重慶市第十一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

重慶市第十一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．中國(guó)有個(gè)名句“運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外”，其中的“籌”原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的算籌．古代用算籌來(lái)進(jìn)行計(jì)算，算籌是將幾寸長(zhǎng)的小竹棍擺在平面上進(jìn)行計(jì)算，算籌的擺放形式有橫縱兩種形式（如圖所示），表示一個(gè)多位數(shù)時(shí)，像阿拉伯計(jì)數(shù)一樣，把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個(gè)位、百位、萬(wàn)位數(shù)用縱式表示，十位、千位、十萬(wàn)位用橫式表示，以此類(lèi)推．例如4266用算籌表示就是，則8771用算籌可表示為（）A． B． C． D．2．集合，，則（）A． B． C． D．3．若，則的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為A．8 B．16 C．24 D．604．在數(shù)學(xué)歸納法的遞推性證明中，由假設(shè)時(shí)成立推導(dǎo)時(shí)成立時(shí)，增加的項(xiàng)數(shù)是()A． B． C． D．5．已知的定義域?yàn)?，為的?dǎo)函數(shù)，且滿(mǎn)足，則不等式的解集（）A． B．C． D．6．唐代詩(shī)人杜牧的七絕唐詩(shī)中的兩句詩(shī)為“今來(lái)海上升高望，不到蓬萊不成仙?！逼渲泻笠痪洹俺上伞笔恰暗脚钊R”的（）A．充分非必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件7．在空間給出下列四個(gè)命題：①如果平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則⊥；②如果直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則∥；③如果直線與平面內(nèi)的兩條直線都垂直，則⊥；④如果平面內(nèi)的兩條直線都平行于平面，則∥．其中正確的個(gè)數(shù)是A． B． C． D．8．若，則（）A． B．C． D．9．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中有這樣一些數(shù)學(xué)用語(yǔ)，“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，而“陽(yáng)馬”指底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐現(xiàn)有一如圖所示的塹堵，，，當(dāng)塹堵的外接球的體積為時(shí)，則陽(yáng)馬體積的最大值為A．2 B．4 C． D．10．體育場(chǎng)南側(cè)有4個(gè)大門(mén),北側(cè)有3個(gè)大門(mén),某學(xué)生到該體育場(chǎng)練跑步,則他進(jìn)出門(mén)的方案有()A．12種 B．7種 C．24種 D．49種11．在5道題中有3道理科題和2道文科題，如果不放回地依次抽取2道題，則在第一次抽到理科題的條件下，第二次抽到理科題的概率為()A．14 B．13 C．112．為了調(diào)查胃病是否與生活規(guī)律有關(guān)，某同學(xué)在當(dāng)?shù)仉S機(jī)調(diào)查了500名30歲以上的人，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果計(jì)算出了隨機(jī)變量的觀測(cè)值，則認(rèn)為30歲以上的人患胃病與生活無(wú)規(guī)律有關(guān)時(shí)，出錯(cuò)的概率不會(huì)超過(guò)()附表：A．0.001 B．0.005 C．0.010 D．0.025二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知平面向量，若，則__________.14．一根木棍長(zhǎng)為4，若將其任意鋸為兩段，則鋸成的兩段木棍的長(zhǎng)度有一段大于3的概率為_(kāi)_____．15．顏色不同的個(gè)小球全部放入個(gè)不同的盒子中，若使每個(gè)盒子不空，則不同的方法有__________．（用數(shù)值回答）16．的化簡(jiǎn)結(jié)果為_(kāi)___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（I）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（II）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值.18．（12分）已知曲線在平面直角坐標(biāo)系中的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，有曲線.（1）將的方程化為普通方程，并求出的平面直角坐標(biāo)方程；（2）求曲線和兩交點(diǎn)之間的距離.19．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的最大值；（2）若存在正實(shí)數(shù)對(duì)，使得當(dāng)時(shí)，能成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）為了調(diào)查喜歡看書(shū)是否與性別有關(guān)，某校調(diào)查小組就“是否喜歡看書(shū)”這個(gè)問(wèn)題，在全校隨機(jī)調(diào)研了100名學(xué)生.（1）完成下列列聯(lián)表：喜歡看書(shū)不喜歡看書(shū)合計(jì)女生1550男生25合計(jì)100（2）能否在犯錯(cuò)率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為“喜歡看書(shū)與性別有關(guān)”.附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式：，其中）21．（12分）伴隨著智能手機(jī)的深入普及，支付形式日漸多樣化，打破了傳統(tǒng)支付的局限性和壁壘，有研究表明手機(jī)支付的使用比例與人的年齡存在一定的關(guān)系，某調(diào)研機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了50人，對(duì)他們一個(gè)月內(nèi)使用手機(jī)支付的情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如表：年齡（單位：歲）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）人數(shù)510151055使用手機(jī)支付人數(shù)31012721（1）若以“年齡55歲為分界點(diǎn)”，由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“使用手機(jī)支付”與人的年齡有關(guān)；年齡不低于55歲的人數(shù)年齡低于55歲的人數(shù)合計(jì)使用不適用合計(jì)（2）若從年齡在[55，65），[65，75）內(nèi)的被調(diào)查人中各隨機(jī)選取2人進(jìn)行追蹤調(diào)查，記選中的4人中“使用手機(jī)支付”的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望；參考數(shù)據(jù)如下：0.050.0100.001k03.8416.63510.828參考格式：，其中22．（10分）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)榧希?，?）若，求；（2）若，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

