甘肅省武威市第四中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

甘肅省武威市第四中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．給出以下命題，其中真命題的個(gè)數(shù)是若“或”是假命題，則“且”是真命題命題“若，則或”為真命題已知空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，若，則四點(diǎn)共面；直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，則這樣的直線有3條；A．1 B．2 C．3 D．42．曲線在處的切線的傾斜角是（）A． B． C． D．3．為了調(diào)查胃病是否與生活規(guī)律有關(guān)，某同學(xué)在當(dāng)?shù)仉S機(jī)調(diào)查了500名30歲以上的人，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果計(jì)算出了隨機(jī)變量的觀測(cè)值，則認(rèn)為30歲以上的人患胃病與生活無(wú)規(guī)律有關(guān)時(shí)，出錯(cuò)的概率不會(huì)超過()附表：A．0.001 B．0.005 C．0.010 D．0.0254．已知向量，且，則等于（）A．1 B．3 C．4 D．55．已知甲口袋中有個(gè)紅球和個(gè)白球，乙口袋中有個(gè)紅球和個(gè)白球，現(xiàn)從甲，乙口袋中各隨機(jī)取出一個(gè)球并相互交換，記交換后甲口袋中紅球的個(gè)數(shù)為，則（）A． B． C． D．6．如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，及每個(gè)正方形中的一條對(duì)角線，則該幾何體的表面積是()A．4+2 B．9+32 C．7．己知三邊，，的長(zhǎng)都是整數(shù)，，如果，則符合條件的三角形的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．8．隨機(jī)變量的分布列如下：-101若，則的值是（）A． B． C． D．9．某校有1000人參加某次模擬考試，其中數(shù)學(xué)考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，試卷滿分150分，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀（高于120分）的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，則此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到105分之間的人數(shù)約為（）A．150 B．200 C．300 D．40010．下列命題:①在一個(gè)列聯(lián)表中,由計(jì)算得,則有的把握確認(rèn)這兩類指標(biāo)間有關(guān)聯(lián)②若二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，則展開式中的系數(shù)是③隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則④若正數(shù)滿足，則的最小值為其中正確命題的序號(hào)為()A．①②③ B．①③④ C．②④ D．③④11．已知函數(shù)的圖象如圖所示，若，且，則的值為（）A． B． C．1 D．012．在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的展開式中的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)相等，則正數(shù)______.14．甲和乙玩一個(gè)猜數(shù)游戲，規(guī)則如下：已知六張紙牌上分別寫有1﹣六個(gè)數(shù)字，現(xiàn)甲、乙兩人分別從中各自隨機(jī)抽取一張，然后根據(jù)自己手中的數(shù)推測(cè)誰(shuí)手上的數(shù)更大．甲看了看自己手中的數(shù)，想了想說：我不知道誰(shuí)手中的數(shù)更大；乙聽了甲的判斷后，思索了一下說：我知道誰(shuí)手中的數(shù)更大了．假設(shè)甲、乙所作出的推理都是正確的，那么乙手中可能的數(shù)構(gòu)成的集合是_____15．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部之和為______.16．的展開式中的有理項(xiàng)共有__________項(xiàng)．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）全民健身倡導(dǎo)全民做到每天參加一次以上的體育健身活動(dòng)，旨在全面提高國(guó)民體質(zhì)和健康水平.某市的體育部門對(duì)某小區(qū)的4000人進(jìn)行了“運(yùn)動(dòng)參與度”統(tǒng)計(jì)評(píng)分（滿分100分），得到了如下的頻率分布直方圖：（1）求這4000人的“運(yùn)動(dòng)參與度”的平均得分（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)作代表）；（2）由直方圖可認(rèn)為這4000人的“運(yùn)動(dòng)參與度”的得分服從正態(tài)分布，其中，分別取平均得分和方差，那么選取的4000人中“運(yùn)動(dòng)參與度”得分超過84.81分（含84.81分）的人數(shù)估計(jì)有多少人？（3）如果用這4000人得分的情況來估計(jì)全市所有人的得分情況，現(xiàn)從全市隨機(jī)抽取4人，記“運(yùn)動(dòng)參與度”的得分不超過84.81分的人數(shù)為，求.（精確到0.001）附：①，；②，則，；③.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為＝（＞0），過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)．（Ⅰ）寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（Ⅱ）若，求的值．19．（12分）如圖，平面，，，，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）已知拋物線，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為，.（1）求拋物線的方程；（2）當(dāng)以為直徑的圓與軸相切時(shí)，求直線的方程.21．（12分）某學(xué)校1800名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，抽取其中50名學(xué)生組成一個(gè)樣本，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組，第二組……，第五組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.（1）請(qǐng)估計(jì)學(xué)校1800名學(xué)生中，成績(jī)屬于第四組的人數(shù)；（2）若成績(jī)小于15秒認(rèn)為良好，求該樣本中在這次百米測(cè)試中成績(jī)良好的人數(shù)；（3）請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù).22．（10分）如圖所示,在三棱柱中,是邊長(zhǎng)為4的正方形,，.(l)求證:；(2)求二面角的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】(1)若“或”是假命題，則是假命題p是真命題，是假命題是真命題，故且真命題,選項(xiàng)正確.(2)命題“若，則或”的逆否命題是若a=2,且b=3,則a+b=5.這個(gè)命題是真命題，故原命題也是真命題.（3）∵++=1，∴P，A，B，C四點(diǎn)共面，故（3）正確，（4）由雙曲線方程得a=2，c=3，即直線l：y=k（x﹣3）過雙曲線的右焦點(diǎn)，∵雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離是2a=4，a+c=2+3=5，∴當(dāng)直線與雙曲線左右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，當(dāng)k=0時(shí)2a=4，則滿足|AB|=5的直線有2條，當(dāng)直線與實(shí)軸垂直時(shí)，當(dāng)x=c=3時(shí)，得，即=，即則y=±，此時(shí)通徑長(zhǎng)為5，若|AB|=5，則此時(shí)直線AB的斜率不存在，故不滿足條件．綜上可知有2條直線滿足|AB|=5，故（4）錯(cuò)誤，故答案為C.2、B【解題分析】分析：先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得斜率，最后得傾斜角.詳解：因?yàn)椋运郧€在處的切線的斜率為因此傾斜角是，選B.點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來進(jìn)行轉(zhuǎn)化.3、D【解題分析】

