小學(xué)奧數(shù)題庫《數(shù)論》余數(shù)問題中國剩余定理0星題（含解析）全國通用版

數(shù)論-余數(shù)問題-中國剩余定理-。星題

課程目標(biāo)

知識點考試要求具體要求考察頻率

中國剩余定理C1、能夠準(zhǔn)確的理解中國剩余定理。少考

2、會用中國剩余定理來求解相關(guān)的

數(shù)量題目。

知識提要

中國剩余定理

?概述

中國剩余定理即我們常說的“物不知數(shù)"，是利用同余式組來求解的一類問題。

A、一個數(shù)分別除以兩個數(shù)余數(shù)相同的時候，將原數(shù)減去這個余數(shù)之后可以整除那兩個數(shù)

B、上述情況下的余數(shù)雖有不同，但與各自對應(yīng)的除數(shù)的差相同，將原數(shù)加上這個差之后

便可以整除

C、其他情況下，湊出相同余數(shù)之后，運用第一種情況的方法.

精選例題

中國剩余定理

1.一個大于3的數(shù)，除以7余4,除以9余6,除以11余8,問滿足條件的最小自然數(shù)

是.

【答案】690.

【分析】我們發(fā)現(xiàn)兩個算式除數(shù)與余數(shù)的差都相等，所以把他們都處理成都缺3能被整除,

這樣得[7、9、11]-3=690.

2.小明心里想了一個正整數(shù).并且求出了它分別被14和21除后所得的余數(shù)，這兩個余數(shù)的

和是33,那么該整數(shù)被42除的余數(shù)是.

【答案】41

【分析】該整數(shù)除以14的余數(shù)不大于13,除以21余數(shù)不大于20,所以這兩個余數(shù)的和不

大于33,而由題有這兩個余數(shù)的和恰好是33,所以該整數(shù)除以14余數(shù)是13,除以21余數(shù)

是20.這個數(shù)加上1就是14和21的倍數(shù)，而[14,21]=42,所以這個數(shù)可以表示成42k-1

的形式，被42除的余數(shù)是41.

3.有一筐蘋果，甲班分，每人3個還剩11個；乙班分，每人4個還剩10個；丙班分，每人

5個還剩12個.那么這筐蘋果至少個.

【答案】62

【分析】設(shè)有x個蘋果.

因為11除以3余2,所以x除以3余2；

因為10除以4余2,所以x除以4余2；

因為12除以5余2,所以x除以5余2.

又因為x大于12,x=[3,4,5]+2=60+2=62〔個〕.

4.一個大于2000數(shù)，除以11余5,除以13余3,除以17余16,問滿足條件的最小自然數(shù)

為.

【答案】2447.

【分析】根據(jù)題意，我們發(fā)現(xiàn)三個算式中兩個數(shù)的除數(shù)與余數(shù)的和都是

11+5=13+3=16,這樣我們可以把余數(shù)都處理成都余16,所以“1、13、17]=2431,

所以這個數(shù)就是2431+16=2447.

5.一個大于10。的數(shù)，除以9余3,除以11余1,問滿足條件的最小自然數(shù)為.

【答案】1H.

【分析】據(jù)題意，我們發(fā)現(xiàn)兩個數(shù)的除數(shù)與余數(shù)的和都是9+3=11+1=12,這樣我們可

以把余數(shù)都處理成都余12,所以[9、11]=99,所以這個數(shù)就是99+12=111.

6.一個大于2的數(shù)，除以3余1,除以5余3,除以7余5,問滿足條件的最小自然數(shù)

是.

【答案】103.

【分析】我們發(fā)現(xiàn)兩個算式除數(shù)與余數(shù)的差都相等，所以把他們都處理成都缺2能被整除,

這樣得[3、5、7]-2=103.

7.某數(shù)除以11余8,除以13余10,除以17余12,那么這個數(shù)的最小可能值是.

【答案】998

【分析】觀察到11-8=13-10=3,因此除以11余8,除以13余10的最小自然數(shù)為

11X13-3=140,

設(shè)某數(shù)為a,那么a=143m-37n為非零自然數(shù)，只需1437n-3除以17余12,而

143+17=8-7,

只需

(7m-3)+17=n-12,

即7m-15是17的倍數(shù)所以，m=7,所以

a=143X7-3=998.

8.紅星小學(xué)組織學(xué)生劃船.假設(shè)乘坐大船，除1條船坐6人外，其余每船均坐17人；假設(shè)乘

小船，那么除1條船坐2人外，其余每船均坐10人.如果學(xué)生的人數(shù)超過100、不到200,

那么學(xué)生共有人.

【答案】142

【分析】除1條船坐6人外，其余每船均坐17人，說明總?cè)藬?shù)可以表示成177n+6的形

式；除1條船坐2人外，其余每船均坐10人，說明總?cè)藬?shù)可以表示成10n+2的形式；那么

有17m+6=10n+2,化簡得17m+4=10n,經(jīng)分析m的個位只能是8.又學(xué)生的人數(shù)超

過100、不到200,所以m=8,學(xué)生的人數(shù)是17x8+6=142.

9.一個數(shù)，除以11余7,除以13余9,除以19余15,問滿足條件的最小自然數(shù)

是.

【答案】2713.