由算籌含義直接求解．【題目詳解】解：由算籌含義得到8771用算籌可表示為．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查中華傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，考查簡(jiǎn)單的合理推理、考查函數(shù)與方程思想，是中等題.2、B【解題分析】由，得，故選B.3、C【解題分析】因?yàn)樗缘耐?xiàng)公式為令，即∴二項(xiàng)式展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是，故選C.4、C【解題分析】分析：分別計(jì)算當(dāng)時(shí)，，當(dāng)成立時(shí)，，觀察計(jì)算即可得到答案詳解：假設(shè)時(shí)成立，即當(dāng)成立時(shí)，增加的項(xiàng)數(shù)是故選點(diǎn)睛：本題主要考查的是數(shù)學(xué)歸納法?？疾榱水?dāng)和成立時(shí)左邊項(xiàng)數(shù)的變化情況，考查了理解與應(yīng)用的能力，屬于中檔題。5、D【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，再由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，不等式，構(gòu)造為，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，設(shè)，則，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，因?yàn)椋?，所以，所以，解得．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，其中解答中根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)和用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系對(duì)不等式進(jìn)行判斷是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．6、A【解題分析】

根據(jù)命題的“真、假”，條件與結(jié)論的關(guān)系即可得出選項(xiàng)?！绢}目詳解】不到蓬萊不成仙，成仙到蓬萊，“成仙”是到“到蓬萊”的充分條件，但“到蓬萊”是否“成仙”不確定，因此“成仙”是“到蓬萊”的充分非必要條件。故選：A【題目點(diǎn)撥】充分、必要條件有三種判斷方法：1、定義法：直接判斷“若則”和“若則”的真假。2、等假法：利用原命題與逆否命題的關(guān)系判斷。3、若，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若,則A是B的充要條件。7、A【解題分析】本題考查空間線面關(guān)系的判定和性質(zhì)．解答：命題①正確，符合面面垂直的判定定理．命題②不正確，缺少條件．命題③不正確，缺少兩條相交直線都垂直的條件．命題④不正確，缺少兩條相交直線的條件．8、A【解題分析】

根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而判斷大小.【題目詳解】①令，則，∴在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，，即，故A正確．B錯(cuò)誤.②令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，易知C，D不正確，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.9、D【解題分析】

由已知求出三棱柱外接球的半徑，得到，進(jìn)一步求得AB，再由棱錐體積公式結(jié)合基本不等式求最值．【題目詳解】解：塹堵的外接球的體積為，其外接球的半徑，即，又，．則．．即陽(yáng)馬體積的最大值為．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查多面體的體積、均值定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，是中檔題．10、D【解題分析】第一步，他進(jìn)門(mén)，有7種選擇；第二步，他出門(mén)，有7種選擇．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得他進(jìn)出門(mén)的方案有7×7＝49(種)．11、C【解題分析】

在第一次抽到理科題的條件下，剩余4道題中，有2道理科題，代入古典概型概率公式，得到概率．【題目詳解】因?yàn)?道題中有3道理科題和2道文科題，所以第一次抽到理科題的前提下，剩余4道題中，有2道理科題，第2次抽到理科題的概率為P=24=【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是古典概型概率公式，分析出基本事件總數(shù)和滿(mǎn)足條件的事件個(gè)數(shù)是解答的關(guān)鍵，但本題易受到第一次抽到理科題的影響而出錯(cuò)，容易按獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率求解．12、D【解題分析】

