2024屆湖南省長郡中學數(shù)學高二下期末學業(yè)水平測試試題含解析

2024屆湖南省長郡中學數(shù)學高二下期末學業(yè)水平測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數(shù)，則（）A． B． C． D．2．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．16 B．(10＋)π C．4＋(5＋)π D．6＋(5＋)π3．五個人站成一排，其中甲乙相鄰的站法有（）A．18種 B．24種 C．48種 D．36種4．已知函數(shù)，的值域是，則實數(shù)的取值范圍是()A．（1,2） B． C．（1,3） D．（1,4）5．角的終邊與單位圓交于點,則（）A． B．- C． D．6．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A．20 B．10 C．30 D．607．已知的模為．且在方向上的投影為，則與的夾角為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，則函數(shù)g（x）＝xf（x）﹣1的零點的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．59．下列命題中真命題的個數(shù)是（）①，；②若“”是假命題，則都是假命題；③若“，”的否定是“，”A．0 B．1 C．2 D．310．已知i是虛數(shù)單位，m,n∈R，且m+i=1+ni，則＝()A．i B．1 C．－i D．－111．已知函數(shù).正實數(shù)滿足，則下述結論中正確的一項是()A． B．C． D．12．存在實數(shù)，使成立的一個必要不充分條件是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知則的值為．14．已知隨機變量服從正態(tài)分布，，則__________．15．已知角的終邊與單位圓交點的橫坐標是，則的值是．16．某籃球運動員在三分線投球的命中率是，他投球10次，恰好投進3個球的概率為________(用數(shù)值作答).三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）的展開式中第六項與第七項的系數(shù)相等，求和展開式中二項式系數(shù)最大的項.18．（12分）在中，角的對邊分別是，已知，，.(1)求的值；(2)若角為銳角，求的值及的面積.19．（12分）已知集合，其中，集合．若，求；若，求實數(shù)的取值范圍．20．（12分）世界那么大，我想去看看，每年高考結束后，處于休養(yǎng)狀態(tài)的高中畢業(yè)生旅游動機強烈，旅游可支配收入日益增多，可見高中畢業(yè)生旅游是一個巨大的市場.為了解高中畢業(yè)生每年旅游消費支出（單位:百元）的情況，相關部門隨機抽取了某市的1000名畢業(yè)生進行問卷調(diào)查，并把所得數(shù)據(jù)列成如下所示的頻數(shù)分布表：組別[0,20）[20,40）[40,60）[60,80）[80,100）頻數(shù)22504502908（1）求所得樣本的中位數(shù)（精確到百元）；（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可近似地認為學生的旅游費用支出服從正態(tài)分布，若該市共有高中畢業(yè)生35000人，試估計有多少位同學旅游費用支出在8100元以上；（3）已知樣本數(shù)據(jù)中旅游費用支出在[80,100）范圍內(nèi)的8名學生中有5名女生，3名男生，現(xiàn)想選其中3名學生回訪，記選出的男生人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.附:若，則，21．（12分）學校某社團參加某項比賽，需用木料制作如圖所示框架，框架下部是邊長分別為的矩形，上部是一個半圓，要求框架圍成總面積為.（1）試寫出用料（即周長）關于寬的函數(shù)解析式，并求出的取值范圍；（2）求用料（即周長）的最小值，并求出相應的的值.22．（10分）甲、乙、丙三名音樂愛好者參加某電視臺舉辦的演唱技能海選活動，在本次海選中有合格和不合格兩個等級．若海選合格記1分，海選不合格記0分．假設甲、乙、丙海選合格的概率分別為，他們海選合格與不合格是相互獨立的．（1）求在這次海選中，這三名音樂愛好者至少有一名海選合格的概率；（2）記在這次海選中，甲、乙、丙三名音樂愛好者所得分之和為隨機變量,求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

首先計算，然后再計算的值.【題目詳解】,.故選A.【題目點撥】本題考查了分段函數(shù)求值，屬于計算題型.2、C【解題分析】分析：由該幾何體的三視圖判斷出組合體各部分的幾何特征，以及各部分的幾何體相關幾何量的數(shù)據(jù)，由面積公式求出該幾何體的表面積.詳解：該幾何體是兩個相同的半圓錐與一個半圓柱的組合體，其表面積為：S＝π＋4π＋4＋π＝4＋(5＋)π.故選：C.點睛：本題考查了由三視圖求幾何體的表面積，解題的關鍵是根據(jù)三視圖判斷幾何體的結構特征及相關幾何量的數(shù)據(jù).3、C【解題分析】