【分析】我們發(fā)現(xiàn)兩個算式除數(shù)與余數(shù)的差都相等，所以把他們都處理成都缺4能被整除，

這樣得[11、13、19]-4=2713.

10.有一堆水果糖，如果按8塊一份來分，最后剩下2塊；如果按9塊一份來分，最后剩3

塊；如果按10塊一份來分，最后剩下4塊.這堆糖至少有塊.

【答案】354

【分析】這堆水果糖的總數(shù)被8除余2,被9除余3,被10除余4,如果增加6塊就剛好

是8、9、10的公倍數(shù)，又8、、9、10的最小公倍數(shù)是360.所以這堆水果糖至少有

360-6=354（塊）.

11.5年級3班同學(xué)上體育課，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6

排多5人，問上體育課的同學(xué)最少人.

【答案】59.

【分析】分析題意知，這個班的人數(shù)除以3余2,除以4余3,除以5余4,除以6余5,

湊缺相同，這個班人數(shù)為[3、4、5、6]-1=59（人）.

12.某個自然數(shù)除以2余1,除以3余2,除以4余1,除以5也余1,那么這個數(shù)最小

是.

【答案】41

【分析】這個自然數(shù)除以2、4、5都余1,[2,4,5]=20,所以這個數(shù)應(yīng)滿足1+20%同時

除以3余2,所以最小是41.

13.某個兩位數(shù)是2的倍數(shù)，加1是3的倍數(shù)，加2是4的倍數(shù)，加3是5的倍數(shù)，那么這個

兩位數(shù)是.

【答案】62

【分析】由題可知，此數(shù)是一個2的倍數(shù)，并且除以3、4、5都余2的數(shù)，這樣的數(shù)最小

是2,因為這個數(shù)是兩位數(shù)，2+[3、4、5]=62.

14.在1到100這100個數(shù)中，被2,3,5除都有非零的余數(shù)，且余數(shù)彼此不等的數(shù)

有個.

【答案】6

【分析】根據(jù)余數(shù)不能比除數(shù)大.

一個數(shù)除以2,余數(shù)只能是L

而要求余數(shù)彼此不等，所以，這些數(shù)除以3,余數(shù)只能是2.

滿足以上兩個條件的數(shù)為6的倍數(shù)少1.

有：5、11、17、23、29、35、41、47、53、59、65、71、77、83、89、95.

再滿足被5除有余數(shù)，且余數(shù)不為1和2,（個位不能為5、1、7）.

符合條件的數(shù)只有：23、29、53、59、83、89,共6個數(shù).

15.一個大于1。的數(shù)，除以5余3,除以7余1,問滿足條件的最小自然數(shù)為.

【答案】43.

【分析】根據(jù)總結(jié)，我們發(fā)現(xiàn)兩個數(shù)的除數(shù)與余數(shù)的和都是5+3=7+1=8,這樣我們可

以把余數(shù)都處理成都余8,所以[5、7]=35,所以這個數(shù)就是35+8=43.

16.一個大于1。的數(shù)，除以5余3,除以7余1,除以9余8,問滿足條件的最小自然數(shù)

為.

【答案】323.

【分析】根據(jù)總結(jié)，我們發(fā)現(xiàn)三個數(shù)中兩個數(shù)的除數(shù)與余數(shù)的和都是5+3=7+1=8,這

樣我們可以把余數(shù)都處理成都余8,所以[5、7、9]=315,所以這個數(shù)就是315+8=323.

17.我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其?續(xù)古摘奇算法?上記載了這樣一個問題：“二數(shù)余一，五數(shù)余二，

七數(shù)余三，九數(shù)余四，問本數(shù)."用現(xiàn)代語言表述就是：“有一個數(shù)用2除余1,用5除余

2,用7除余3,用9除余4,問這個數(shù)是多少？”請將滿足條件的最小的自然數(shù)寫在這

里.

【答案】157

【分析】（解法一）

先考慮除以5余2,除以7余3,除以9余4；用剩余定理得

5x7x5+5x9x14-7x9x4=472

[5,7,9]=315,故472±315k都符合除以5余2,除以7余3,除以9余4最小是

472-315=157,且也符合除以2余1.

（解法二）

除以2余1的數(shù)有：1,3,5,7,9,11,13,15,17,…；

除以5余2的數(shù)有：2,7,12,17-；

除以7余3的數(shù)有：3,10,17…；

所以滿足“用2除余1,用5除余2,用7除余3"的數(shù)的形式為[2,5,7]71+17=7071+175

為自然數(shù)）此時只需要找一個最小的凡滿足除以9余4即可.

當(dāng)n=2時，滿足除以9余4,所以滿足條件的最小的自然數(shù)為

70-2+17=157

18.一個大于10的自然數(shù)，除以5余3,除以7余1,除以9余4,那么滿足條件的自然數(shù)最

小為.

【答案】148

【分析】觀察發(fā)現(xiàn)三個數(shù)中前兩個數(shù)的除數(shù)與余數(shù)的和都是

5+3=7+1=8,

這樣我們可以把余數(shù)都處理成8,即一個數(shù)除以5余3相當(dāng)于除以5余8,除以7余1相當(dāng)于

除以7余8,所以滿足前兩個條件的自然數(shù)為

a=35m+8,

下一步只需要a除以9余4,

35+9=3…8,

只需8+8m除以9余4,只需8m除以9余5,最小的血=4,因此滿足所有條件的最小自然

數(shù)為

8+35X4=148.