把相關(guān)指數(shù)的觀測(cè)值與臨界值比較，可得判斷30歲以上的人患胃病與生活無(wú)規(guī)律有關(guān)的可靠性程度及犯錯(cuò)誤的概率．【題目詳解】∵相關(guān)指數(shù)的觀測(cè)值，∴在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的情況下，判斷歲以上的人患胃病與生活無(wú)規(guī)律有關(guān)．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)思想方法，熟練掌握在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，觀測(cè)值與臨界值大小比較的含義是解題的關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解題分析】

由向量平行關(guān)系求出，利用向量模的公式即可得到答案．【題目詳解】因?yàn)?，所以，解得，則，故．【題目點(diǎn)撥】本題考查向量平行以及向量模的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．14、【解題分析】

試驗(yàn)的全部區(qū)域長(zhǎng)度為4，基本事件的區(qū)域長(zhǎng)度為2，代入幾何概型概率公式即可得結(jié)果．【題目詳解】設(shè)“長(zhǎng)為4的木棍”對(duì)應(yīng)區(qū)間，“鋸成的兩段木棍的長(zhǎng)度有一段大于3”為事件，則滿(mǎn)足的區(qū)間為或，根據(jù)幾何概率的計(jì)算公式可得，．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于中檔題．解決幾何概型問(wèn)題常見(jiàn)類(lèi)型有：長(zhǎng)度型、角度型、面積型、體積型，求與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型問(wèn)題關(guān)鍵是計(jì)算問(wèn)題的總長(zhǎng)度以及事件的長(zhǎng)度.15、1【解題分析】分析：利用擋板法把4個(gè)小球分成3組，然后再把這3組小球全排列，再根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求得所有的不同放法的種數(shù)．詳解：在4個(gè)小球之間插入2個(gè)擋板，即可把4個(gè)小球分成3組，方法有種．

然后再把這3組小球全排列，方法有種．

再根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得所有的不同方法共有種，

故答案為1．點(diǎn)睛：本題主要考查排列、組合以及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，利用擋板法把4個(gè)小球分成3組，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題16、18【解題分析】

由指數(shù)冪的運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，即可求出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?故答案為18【題目點(diǎn)撥】本題主要考查指數(shù)冪運(yùn)算以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（I）或；（II）2.【解題分析】

（I）代入a的值，求出不等式的解集即可；（II）解不等式，根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系得到關(guān)于a的方程組，解出即可．【題目詳解】（I）當(dāng)時(shí)，由，得或，解得：或，故不等式的解集是或.（II），，又不等式的解集為，，解得.【題目點(diǎn)撥】本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，方程思想，是一道基礎(chǔ)題．18、(1)，.(2)6.【解題分析】試題分析：(1)結(jié)合題意整理所給的方程可得的方程化為普通方程，并求出的平面直角坐標(biāo)方程分別為：，.(2)結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式和圖形的幾何特征可得曲線和兩交點(diǎn)之間的距離是6.試題解析：（1）消參后得為，由得，∴的平面直角坐標(biāo)方程為.（2）∵圓心到直線的距離，∴.19、（1）4（2）【解題分析】

（1）先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出的范圍，（2）根據(jù)題意可得，因此原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在正實(shí)數(shù)使得等式成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域，即可求出的取值范圍．【題目詳解】解析：（1）由題意得，函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則在內(nèi)恒成立，故.因?yàn)椋ǖ忍?hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)即）所以（經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足題目），所以實(shí)數(shù)的最大值為4.（2）由題意得，則，因此原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：存在正數(shù)使得等式成立.整理并分離得，記，要使得上面的方程有解，下面求的值域，，故在上是單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，故當(dāng)，，綜上所述，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．20、(1)見(jiàn)解析;(2)不能在犯錯(cuò)率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為“喜歡看書(shū)與性別有關(guān)”.【解題分析】分析：（1）根據(jù)題意，補(bǔ)充完整列聯(lián)表；（2根據(jù)題意，計(jì)算的值，即可得出結(jié)論；詳解：（1）列聯(lián)表如下：喜歡看書(shū)不喜歡看書(shū)合計(jì)女生351550男生252550合計(jì)6040100（2）根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算，對(duì)照臨界值知，不能在犯錯(cuò)率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為“喜歡看書(shū)與性別有關(guān)”.點(diǎn)睛：本題考查獨(dú)