自動(dòng)化學(xué)院學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)七章ch7no1

三、二次曲面三元二次方程研究二次曲面特性的基本方法:截痕法.的圖形通常為二次曲面.(二次項(xiàng)系數(shù)不全為0)平面被稱為一次曲面．即：用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的一族平面與曲面相截，由截出的一族交線（即截痕）的形狀，加以綜合，從而了解曲面的全貌．1.橢球面截得橢圓（1）用坐標(biāo)面與曲面相截圖形關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面、三個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)對(duì)稱.橢球面與平面的交線為橢圓截得橢圓（2）用坐標(biāo)面與曲面相截截得橢圓（3）用坐標(biāo)面,與曲面相截橢球面的幾種特殊情況：旋轉(zhuǎn)橢球面由橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成．旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別：方程可寫為與平面的交線為圓.球面截面上圓的方程方程可寫為（與同號(hào)）橢圓拋物面2.橢圓拋物面zxyOxyzO圖形關(guān)于yOz及zOx坐標(biāo)面對(duì)稱.（與同號(hào)）橢圓拋物面（1）用坐標(biāo)面與曲面相截截得一點(diǎn)，即坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)原點(diǎn)也叫橢圓拋物面的頂點(diǎn).2.橢圓拋物面xyzO與平面的交線為橢圓.當(dāng)變動(dòng)時(shí)，這種橢圓的中心都在軸上.與平面不相交.xyzO它的軸平行于軸頂點(diǎn)（3）用坐標(biāo)面，與曲面相截均可得拋物線.（2）用坐標(biāo)面與曲面相截截得拋物線xyzO與平面的交線為拋物線.當(dāng)時(shí)，方程變?yōu)樾D(zhuǎn)拋物面（由面上的拋物線繞它的軸旋轉(zhuǎn)而成的）與平面的交線為圓.橢圓拋物面的幾種特殊情況：橢圓拋物面與旋轉(zhuǎn)拋物面的區(qū)別：（與同號(hào)）雙曲拋物面（馬鞍面）圖形如下：xyzo3.雙曲拋物面（馬鞍面）用截痕法討論(略)4.單葉雙曲面單葉雙曲面

xyoz圖形關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面、三個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)對(duì)稱.4.單葉雙曲面單葉雙曲面（1）用坐標(biāo)面與曲面相截截得中心在原點(diǎn)的橢圓.

xyoz與平面的交線為橢圓.當(dāng)變動(dòng)時(shí)，這種橢圓的中心都在軸上.（2）用坐標(biāo)面與曲面相截截得中心在原點(diǎn)的雙曲線.實(shí)軸與軸相合，虛軸與軸相合.

xyoz與平面的交線為雙曲線.雙曲線的中心都在軸上.實(shí)軸與軸平行,虛軸與軸平行.實(shí)軸與軸平行,截痕為一對(duì)相交于點(diǎn)的直線.虛軸與y軸平行截痕為一對(duì)相交于點(diǎn)的直線.（3）用坐標(biāo)面，與曲面相截均可得雙曲線.xyOz圖形關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面、三個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)對(duì)稱.xyO5.雙葉雙曲面xyO雙曲線橢圓注意：?jiǎn)稳~雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:雙曲線單葉雙曲面雙葉雙曲面單葉雙曲面

xyoz

雙葉雙曲面xyO

二次曲面三元二次方程

橢球面

拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面

雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面定義１(曲線參數(shù)方程的定義)：7.3空間曲線與曲面的參數(shù)方程

一、空間曲線的參數(shù)方程

動(dòng)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)t時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)螺旋線的參數(shù)方程取時(shí)間t為參數(shù)，解二、兩種曲線方程的互化解由消去參數(shù)得例3.

將下列曲線化為參數(shù)方程表示:解:(1)根據(jù)第一方程引入?yún)?shù),(2)將第二方程變形為故所求為得所求為M(x,y,z)zxyzo1.柱面坐標(biāo)

四、點(diǎn)的柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)xyzxyzxyz柱面坐標(biāo)系的三組坐標(biāo)面OOOyoxzM(x,y,z)r2.球面坐標(biāo)xxyzxyzORxyzOO消去變量z后得：曲線關(guān)于的投影柱面設(shè)空間曲線C的一般方程：五、投影柱面和投影曲線

消去變量x后得：消去變量y后得：曲線關(guān)于的投影柱面曲線關(guān)于的投影柱面如圖:投影曲線的研究過(guò)程.空間曲線投影曲線投影柱面類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影面上的投影曲線,面上的投影曲線,空間曲線在面上的投影曲線例如,關(guān)于xOy面的投影柱面和xOy上的投影曲線方程為空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影.空間立體曲面例6解半球面和錐面的交線為空間曲線的一般方程、參數(shù)方程．小結(jié)空間曲線在坐標(biāo)面上的投影．例5

求曲線在坐標(biāo)面上的投影.解（1）消去變量z后得在面上的投影為所以在面上的投影為線段.（3）同理在面上的投影也為線段.（2）因?yàn)榍€在平面上，思考題思考題解答交線方程為在面上的投影為(8)P2