19.智慧老人到小明的年級訪問，小明說他們年級共一百多名同學(xué)，老人請同學(xué)們按三人一行

排隊，結(jié)果多出一人，按五人一行排隊，結(jié)果多出二人，按七人一行排隊，結(jié)果多出一人，老

人說我知道你們年級人數(shù)應(yīng)該是人.

【答案】127

【分析】根據(jù)條件，該數(shù)除以3余1,除以5余2,除以7余1,逐級滿足法，令該數(shù)為

a,那么

a?1①

?一3-2

a5-②

a7?1③

符合條件①的有1,4,7,10,13,16,-.

同時滿足①、②的最小值為7,以后a=7+15m均滿足①、②；

現(xiàn)在來看(7+15m)除以7余1,那么157n除以7余1,那么m最小取1,符合，最小的符

合的數(shù)為a=22.以后每隔[3,5,7]=105即符合.由于該年級有100多名學(xué)生，為

22+105=127.

2().一個大于1。的自然數(shù)，除以5余3,除以7余1,除以9余8,那么滿足條件的自然數(shù)最

小為.

【答案】323

【分析】根據(jù)總結(jié)，我們發(fā)現(xiàn)三個數(shù)中前兩個數(shù)的除數(shù)與余數(shù)的和都是

5+3=7+1=8

這樣我們可以把余數(shù)都處理成8,即一個數(shù)除以5余3相當(dāng)于除以5余8,除以7余1相當(dāng)于

除以7余8,所以可以看成這個數(shù)除以5、7、9的余數(shù)都是8,那么它減去8之后是5、7、9

的公倍數(shù).而

[5,7,9]=315

所以這個數(shù)最小為

315+8=323.

21.—個自然數(shù)被3除余2,被5除余4,并且這個數(shù)大于10。且小于125,那么這個數(shù)

是.

【答案】104或119

【分析】被3除余2,被5除余4,求出3和5的最小公倍數(shù)15,估算15的哪一個倍數(shù)大

于100小于125,經(jīng)計算可知，105和120介于100到125之間，再用105和120分別減1

即可，這個自然數(shù)是104或119.

22.一個自然數(shù)能被11整除，除以13余12；除以15余13；這個數(shù)最小為.

【答案】1078.

【分析】n除以15余13：最小為13,通式為13+15R

n除以13余12：歷最小為6,那么有13+15X6=103,通式為

103+[15,13]/C2=103+195k2.

n除以11余0：出最小為5,那么有103+195x5=1078.

23.有一個自然數(shù)用7除余3,用9除余4,請按照從小到大的順序，將滿足條件的前兩個自

然數(shù)寫在這里_______.

【答案】31,94

【分析】除以7余3的數(shù)有：3,10,17,24,31…；

除以9余4的數(shù)有：4,13,22,31…；

所以滿足''除以7余3,除以9余4”的數(shù)的形式為[7,9優(yōu)+31=63n+316為自然數(shù)）按

照從小到大的順序，將滿足條件的前兩個自然數(shù)為31,94.

24.一個自然數(shù)在1000和1200之間，且被3除余1,被5除余2,被7除余3,求符合條件

的數(shù).（使用逐步滿足法）

【答案】1102

【分析】方法1（比擬法）：我們先找出被3除余1的數(shù)：

1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,40,43,46,49,52,

????

被5除余2的數(shù)：2,7,12,17,22,27,32,37,42,47,52,57,…；

被7除余3的數(shù)：3,10,17,24,31,38,45,52,???；

三個條件都符合的最小的數(shù)是52,其后的是一次加上3、5、7的最小公倍數(shù)，直到加

到1000和1200之間.結(jié)果是

105X10+52=1102.

方法2（逐步滿足的比擬法）：先列出除以3余1的數(shù)：1,4,7,10,13,16,

????

再列出除以5余2的數(shù)：2,7,12,17,22,27,???；

這兩列數(shù)中，首先出現(xiàn)的公共數(shù)是7.3與5的最小公倍數(shù)是15.兩個條件合并成一

個就是7+15X整數(shù)，列出這一串?dāng)?shù)是7,22,37,52,-；再列出除以7余3的數(shù)：3,

10,17,24,31,38,45,52,…；就得出符合題目條件的最小數(shù)是52.事實上，我們已把

題目中三個條件合并成一個：被105除余52.那么這個數(shù)在1000和1200之間，應(yīng)該是

105X10+52=1102.

方法3（逐步滿足法）：設(shè)這個自然數(shù)為見被3除余1,被5除余2,可以理解為被

3除余3X2+1,被5除與5+2,所以滿足前面兩個條件的a=15m+7（巾為自然數(shù)），

只需15m+7除以7余3,即15m除以7余3,而15+7=2……1,只需m除以7余3,m

最小為3,所以滿足三個條件的最小自然數(shù)為3X15+7=52,那么這個數(shù)在1000和1200

之間，應(yīng)該是

105X10+52=1102.

