萬元）范圍內(nèi)的概率（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后三位）；（2）求保險公司虧本的概率．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后三位）附：.18．（12分）已知函數(shù)．（1）若不等式無解,求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時，函數(shù)的最小值為,求實(shí)數(shù)的值．19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為，（θ為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（﹣2，0），B（0，﹣2），M是曲線C上任意一點(diǎn)，求△ABM面積的最小值．20．（12分）[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程；(2)若點(diǎn)的極坐標(biāo)為，是曲線上的一動點(diǎn)，求面積的最大值．21．（12分）如圖，橢圓和圓，已知橢圓C的離心率為，直線與圓O相切.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線l與橢圓相交于P，Q不同兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段PQ上.設(shè)，試求的取值范圍.22．（10分）橢圓長軸右端點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點(diǎn)，且，離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線交橢圓于、兩點(diǎn)，判斷是否存在直線，使點(diǎn)恰為的垂心？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，注意討論的正負(fù)．【題目詳解】的終邊上一點(diǎn)，則，，所以.故應(yīng)選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的定義，解題時要注意分類討論，即按參數(shù)的正負(fù)分類．2、B【解題分析】

分析：求出，得到的范圍，進(jìn)而可得結(jié)果．詳解：.,即又即故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查對數(shù)的運(yùn)算和不等式，屬于中檔題．3、A【解題分析】

先根據(jù)球和正四棱錐的內(nèi)接關(guān)系求出半徑與邊長的關(guān)系式，寫出體積公式，利用n元均值不等式可求最大值.【題目詳解】設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，則有，解得；正四棱錐的體積，當(dāng)且僅當(dāng)時取到最大值，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查四棱錐體積的求解和n元均值不等式的應(yīng)用，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).4、C【解題分析】

先求解絕對值不等式得到集合A，然后直接利用交集運(yùn)算可得答案?！绢}目詳解】解：因?yàn)椋?，得，所以集合，又因?yàn)?，所以，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了絕對值不等式及交集運(yùn)算，較基礎(chǔ).5、C【解題分析】

分析：利用賦值法求得，再按復(fù)數(shù)的乘方法則計(jì)算．詳解：令，得，，∴．故選C．點(diǎn)睛：在二項(xiàng)式的展開式中，求系數(shù)和問題，一般用賦值法，如各項(xiàng)系數(shù)為，二項(xiàng)式系數(shù)和為，兩者不能混淆．6、D【解題分析】

依據(jù)題目條件，首先可以判斷出點(diǎn)的位置，然后，根據(jù)向量模的計(jì)算公式，求出的代數(shù)式，由函數(shù)知識即可求出最值．【題目詳解】由于，說明點(diǎn)在的垂直平分線上，當(dāng)是的中點(diǎn)時，取最小值，最小值為，此時與的夾角為，與的夾角為，∴與的夾角為，的最小值是4，即的最小值是2.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了平面向量有關(guān)知識，重點(diǎn)是利用數(shù)量積求向量的模．7、C【解題分析】由是圓的一條對稱軸知，其必過圓心，因此，則過點(diǎn)斜率為1的直線的方程為，圓心到其距離，所以弦長等于，故選C．8、D【解題分析】

依據(jù)雙曲線性質(zhì)，即可求出?！绢}目詳解】由雙曲線x24-y29=1所以雙曲線x24-y2【題目點(diǎn)撥】本題主要考查如何由雙曲線方程求其漸近線方程，一般地雙曲線x2a2雙曲線y2a29、A【解題分析】

根據(jù)兩直線垂直的條件，得到，即可求解，得到答案.【題目詳解】由題意，直線l1：與直線l2：垂直，則滿足，解得，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了兩條直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟記兩直線垂直的條件是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，對選項(xiàng)逐一分析，由此得出正確選項(xiàng).【題目詳解】對于A選項(xiàng)，由于定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故為非奇非偶函數(shù).對于B選項(xiàng)，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，為增函數(shù)，故B選項(xiàng)正確.對于C選項(xiàng)，函數(shù)圖像沒有對稱性，故為非奇非偶函數(shù).對于D選項(xiàng)，在上有增有減.綜上所述，本小題選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解題分析】