把相關(guān)指數(shù)的觀測(cè)值與臨界值比較，可得判斷30歲以上的人患胃病與生活無(wú)規(guī)律有關(guān)的可靠性程度及犯錯(cuò)誤的概率．【題目詳解】∵相關(guān)指數(shù)的觀測(cè)值，∴在犯錯(cuò)誤的概率不超過的情況下，判斷歲以上的人患胃病與生活無(wú)規(guī)律有關(guān)．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)思想方法，熟練掌握在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，觀測(cè)值與臨界值大小比較的含義是解題的關(guān)鍵．4、D【解題分析】

先根據(jù)已知求出x,y的值，再求出的坐標(biāo)和的值.【題目詳解】由向量，且，則，解得，所以，所以，所以，故答案為D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.5、A【解題分析】

先求出的可能取值及取各個(gè)可能取值時(shí)的概率，再利用可求得數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】的可能取值為.表示從甲口袋中取出一個(gè)紅球，從乙口袋中取出一個(gè)白球，故.表示從甲、乙口袋中各取出一個(gè)紅球，或從甲、乙口袋中各取出一個(gè)白球，故.表示從甲口袋中取出一個(gè)白球，從乙口袋中取出一個(gè)紅球，故.所以.故選A.【題目點(diǎn)撥】求離散型隨機(jī)變量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果離散型隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，也可以直接利用公式求期望.6、B【解題分析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)，求解幾何體的表面積即可．【題目詳解】幾何體的直觀圖如圖：所以幾何體的表面積為：3+3×1故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了根據(jù)三視圖求解幾何體的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.7、D【解題分析】

根據(jù)題意，可取的值為1、2、3、…25，由三角形的三邊關(guān)系，有，對(duì)分情況討論，分析可得可取的情況，即可得這種情況下符合條件的三角形的個(gè)數(shù)，由分類計(jì)數(shù)原理，結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，計(jì)算可得答案．【題目詳解】解：根據(jù)題意，可取的值為1、2、3、…25，

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，有，

當(dāng)時(shí)，有25≤＜26，則＝25，有1種情況，

當(dāng)時(shí)，有25≤＜27，則＝25、26，有2種情況，

當(dāng)時(shí)，有25≤＜28，則＝25、26、27，有3種情況，

當(dāng)時(shí)，有25≤＜29，則＝25、26、27、28，有4種情況，

…

當(dāng)時(shí)，有有25≤＜50，則＝25、26、27、28…49，有25種情況，

則符合條件的三角形共有1＋2＋3＋4＋…＋25＝；

故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查分類計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，涉及三角形三邊的關(guān)系，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)變化時(shí)，符合條件的三角形個(gè)數(shù)的變化規(guī)律．8、D【解題分析】由題設(shè)可得，，所以由隨機(jī)變量的方差公式可得，應(yīng)選答案D。9、C【解題分析】

求出，即可求出此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到105分之間的人數(shù)．【題目詳解】∵，，所以，所以此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到105分之間的人數(shù)約為．故選C．【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．屬于基礎(chǔ)題．10、B【解題分析】

根據(jù)可知①正確；代入可求得，利用展開式通項(xiàng)，可知時(shí)，為含的項(xiàng)，代入可求得系數(shù)為，②錯(cuò)誤；根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可知③正確；由，利用基本不等式求得最小值，可知④正確.【題目詳解】①，則有的把握確認(rèn)這兩類指標(biāo)間有關(guān)聯(lián)，①正確；②令，則所有項(xiàng)的系數(shù)和為：，解得：則其展開式通項(xiàng)為：當(dāng)，即時(shí)，可得系數(shù)為：，②錯(cuò)誤；③由正態(tài)分布可知其正態(tài)分布曲線對(duì)稱軸為，③正確；④，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），④正確.本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查命題真假性的判斷，涉及到獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)和與指定項(xiàng)系數(shù)的求解、正態(tài)分布曲線的應(yīng)用、利用基本不等式求解和的最小值問題.11、C【解題分析】由題意得，，則，又，即，解得，所以，令，即，，解得該函數(shù)的對(duì)稱軸為，則，即，所以，故選C.12、A【解題分析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得，之后應(yīng)用向量的加法運(yùn)算法則-------三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應(yīng)用相反向量，求得，從而求得結(jié)果.詳解：根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，所以，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認(rèn)真對(duì)待每一步運(yùn)算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求出展開式中的系數(shù)、展開式中的常數(shù)項(xiàng)，再根據(jù)它們相等，求出的值.【題目詳解】解：因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為，令，求得，故展開式中的系數(shù)為.令，求得，故展開式中的系數(shù)為，所以，因?yàn)闉檎龜?shù)，所以.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