25.有一個自然數(shù)，用它分別去除61、90、130都有余數(shù)，3個余數(shù)的和是26,這3個余數(shù)中

最大的一個是多少？

【答案】11

【分析】.簡答：61、90和13。的和減去26得到255,255的約數(shù)中驗證得滿足條件的只

有17,所以這個自然數(shù)是17,所以余數(shù)中最大的是130除以17的余數(shù)11

26.被2,3,5除余1且不等于1的最小整數(shù)是幾？

【答案】31

【分析】除1以外，被2除余1的所有整數(shù)是：

3,5,7,9,11,…,27,29,31,33,…

被3除余1的所有整數(shù)是：

4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,…

被5除余1的所有整數(shù)是：

6,11,16,21,26,31,36,…

上面三列數(shù)中，第一個同時出現(xiàn)的數(shù)是31,所以31是同時滿足被2,3,5除均余1

且不等于1的最小數(shù).

27.(1)一個自然數(shù)除以4余3,除以5也余3,這個自然數(shù)最小是多少？

(2)一個自然數(shù)除以5余1,除以7余3,這個自然數(shù)最小是多少？

【答案】⑴3；(2)31

【分析】(1)這個自然數(shù)減去3以后是4和5的公倍數(shù)，所以最小是3.

(2)這個自然數(shù)加上4以后是5和7的公倍數(shù)，所以最小是31.

28.(1)一個三位數(shù)除以6余2,除以8余2,那么這個三位數(shù)最小是多少？

(2)—個數(shù)除以3余2,除以5余4,除以7余6,那么這個數(shù)最小是多少？

(3)—個數(shù)除以6余2,除以11余1,那么這個數(shù)最小是多少？

【答案】⑴122：(2)104；(3)56

29.一個小于200的數(shù)，它除以11余8,除以13余10,這個數(shù)是幾？

【答案】140.

【分析】分析題意，我們發(fā)現(xiàn)這兩個算式除數(shù)與余數(shù)的差都等于11-8=13-10=3,觀察

發(fā)現(xiàn)這個數(shù)加上3后就能同時被11和13整除，所以[11、13]=143,所以這個數(shù)是

143-3=140.

30.今有一堆石子，三個三個數(shù)余2個，五個五個數(shù)余2個，七個七個數(shù)余4個，這堆石子最

少有多少個？

【答案】32

【分析】70x2+21x2+15x4=242；244-105-105=32；

31.今有一堆石子，三個三個數(shù)余1個，五個五個數(shù)余3個，七個七個數(shù)余5個，這堆石子最

少有多少個？

【答案】103

【分析】三個三個、五個五個、七個七個的數(shù)都是差兩個，那借來兩個石子，現(xiàn)在的就可以

被3、5和7除得開，最小是3X5X7=105,歸還那兩塊，總計最少103個.借來還去的思

想.

32.有一個自然數(shù)，除以2余1,除以3余2,除以4余3,除以5余4,除以6余5,除以7

余6,那么這個數(shù)最小是.

【答案】419.

【分析】分析題意知，這個數(shù)加1就能被234,5,6,7整除，所以這個數(shù)為

[2、3、4、5、6、7]-1=420-1=419.

33.有一個正整數(shù)除以7、8、9的余數(shù)分別為1、5、4,求這個數(shù)至少是多少？

【答案】85

【分析】除以7余1的數(shù)至少是1,為滿足這一特點每次要加7,加了4個7后首次滿足除

以8余5；然后每次加56,加了一個后滿足除以9余4,此時這個數(shù)是85.

34.自然數(shù)4除以11余5,除以9余7,除以13余3,這個數(shù)最小是多少？

【答案】1303

【分析】此題屬于“物不知數(shù)”問題，可以運用中國剩余定理，但需要先要找出11與9的公

倍數(shù)中除以13余1的數(shù)、11與13的公倍數(shù)中除以9余1的數(shù)以及9與13的公倍數(shù)中除以

11余1的數(shù).比擬麻煩.實際上，觀察可知

11+5=9+7=13+3=16,

也就是說這個數(shù)減去16后是11、9、13的公倍數(shù)，那么這個數(shù)最小就是11、9、13的最小

公倍數(shù)加上16,為

11X9X13+16=1303.

35.一個大于1。的數(shù)，除以3余1,除以5余2,除以11余7,問滿足條件的最小自然數(shù)是

多少？

【答案】172

【分析】法一：仔細(xì)分析可以發(fā)現(xiàn)3X2+1=5+2=7,所以這個數(shù)可以看成被3、5、11

除余7,由于[3,5,11]=165,所以這個數(shù)最小是165+7=172.

法二：事實上，如果沒有“大于1?！边@個條件，7即可符合條件，所以只需要在7的根

底上加上3、5、11的最小公倍數(shù)，得到172即為所求的數(shù).

36.一個三位數(shù)除以4余3,除以6也余3.這個三位數(shù)最大是多少？

【答案】999

【分析】這是一道余同的問題.滿足條件的數(shù)可以表示為[4,6]xn+3,其中n為自然

數(shù).要求滿足條件的最大三位數(shù)，應(yīng)令n為83,即[4,6]x83+3=999.

37.一個自然數(shù)在100。和1200之間，且被3除余1,被5除余2,被7除余3,求符合條件

的數(shù).