將直線，化為直角方程，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式列等量關(guān)系，再根據(jù)三角函數(shù)有界性求最值.【題目詳解】可得：根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，可得上的點(diǎn)到直線的距離為【題目點(diǎn)撥】本題考查點(diǎn)到直線距離公式以及三角函數(shù)有界性，考查基本分析求解能力，屬中檔題.12、B【解題分析】

利用復(fù)數(shù)除法和加法運(yùn)算求解即可【題目詳解】故選B【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】分析：求出二階導(dǎo)數(shù)，再求出的拐點(diǎn)，即對稱點(diǎn)，利用對稱性可求值．詳解：，，由得，，即的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，∴，∴．故答案為1．點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，考查新定義，解題關(guān)鍵是正確理解新概念，轉(zhuǎn)化新定義．通過求出的拐點(diǎn)，得出對稱中心，從而利用配對法求得函數(shù)值的和．14、15【解題分析】

寫出二項(xiàng)展開式通項(xiàng)，通過得到，從而求得常數(shù)項(xiàng).【題目詳解】二項(xiàng)展開式通項(xiàng)為：當(dāng)時，常數(shù)項(xiàng)為：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15、1【解題分析】

設(shè)，其中，求出的取值范圍，即可得出的最小值．【題目詳解】設(shè)，其中；；，，，，即；令，，則的最小值是．故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式恒成立應(yīng)用問題，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，結(jié)合單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．16、【解題分析】

畫出圖形,利用折疊與展開法則使和在同一個平面,轉(zhuǎn)化折線段為直線段距離最小,即可求得的最小值．【題目詳解】當(dāng)?shù)淖钚≈?即到底面的距離的最小值與的最小值之和.為底面上的動點(diǎn),當(dāng)是在底面上的射影,即是最小值.展開三角形與三角形在同一個平面上,如圖:長方體中，，長方體體對角線長為:在中:故故過點(diǎn)作,即為最小值.在,故答案為:.【題目點(diǎn)撥】解答折疊問題的關(guān)鍵在于畫好折疊前后的平面圖形與立體圖形，并弄清折疊前后哪些條件發(fā)生了變化,哪些條件沒有發(fā)生變化.這些未變化的已知條件都是我們分析問題和解決問題的依據(jù).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由題意知，總的保費(fèi)為萬元，分析出保險公式獲利萬元和萬元的人數(shù)別為、，由此得出所求概率為；（2）由題意得出保險公式虧本時，由此可得出所求概率為.【題目詳解】每個人在一年內(nèi)是否遭遇意外傷害可以看成是一次隨機(jī)試驗(yàn)，把遭遇意外傷害看作成功，則成功概率為.人參?？梢钥闯墒谴为?dú)立重復(fù)試驗(yàn)，用表示一年內(nèi)這人中遭遇意外傷害的人數(shù)，則.（1）由題意知，保險公司每年的包費(fèi)收入為萬，若獲利萬元，則有人出險；若獲利萬元，則有人出險.當(dāng)遭遇意外傷害的人數(shù)時，保險公司獲利在（單位：萬元）范圍內(nèi).其概率為.保險公司獲利在（單位：萬元）范圍內(nèi)的概率為；（2）當(dāng)遭遇意外傷害的人數(shù)時，保險公司虧本..保險公司虧本的概率為.【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的計(jì)算，考查對立事件概率的計(jì)算，解題時要結(jié)合條件分析出出險人數(shù)，結(jié)合表格中的概率進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.18、(1);(2).【解題分析】分析：⑴化簡不等式得，利用不等式性質(zhì)轉(zhuǎn)化為時滿足題意，求出實(shí)數(shù)的取值范圍⑵由代入化簡不等式得不等式組，結(jié)合單調(diào)性求出最小值詳解：（Ⅰ）∵，∵，當(dāng)時取等號，∴要使不等式無解，只需，解得或，則實(shí)數(shù)的取值范圍為：.（Ⅱ）因?yàn)?，所以，∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以，解得適合.點(diǎn)睛：本題考查了含有絕對值不等式的解答，運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，求出最值，當(dāng)參數(shù)確定范圍時，代入進(jìn)行化簡得到函數(shù)的表達(dá)式，根據(jù)單調(diào)性求出結(jié)果．19、（1）ρ2﹣6ρcosθ﹣8ρsinθ+21＝1．（2）9﹣2．【解題分析】