將甲乙看作一個大的元素與其他元素進行排列，再乘即可得出結論．【題目詳解】五個人站成一排，其中甲乙相鄰，將甲乙看作一個大的元素與其他3人進行排列，再考慮甲乙順序為，故共種站法.故選：C.【題目點撥】本題考查排列組合的應用，求排列組合常用的方法有：元素優(yōu)先法、插空法、捆綁法、隔板法、間接法等，解決排列組合問題對學生的抽象思維能力和邏輯思維能力要求較高，本題屬于簡單題.4、B【解題分析】

先求出當x≤2時，f（x）≥4，則根據(jù)條件得到當x＞2時，f（x）=3+logax≥4恒成立，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．【題目詳解】當x≤2時，f（x）=﹣x+6≥4，要使f（x）的值域是[4，+∞），則當x＞2時，f（x）=3+logax≥4恒成立，即logax≥1，若0＜a＜1，則不等式logax≥1不成立，當a＞1時，則由logax≥1=logaa，則a≤x，∵x＞2，∴a≤2，即1＜a≤2，故選：D．【題目點撥】本題主要考查函數(shù)值域的應用，利用分段函數(shù)的表達式先求出當x≤2時的函數(shù)的值域是解決本題的關鍵．5、D【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義，求得，再由余弦的倍角公式，即可求解.【題目詳解】由題意，角的終邊與單位圓交于點,則，由三角函數(shù)的定義，可得，則，故選D.【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，以及余弦的倍角公式的化簡、求值，其中解答中熟記三角函數(shù)的定義，以及余弦的倍角公式，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.6、B【解題分析】

根據(jù)三視圖還原幾何體，根據(jù)棱錐體積公式可求得結果.【題目詳解】由三視圖可得幾何體直觀圖如下圖所示：可知三棱錐高：；底面面積：三棱錐體積：本題正確選項：【題目點撥】本題考查棱錐體積的求解，關鍵是能夠通過三視圖還原幾何體，從而準確求解出三棱錐的高和底面面積.7、A【解題分析】

根據(jù)平面向量的投影定義，利用平面向量夾角的公式，即可求解．【題目詳解】由題意，，則在方向上的投影為，解得，又因為，所以與的夾角為，故選A．【題目點撥】本題主要考查了平面向量的投影定義和夾角公式應用問題，其中解答中熟記向量的投影的定義和向量的夾角公式，準確計算是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題．8、B【解題分析】

由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得f（x），根據(jù)條件作出函數(shù)f（x）與h（x）的圖象，研究兩個函數(shù)的交點個數(shù)即可得到結論．【題目詳解】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得xf（x）＝1，當x＝0時，方程xf（x）＝1不成立，即x≠0，則等價為f（x）＝，當2＜x≤4時，0＜x﹣2≤2，此時f（x）＝f（x﹣2）＝（1﹣|x﹣2﹣1|）＝﹣|x﹣3|，當4＜x≤6時，2＜x﹣2≤4，此時f（x）＝f（x﹣2）＝[﹣|x﹣2﹣3|]＝﹣|x﹣5|，作出f（x）的圖象如圖，則f（1）＝1，f（3）＝f（1）＝，f（5）＝f（3）＝，設h（x）＝，則h（1）＝1，h（3）＝，h（5）＝＞f（5），作出h（x）的圖象，由圖象知兩個函數(shù)圖象有3個交點，即函數(shù)g（x）的零點個數(shù)為3個，故選：B．【題目點撥】本題主要考查函數(shù)與方程的應用，利用條件轉化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．9、B【解題分析】若，，故命題①假；若“”是假命題，則至多有一個是真命題，故命題②是假命題；依據(jù)全稱命題與特征命題的否定關系可得命題“”的否定是“”，即命題③是真命題，應選答案B．10、A【解題分析】