【答案】1102

【分析】方法1：先列出除以3余1的數(shù)：1,4,7,10,13,16,???；

再列出除以5余2的數(shù)：2,7,12,17,22,27,…；

這兩列數(shù)中，首先出現(xiàn)的公共數(shù)是7.3與5的最小公倍數(shù)是15.兩個條件合并成一個就是

7+15X整數(shù)，列出這一串?dāng)?shù)是7,22,37,52,???；再列出除以7余3的數(shù)：3,10,17,

24,31,38,45,52,???；就得出符合題目條件的最小數(shù)是52.

事實上，我們已把題目中三個條件合并成一個：被105除余52.那么這個數(shù)在1000和1200

之間，應(yīng)該是105X10+52=1102.

方法2：我們先找出被3除余1的數(shù)：1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,

37,40,43,46,49,52,■??；

被5除余2的數(shù)：2,7,12,17,22,27,32,37,42,47,52,57,???；

被7除余3的數(shù)：3,10,17,24,31,38,45,52,…；

三個條件都符合的最小的數(shù)是52,其后的是一次加上3、5、7的最小公倍數(shù)，直到加到1000

和1200之間.結(jié)果是105x10+52=1102.

方法3：設(shè)這個自然數(shù)為a,被3除余1,被5除余2,可以理解為被3除余3X2+1,被5

除與5+2,所以滿足前面兩個條件的a=15m+7（m為自然數(shù)），只需157n+7除以7余

3,即15m除以7余3,而15+7=2…1,只需m除以7余3,m最小為3,所以滿足三個

條件的最小自然數(shù)為3X15+7=52,那么這個數(shù)在1000和1200之間，應(yīng)該是

105X10+52=1102.

38.兩個連續(xù)的兩位數(shù)除以5的余數(shù)之和是5,除以6的余數(shù)之和是5,除以7的余數(shù)之和是

1.求這兩個兩位數(shù).

【答案】77和78

【分析】兩個連續(xù)的兩位數(shù)除以5的余數(shù)之和是5,那么可以判斷出第一個數(shù)除以5余

2.除以6的余數(shù)之和是5,那么可以判斷出第一個數(shù)除以6余2或余5.除以7的余數(shù)之和

是1,那么可以判斷出第一個數(shù)除以7余0.滿足第一、三兩個條件的數(shù)有7、42、77,再考

慮第二個條件，只有77滿足.因此這兩個數(shù)為77和78.

39.有一批圖書總數(shù)在100。本以內(nèi)，假設(shè)按24本書包成一捆，那么最后一捆差2本；假設(shè)按

28本書包成一捆，最后一捆還是差2本書；假設(shè)按32本包一捆，那么最后一捆是30本.那

么這批圖書共有本.

【答案】670.

【分析】由題意知，這批數(shù)的總數(shù)除以24余22,除以28余26,除以32余30,

[24、28、32]=672,所以這批書的數(shù)量為672k-2,又因為這批圖書總數(shù)在1000本以內(nèi)，

所以k=l,這本書為670.

40.(1)一個數(shù)除以21余17,除以20也余17.這個數(shù)最小是多少？第二小是多少？

(2)—個數(shù)除以11余7,除以10余6.這個數(shù)最小是多少？第二小是多少？

【答案】(1)17；437(2)106；216

【分析】(1)這是一道余同的問題.這個數(shù)最小是17,第二小是[21,10]+17=437.

(2)這是一道缺同的問題.這個自然數(shù)加上4即可被11和10整除，[11,10]=110,因此這

個數(shù)最小為110-4=106.第二小的是110X2-4=216.

41.有一個整數(shù)，用它去除53,89,127所得到的3個余數(shù)之和是23,那么這個整數(shù)是多

少？

【答案】41

【分析】設(shè)這個數(shù)為匕由題意可得：

①$\left\{\begin{gathered}

53\divx=a\cdots{r_l}\hfill\\

89\divx=b\cdots{r_2)\hfill\\

127\divx=c\cdots{r_3}\hfill\\

\end{gathered}\right.\Rightarrow53+89+127-23=246$為x的倍數(shù);

②246=2X3X41

③枚舉驗證n%=41.

42.一個數(shù)被3除余1,被4除余2,被5除余4,這個數(shù)最小是幾?

【答案】34

【分析】

4和5的公倍數(shù)3和5的公倍數(shù)3和4的公倍數(shù)

201512

403024

604536

在4和5的公倍數(shù)中，除以3余1的最小數(shù)是40；

在3和5的公倍數(shù)中，除以4余1的最小數(shù)是45；

在3和4的公倍數(shù)中，除以5余1的最小數(shù)是36；

那么40X1+45X2+36X4=274,

[3,4,5]=60,所以，最小的數(shù)為274-60x4=34.

43.一個自然數(shù)除以8、9、11后分別余2、7、3,而所得的三個商的和是622,這個數(shù)是多

少？

【答案】1906.

【分析】設(shè)這個數(shù)為x.

x除以8余2：最小為2,通式為2+8自；

x除以9余7：自最小為4,那么有2+8X4=34,通式為34+[8,9]七=34+72屹

x除以11余3：七最小為4,那么有34+72X4=322.

那么x=322+[8,9,1l]n=322+792n.

322+792n-2322+792n-7322+792n-3

~8+9+rT~=622

40+99rl+35+88n+29+72n=622

259n=518

n=2

x=322+792X2=1906.