(1)先將化簡成直角坐標(biāo)方程,再利用與化簡即可.(2)由為以為底,到的距離為高可知要求面積的最小值即求到的距離最大值.再設(shè)求解最值即可.【題目詳解】（1）∵曲線C的參數(shù)方程為,（θ為參數(shù)）,有.上下平方相加得曲線C的直角坐標(biāo)方程為,化簡得將與,代入得曲線C的直角坐標(biāo)方程有：．（2）設(shè)點(diǎn)到直線AB：x+y+2＝1的距離為d,則,當(dāng)sin（）＝﹣1時,d有最小值,所以△ABM面積的最小值S9﹣2．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了參數(shù)方程與直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)系的互化,同時與考查了圓上的點(diǎn)到直線距離最值的問題,屬于中等題型.20、(1);(2).【解題分析】分析：（1）消去參數(shù)可以求出曲線C的普通方程，由，，能求出曲線的極坐標(biāo)方程；（2）解法一：極坐標(biāo)法.設(shè)動點(diǎn)極坐標(biāo)為，由正弦定理得的表達(dá)式，確定最大值.解法二：幾何法.過圓心作的垂線交圓于、兩點(diǎn)，交于點(diǎn).以為底邊計(jì)算，將最大值，轉(zhuǎn)化為底邊上的高最大值問題，由圓的性質(zhì)，易得當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P重合時，高時取得最大值，由銳角的三角函數(shù)得，，，即可求出面積的最大值．解法三：與解法二相同，最大值時，由勾股定理求得.解法四：與解法二相同，最大值時，由圓心到之間距離計(jì)算.詳解：解：（1）∵曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），∴消去參數(shù)得，即∵，，∴曲線的極坐標(biāo)方程為即.（2）解法一：設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為且，∴當(dāng)且僅當(dāng)即時，的最大值為（2）解法二：∵點(diǎn)、在圓上∴過圓心作的垂線交圓于、兩點(diǎn)，交于點(diǎn)則如圖所示,（2）解法三：∵點(diǎn)、在圓上∴過圓心作的垂線交圓于、兩點(diǎn)，交于點(diǎn)則下同解法二（2）解法四：∵點(diǎn)、在圓上∴過圓心作直線的垂線交圓于、兩點(diǎn)，交于點(diǎn)∵直線的方程為：∴點(diǎn)到直線的距離下同解法二點(diǎn)睛：本題考查參數(shù)方程、普通方程和極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)換方法，考查三角形面積最大值的求法，考查運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想，考查函數(shù)與方程思想.21、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率和直線與圓相切得到，解方程組即可.（2）設(shè)，，，當(dāng)直線與軸重合時，求出.當(dāng)直線與軸不重合時，設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理化簡，求出的表達(dá)式，再求出的范圍即可.【題目詳解】（1）由題知：，解得，.橢圓；（2）設(shè)，，.當(dāng)直線與軸重合時，則，解得：，.當(dāng)直線與軸不重合時，則，解得：.設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去得：.由韋達(dá)定理得，.于是有：，因此.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題第一問考查橢圓的性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系，第二問考查直線與橢圓的位置關(guān)系，