根據(jù)題意，先推出甲不是最大與最小的數(shù)，再討論乙的所有情形，即可得出答案.【題目詳解】由題意，六個(gè)數(shù)字分別為.由甲說他不知道誰(shuí)手中的數(shù)更大，可推出甲不是最大與最小的數(shù)，若乙取出的數(shù)字是或，則他知道甲的數(shù)字比他大還是小；若乙取出的數(shù)字是或，則他知道甲的數(shù)字比他大還是小；若乙取出的數(shù)字是或，則他不知道誰(shuí)的數(shù)字更大.故乙手中可能的數(shù)構(gòu)成的集合是.【題目點(diǎn)撥】本題考查了簡(jiǎn)單的推理，要注意仔細(xì)審題，屬于基礎(chǔ)題.15、0【解題分析】

先化簡(jiǎn)求得再計(jì)算實(shí)部和虛部的和即可.【題目詳解】,故實(shí)部和虛部之和為.故答案為：0【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算與實(shí)部虛部的概念,屬于基礎(chǔ)題型.16、3【解題分析】，，因?yàn)橛欣眄?xiàng)，所以，共三項(xiàng)。填3.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）平均成績(jī)?yōu)?0.5分（2）人（3）【解題分析】

（1）先計(jì)算中間值和對(duì)應(yīng)概率，相乘再相加得到答案.（2）先計(jì)算服從正態(tài)分布，根據(jù)公式得到答案.（3）先計(jì)算概率，再利用二項(xiàng)分布公式得到答案.【題目詳解】（1）由題意知：中間值455565758595概率0.10.150.20.30.150.1∴，∴這4000人“運(yùn)動(dòng)參與度”得分的平均成績(jī)?yōu)?0.5分．（2）依題意服從正態(tài)分布，其中，，，∴服從正態(tài)分布，而，∴．∴這4000人中“運(yùn)動(dòng)參與度”得分超過84.81分的人數(shù)估計(jì)為人人．（3）全市所有人的“運(yùn)動(dòng)參與度”得分不超過84.81分的概率．而，∴．【題目點(diǎn)撥】本題考查了平均值，正態(tài)分布，二項(xiàng)分布，概率.綜合性較強(qiáng)，意在考查學(xué)生解決問題的能力.18、（Ⅰ），（Ⅱ）．【解題分析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)可將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)，兩式相減消去參數(shù)得直線的普通方程為．（Ⅱ）由直線參數(shù)方程幾何意義有，因此將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程中，得,由韋達(dá)定理有．解之得：或（舍去）試題解析：（Ⅰ）由得,∴曲線的直角坐標(biāo)方程為．直線的普通方程為．（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程中，得,設(shè)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,則有．∵,∴,即．∴．解之得：或（舍去）,∴的值為．考點(diǎn)：極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)，參數(shù)方程化普通方程，直線參數(shù)方程幾何意義19、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

可以以為軸、為軸、為軸構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，寫出的空間坐標(biāo)，通過證明得證平面通過求平面和平面的法向量得證二面角的余弦值．【題目詳解】（1）根據(jù)題意，建立以為軸、為軸、為軸的空間直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)椋裕驗(yàn)槠矫?，且，所以平面．?）設(shè)平面的法向量為，則因?yàn)?，所以．令，則．所以是平面的一個(gè)法向量．因?yàn)槠矫?，所以是平面的法向量．所以由此可知，與的夾角的余弦值為．根據(jù)圖形可知，二面角的余弦值為．【題目點(diǎn)撥】在計(jì)算空間幾何以及二面角的時(shí)候，可以借助空間直角坐標(biāo)系．20、（1）；（2）或【解題分析】試題分析：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與拋物線的相交問題、直線與圓相切問題等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查考生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想.第一問，設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到y(tǒng)1＋y2，y1y2，，代入到中解出P的值；第二問，結(jié)合第一問的過程，利用兩種方法求出的長(zhǎng)，聯(lián)立解出m的值，從而得到直線的方程.試題解析：（Ⅰ）設(shè)l：x＝my－2，代入y2＝2px，得y2－2pmy＋4p＝1．（*）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，則．因?yàn)?，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，得p＝2，拋物線的方程為y2＝4x．…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）（*）化為y2－4my＋2＝1．y1＋y2＝4m，y1y2＝2．…6分設(shè)AB的中點(diǎn)為M