44.韓信點兵：有兵四五百，五五數(shù)之余三，七七數(shù)之余四，九九數(shù)之余五.那么這隊兵有多

少人？

【答案】473

【分析】先列出除以9余5的數(shù)，從中找除以7余4的數(shù)，再從剩下的數(shù)中找除以5余3

的數(shù).

45.一個數(shù)除以2、3、5、7、11的余數(shù)分別是1、2、3、4、5,求符合條件的最小的奇數(shù).

【答案】1523.

【分析】此題實際上就是求被3、5、7、11除的余數(shù)分別是2、3、4、5的最小奇數(shù)，符合

條件的最小偶數(shù)是368,只要將368加上3X5X7X11就能求得符合條件的最小奇數(shù)，這個

數(shù)是368+3X5X7X11=1523.

46.(1)一個數(shù)除以7余2,除以11余1.這個數(shù)最小是多少？

(2)有一隊解放軍戰(zhàn)士，人數(shù)在150人到200人之間，從第一個開始依次按1,2,3,…，9

的順序報數(shù)，最后一名戰(zhàn)士報的數(shù)是3；如果按1,2,7的順序報數(shù)，最后一名戰(zhàn)士報的

數(shù)是4.請問：一共有多少名戰(zhàn)士？

【答案】⑴23：(2)165

【分析】(1)采用逐步滿足條件法.滿足條件第二個條件的數(shù)位1、12、23、…發(fā)現(xiàn)23

同時滿足第一個條件，因此這個數(shù)最小是23.

(2)戰(zhàn)士的人數(shù)除以9余3,除以7余4,滿足這兩個條件最小的數(shù)是39,不斷加63,直到

滿足限制條件，最后得到165.

47.一個自然數(shù)除以7、8、9后分別余1、2、3,而所得的三個商的和是570,這個數(shù)是多

少？

【答案】1506.

【分析】設(shè)這個數(shù)為x.[7,8,9]=504,504-6=498,那么x=498+504n.

498+504n-1498+504n-2498+504n-3

—7—十一8一十—9——7。

71+72n+62+63n4-554-56n=570

191n=382

n=2

x=498+504X2=1506.

48.一個數(shù)除以3余2,除以5余3,除以7余2,求適合此條件的最小數(shù).

【答案】23.

【分析】由中國剩余定理得這個數(shù)為23.

49.有三個連續(xù)的自然數(shù)，它們從小到大依次是5、7、9的倍數(shù)。這三個連續(xù)自然數(shù)最小是多

少？

【答案】160、161、162

【分析】根據(jù)題意，令這三個連續(xù)的自然數(shù)分別是：a+1、a+2,那么它們從小到大

依次是5、7、9的倍數(shù)。所以我們有：

$\left\{\begin{gathered）

a\div5\cdots0\hfill\\

a\div7\cdots6\hfill\\

a\div9\cdots7\hfill\\

\end{gathered}\right.$

滿足前兩個的所有的自然數(shù)為：20+35n

所以有：（20+35n）+9,“7,所以35n+9?“5,有8n+9…5,那么n最小取4。

此時a最小取160.

所以這三個自然數(shù)為160、161、162.

50.今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩一，四四數(shù)之剩三，五五數(shù)之剩二，問物幾何？

【答案】7

【分析】40X1+45X3+36X2=247,3X4X5=60,247+60=4……7,最少是7.

51.一個自然數(shù)在1000和1200之間，且被3除余1,被5除余2,被7除余3,求符合條件

的數(shù).（使用中國剩余定理求解）

【答案】1102

【分析】70+21X2+15X3=70+42+45=157,157+105n在1000至lj1200之

間.可以先寫成52+105n,105x10+1050,1050+52=1102.

52.今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩四，七七數(shù)之剩三，問物幾何？

【答案】59

【分析】70X2+21X4+15X3=269；269-105-105=59；

53.一個布袋中裝有5000多個小球，如果10個一包，最后還剩9個，如果9個一包，最后還

剩8個...如果5個一包，最后還剩4個，那么如果13個一包，最后還剩多少個？

【答案】8個

【分析】簡答：布袋中的小球數(shù)除以10余9,除以9余8,除以8余7…、除以5余4,

[5,6,7,8,9,10]=[5,7,8,9]=5X7X8X9=2520,所以，布袋中球數(shù)是

2520-1+2520=5039,5039+13余8.

54.一個自然數(shù)除以7余3,除以27余5,這個自然數(shù)最小是多少？

【答案】59

【分析】除以27余5的數(shù)有5、32、59、…，其中除以7余3的最小的數(shù)是59.

55.有一個整數(shù)，用它分別去除157、234和324,得到的三個余數(shù)之和是100,這個整數(shù)是

多少？

【答案】41

【分析】詳解：157、234和324的和是715,減去10。的差是615.615是這個整數(shù)的倍

數(shù).而615的約數(shù)有1、3、5、15、41、123、205、615,驗證只有41滿足余數(shù)和是100.

56.(1)一個三位數(shù)除以8余3,除以12也余3.這個三位數(shù)最小是多少？

(2)一個三位數(shù)除以6余1,除以10余5.這個三位數(shù)最小是多少？

【答案】(1)123：(2)115

【分析】(1)這是一道余同的問題.滿足條件的數(shù)可表示為冏12]Xn+3,其中n為自然

數(shù).要求滿足條件的最小三位數(shù)，應(yīng)令n為5,即[8,12]X5+3=123.