先根據(jù)復數(shù)相等得到的值，再利用復數(shù)的四則混合運算計算.【題目詳解】因為，所以，則.故選A.【題目點撥】本題考查復數(shù)相等以及復數(shù)的四則混合運算，難度較易.對于復數(shù)的四則混合運算，分式類型的復數(shù)式子，采用分母實數(shù)化計算更加方便.11、A【解題分析】由，即，從而，令，則由得，，可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，可得或，又，因此成立，故選A.【方法點睛】本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值，一元二次不等式的解法及數(shù)學的轉化與劃歸思想.屬于難題.轉化與劃歸思想解決高中數(shù)學問題的一種重要思想方法，是中學數(shù)學四種重要的數(shù)學思想之一，尤其在解決知識點較多以及知識跨度較大的問題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關鍵是將題設條件研究透，這樣才能快速找準突破點.以便將問題轉化為我們所熟悉的知識領域，進而順利解答，希望同學們能夠熟練掌握并應用于解題當中.解答本題的關鍵是將方程問題轉化為利用導數(shù)求最值進而通過解不等式解答.12、D【解題分析】分析：先求成立充要條件，即的最小值，再根據(jù)條件之間包含關系確定選擇.詳解：因為存在實數(shù)，使成立，所以的最小值,因為，所以,因為，因此選D.點睛：充分、必要條件的三種判斷方法．1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結合，例如“?”為真，則是的充分條件．2．等價法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價關系，對于條件或結論是否定式的命題，一般運用等價法．3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

試題分析：,.考點：分段函數(shù)求值．14、0.22.【解題分析】

正態(tài)曲線關于x＝μ對稱，根據(jù)對稱性以及概率和為1求解即可?！绢}目詳解】【題目點撥】本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，是一個基礎題．15、【解題分析】試題分析：由題意得.考點：三角函數(shù)的定義；同角三角函數(shù)的基本關系式；誘導公式.16、【解題分析】

直接運用獨立重復試驗次，有次發(fā)生的事件的概率公式進行求解.【題目詳解】投球10次，恰好投進3個球的概率為,故答案為.【題目點撥】本題考查了獨立重復試驗次，有次發(fā)生的事件的概率公式，考查了數(shù)學運算能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、,二項式系數(shù)最大的項為．【解題分析】

利用二項式定理的通項公式及其性質、排列與組合數(shù)的計算公式即可得出．【題目詳解】，，依題意有，，化為：，解得．所以的展開式中，二項式系數(shù)最大的項為．【題目點撥】本題考查二項式定理展開式及其性質、排列與組合數(shù)的計算公式、方程的解法，考查推理能力與計算能力，屬于基礎題．18、(1)；(2)，.【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)題意和正弦定理求出a的值；

（2）由二倍角的余弦公式變形求出，由的范圍和平方關系求出，由余弦定理列出方程求出的值，代入三角形的面積公式求出的面積．試題解析：(1)因為，，由正弦定理，得.(2)因為，且，所以，.由余弦定理，得，解得或(舍)，所以.19、（1）；【解題分析】

解出二次不等式以及分式不等式得到集合和，根據(jù)并集的定義求并集；由集合是集合的子集，可得，根據(jù)包含關系列出不等式，求出的取值范圍.【題目詳解】集合，由，則，解得，即，，則，則．，即，可得，解得，故m的取值范圍是【題目點撥】本題考查集合的交并運算，以及由集合的包含關系求參數(shù)問題，屬于基礎題．在解有關集合的題的過程中，要注意在求補集與交集時要考慮端點是否可以取到，這是一個易錯點，同時將不等式與集合融合，體現(xiàn)了知識點之間的交匯.20、（1）51；（2）805；（3）見解析【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)中位數(shù)定義列式解得中位數(shù)，（2）由正態(tài)分布得旅游費用支出在元以上的概率為，再根據(jù)頻數(shù)等于總數(shù)與頻率乘積得人數(shù).(3)先確定隨機變量取法，再利用組合數(shù)分別求對應概率，列表可得分布列，最后根據(jù)數(shù)學期望公式求期望.試題解析：（1）設樣本的中位數(shù)為，則，解得，所得樣本中位數(shù)為（百元）.（2），，，旅游費用支出在元以上的概率為，，估計有位同學旅游費用支出在元以上.（3）的可能取值為，，，，，，，，∴的分布列為.21、（1），；（2），此時【解題分析】

（1）根據(jù)面積可得到與的關系，寫出周長即可（2）根據(jù)（1）寫出的，利用均值不等式求解即可.【題目詳解】（1），，，由得.（2），，當且僅當，即等號成立.【題目點撥】本題主要考查了實際問題中的函數(shù)關系，均值不等式，屬于中檔題.22、（1）．（2）的分布列為

0

1

2

1

．【解題分析】試