(2)這是一道缺同的問題.滿足條件的數(shù)可表示為[6,10]xn-5,其中n為自然數(shù).要求滿

足條件的最小三位數(shù)，應(yīng)令兀為4,即[6,10]X4-5=115.

57.一個數(shù)除以3、5、7、11的余數(shù)分別是2、3、4、5,求符合條件的最小的數(shù)：

【答案】368.

【分析】將3、5、7、11這4個數(shù)3個3個分別計算公倍數(shù)，如表：

5、7、11公倍數(shù)3、7、11公倍數(shù)3、5、11公倍數(shù)3、5、7公倍數(shù)

385231165105

770462330210

1155693495315

除3余2的最小數(shù)是770除5余3的最小值是693除7余4的最小值是165

3、5、7公倍數(shù)中被11除余5的數(shù)不太好找，但注意到210除以11余1,所以

210X5=1050被11除余5,由此可知770+693+165+1050=2678是符合條件的一個

值，又3、5、7、11的最小公倍數(shù)是1155,所以2678-1155X2=368是符合條件的最小

值.

58.有一個自然數(shù)，用它去除25,38,43所得到的3個余數(shù)之和是18,那么這個自然數(shù)是多

少？

【答案】11

【分析】設(shè)這個數(shù)為x,由題意可得：

①$\left\{\begin{gathered}

25\divx=a\cdots{r_l}\hfill\\

38\divx=b\cdots{r_2)\hfill\\

43\divx=cXcdots{r_3)\hfill\\

\end{gathered}\right.\Rightarrow25+38+43-18=88$為X的倍數(shù);

@88=2X2X2X11

③枚舉驗證=x=11.

59.炒飯老師非常喜歡吃炒飯.有一天，炒飯老師給自己炒了一桶的炒飯.他算了一下，如果

他每天吃3碗，最后剩下2碗；如果每天吃4碗，最后剩下2碗；如果每天吃5碗，最后剩

下2碗.問炒飯老師炒了至少多少碗炒飯？

【答案】62

【分析】炒飯老師炒的飯的碗數(shù)減去2是3,4,5的公倍數(shù)，所以老師炒的飯的最小值為

[3,4,5]+2=60+2=62(碗).

60.一個兩位數(shù)分別除以7、8、9,所得的余數(shù)的和為20.問：這個兩位數(shù)是多少？

【答案】62

【分析】余數(shù)的和為20,那么這個兩位數(shù)除以7、8、9的余數(shù)分別為6、7、7或6、6、8

或5、7、8.其中只有6、6、8的情況存在滿足條件的兩位數(shù)為62.

61.四年級的同學(xué)，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，問這個年級

至少有多少人？

【答案】302

【分析】這個題相當(dāng)于是一個數(shù)被9除余5,被7除余1,被5除余2,這個數(shù)最小是幾.

9、7、5三個數(shù)兩兩互質(zhì)。那么(7,5)=35,(9,5)=45,(9,7)=63

7和5的公倍數(shù)9和5的公倍數(shù)9和7的公倍數(shù)

354563

126

210

245

280

在7和5的公倍數(shù)中，除以9余1的最小數(shù)是280；

在9和5的公倍數(shù)中，除以7余1的最小數(shù)是225；

在9和7的公倍數(shù)中，除以5余1的最小數(shù)是126；

那么280x5+225x1+126x2=1877.

[9,7,5]=315,

所以，最小的數(shù)為1877-315x5=302.

62.一個數(shù)除以5余3,除以6余4,除以7余1,求滿足條件的最小的自然數(shù)？

【答案】148.

【分析】設(shè)這個數(shù)為兀

n除以5余3：最小為3,通式為3+5自：

n除以6余4：自最小為5,那么有3+5x5=28,通式為28+[5,6]七=28+30七.

n除以7余1：&最小為4,那么有n=28+30X4=148.

63.有5000多根牙簽，可按6種規(guī)格分成小包.如果10根一包，那么最后還剩9根.如果9

根一包，那么最后還剩8根.第三、四、五、六種的規(guī)格是，分別以8,7,6,5根為一包，

那么最后也分別剩7,6,5,4根.原來一共有牙簽多少根？

【答案】5039

【分析】設(shè)這包牙簽有n根，那么加上1根后為n+1根此時有n+1根牙簽即可以分成10

根一包，又可以分成9根一包，還可以分成8、7、6、5根一包.

所以，n+1是10、9、8、7、6、5的倍數(shù)，即它們的公倍數(shù).

[10,9,8,7,6,51=23X32X5X7=2520,即n+1是2520的倍數(shù)，在滿足題下只能是

2520X2=5040,所以幾=5039.即原來一共有牙簽5039根.

64.今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，四四數(shù)之剩三，五五數(shù)之剩三，問物幾何？

【答案】23

【分析】首先要構(gòu)造這幾個數(shù)，由3,4,5來構(gòu)造.

4X5=20,20除以3余2,不行；加倍，40除以3余1.也就是40除以3、4、5

余數(shù)分別是1、。、0；

同樣的構(gòu)造3X5=15,除以4余3,不行；加倍……，45可以.也就是45除以3、

4、5余數(shù)分別是0、1、0;

同樣的構(gòu)造3X4=12,除以5余2,不行；加倍……，36可以.也就是36除以3、

4、5余數(shù)分別是0、0、1；

所以最后是40x2+45x3+36x3=323,3x4x5=60,323+60=5...23,

最少是23.

65.—個盒子中裝有棒棒糖10。多個，如果每次取5個最后剩4個，如果每次取4個最后剩3

個，如果每次取3個最后剩2個.那么如果每次取12個，最后剩多少個？

【答案】11

【分析】簡答：除以5余4,除以4余3,除以3余2的數(shù)最小是59,滿足上述條件的100

以上的數(shù)是59加上假設(shè)干個60,如119、179等，這些數(shù)除以12余11.

66.劉叔叔養(yǎng)了400多只兔子，如果每3只兔子關(guān)在一個籠子里，那么最后一個籠子里有2

只；如果每5只兔子關(guān)在一個籠子里，那么最后一個籠子里也有2只；如果每7只兔子關(guān)在

一個籠子里，那么最后一個籠子里有5只.請問：劉叔叔一共養(yǎng)了多少只兔子？

【答案】467

【分析】兔子數(shù)除以3余2,除以5余2,除以7余5.所有滿足前兩個條件的數(shù)為

2+[3,5]Xn,其中7i為自然數(shù)，即2、17、32、47、…其中47同時滿足第三個條件.所有

滿足條件的數(shù)為47+[3,5,7]Xm,其中m為自然數(shù).血取4時滿足條件，為467.

67.一個數(shù)除以3余2,除以5余3,除以7余4,問滿足條件的最小自然數(shù).

【答案】53.

【分析】分析題目，我們發(fā)現(xiàn)前面兩種都不符合，所以我們只能用最普遍的“中國剩余定

理”：

3、5的公倍數(shù)3、7的公倍數(shù)5、7的公倍數(shù)

152135

304270

4563105

6084140

找出除以7余4的除以5余3除以3余2.

可以找出分別是：606335

可見60+63+35=158滿足我們的條件，但不是最小的自然數(shù)，處理方法就是減去最小公倍

數(shù)的假設(shè)千倍，使結(jié)果在最小公倍數(shù)之內(nèi).所以答案為：158-105=53.

68.有一個數(shù)，除以3余2,除以4余1,問這個數(shù)除以12余幾？

【答案】5

【分析】方法一：除以3余2的數(shù)有：2,5,8,11,14,17,20,23,…；

它們除以12的余數(shù)是：2,5,8,11,2,5,8,11,

除以4余1的數(shù)有：1,5,9,13,17,21,25,29,…；

它們除以12的余數(shù)是:1,5,9,1,5,9,....

一個數(shù)除以12的余數(shù)是唯一的.上面兩行余數(shù)中，只有5是共同的，因此這個數(shù)除以

12的余數(shù)是5.

方法二：一個數(shù)，除以3余2,除以4余1,可以理解為除以3余3+2,除以4余

4+1,所以這個數(shù)減去5后，既能被3整除，又能被4整除，設(shè)這個數(shù)為a,那么

a=12m+5,（血為自然數(shù)）所以這個數(shù)除以12余5.

69.有一個自然數(shù)除以15、17、19所得到的商與余數(shù)之和都相等，并且商和余數(shù)都大于1,那

么這個自然數(shù)是多少？

【答案】1082

【分析】設(shè)除以15時商a余b；除以17時商c余d；除以19時商e余九

那么有a+b=c+d=e+/■且15a+匕=17c+d=19e+/■.于是14a=16c=18e.設(shè)它們

等于7X16X9XC（7X16X9是14、16、18的最小公倍數(shù)），那么有a=72t,c=63t,

e=56t.代回第一個式子，有72t+b=63t+d=56t+f,所以f-b=16t.因為b和/■都

大于1且f小于19,那么只能匕=2/=18,所以t=1.

所以這個自然數(shù)是72x15+2=1082.

70.每3人站一排，最后一排差1人；每5人站在一排，最后一排有3人；每7人站一排，最

后一排還差5人.你能推算出最少有多少人？

【答案】13

【分析】這個題相當(dāng)于是一個數(shù)被3除余2,被5除余3,被7除余2,這個數(shù)最小是幾.

7和5的公倍數(shù)3和7的公倍數(shù)3和5的公倍數(shù)

352115

704230

1058445

在7和5的公倍數(shù)中，除以3余1的最小數(shù)是70；

在3和7的公倍數(shù)中，除以5余1的最小數(shù)是21；

在3和5的公倍數(shù)中，除以7余1的最小數(shù)是15：

那么70x2+21x3+15x2=233.

[3,7,5]=105.

所以，最小的數(shù)為233-105X2=13.

71.被3,5除余2的最小兩位數(shù)是幾？

【答案】2

【分析】被5除余2的所有整數(shù)是：

2,7,12,17,22,27,32,37…

被3除余2的所有整數(shù)是：

2,5,8,11,14,17-

所以，被3,5除余2的最小兩位數(shù)是2.

72.有三個連續(xù)自然數(shù)，其中最小的能被15整除，中間的能被17整除，最大的能被19整

除，請寫